6.2.2　分层抽样

课标要求　1.了解分层抽样的特点和适用范围.2.掌握分层抽样中各层抽取样本量的计算方法.

素养要求　通过分层抽样的实施过程发展学生的数据分析素养.

自 主 梳 理

分层抽样

当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使抽取的样本更好的反映总体的情况，把总体中各个个体按照某种特征或某种规则划分为互不交叉的层，然后对各层按其在总体中所占比例独立进行简单随机抽样，这种抽样方法称为分层抽样.

温馨提醒　(1)分层抽样如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要尽可能小，而层与层之间的差异要尽可能大，且互不重叠，否则将失去分层的意义.

(2)所有层都按同一抽样比等可能抽取，以保证每个个体被等可能抽取.

(3)根据实际情况，可对每层所抽取的数目进行适当的细微调整.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小.(×)

提示　在统计实践中选择哪种抽样方法除看总体和样本容量大小外，还要依据总体的构成情况.

(2)分层抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公平的.(×)

提示　按定义知，在各层中每个个体被抽到的可能性是一样的，是公平的.

(3)从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层抽样.(×)

提示　应用简单随机抽样.

2.分层抽样适合的总体是(　　)

A.总体容量较多 B.样本容量较多

C.总体由差异明显的几部分组成 D.任何总体

答案　C

解析　根据分层抽样的特点可知选C.

3.某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是(　　)

A.抽签法   B.随机数法

C.分层抽样法   D.以上都不是

答案　C

解析　由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，因此用分层抽样方法.

4.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.

答案　60

解析　根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60.

题型一　分层抽样的概念

例1 下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(　　)

A.从10名同学中抽取3人参加座谈会

B.某社区有500户家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本

C.从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间

D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

答案　B

解析　A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；

B中总体分高收入、中等收入、低收入家庭三部分，适合用分层抽样；

C和D中总体所含个体无差异，不适合分层抽样.

思维升华　判断抽样方法是分层抽样，主要是依据分层抽样的特点：

(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况.

(2)能更充分地反映总体的情况.

(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等.

训练1 (1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适(　　)

A.抽签法   B.随机数法

C.简单随机抽样   D.分层抽样

(2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行(　　)

A.每层等可能抽样 B.每层可以不等可能抽样

C.所有层按同一抽样比等可能抽样 D.所有层抽取的个体数量相同

答案　(1)D　(2)C

解析　(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层抽样.

(2)为了保证每个个体等可能的被抽取，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取.

题型二　分层抽样中的相关计算

角度1　求样本各层中抽取的量

例2 (1)某市有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1 400家.为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市________家.

(2)某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________.

答案　(1)20　(2)18

解析　(1)根据题意，可得抽样比为＝，

故应抽取中型超市400×＝20(家).

(2)设该单位老年职工人数为x，

由题意得3x＝430－160，解得x＝90.

则样本中的老年职工人数为90×＝18.

角度2　求总体容量

例3 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)

A.101   B.808 

C.1 212   D.2 012

答案　B

解析　因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，

所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，

所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808(人).

思维升华　分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法.

(1)已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比，其中N为总体容量，n为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数ni＝Ni×，其中Ni为第i(i＝1，2，…，k)层的个体数，ni为第i层应抽取的个体数.

(2)已知各层个体数之比为m1∶m2∶…∶mk，样本容量为n时，每层抽取的个体数为ni＝n×(i＝1，2，…，k).

训练2 (1)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生.为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________.

(2)某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：

由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染，导致看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，则C产品的数量是________件.

答案　(1)16　(2)800

解析　(1)设应在丙专业抽取的学生人数为x，则＝，

即＝，解得x＝16.

(2)设C产品的数量为x件，则A产品的数量为3 000－1 300－x＝(1 700－x)件.

设C产品的样本容量为a，则A产品的样本容量为10＋a，

由分层抽样的定义可知＝＝，解得x＝800.

题型三　分层抽样的设计

例4 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解该政府机构的改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并具体实施操作.

解　因为个体差异明显，为体现调查的公平性，应该采用分层抽样.

因为＝，

所以从副处级以上干部中抽取10×＝2(人)，

从一般干部中抽取70×＝14(人)，

从工人中抽取20×＝4(人).

因为副处级以上干部与工人人数都较少，可分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人.

一般干部有70人，人数较多，首先按00，01，…，69编号，然后利用随机数表法抽取14人.

思维升华　分层抽样的步骤

训练3 某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，各区高中学生的视力有明显差异，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程.

解　(1)由于该市各区高中学生的视力有明显差异，故按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本.

(2)确定每层抽取个体的个数，在3个区分别抽取的学生人数之比是2∶3∶5，

所以抽取的学生人数分别是

200×＝40；200×＝60；

200×＝100.

(3)在各层分别按简单随机抽样抽取样本.

(4)综合每层抽样，组成容量为200的样本.

[课堂小结]

1.分层抽样中的两个比例关系.

(1)＝

(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比.

2.分层抽样的两类问题

(1)根据分层抽样的特征判断分层抽样.

(2)根据分层抽样的步骤设计分层抽样，特别是当总体容量不能被样本容量整除时注意剔除个体.

3.常见误区：忽视每个个体被抽到的机会相等而致误.

一、基础达标

1.某学校为了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)

A.抽签法   B.简单随机抽样

C.分层抽样   D.随机数法

答案　C

解析　根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样.

2.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)

A.100   B.150 

C.200   D.250

答案　A

解析　由题意可得，＝，解得n＝100，故选A.

3.在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本.

方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个.

方法2：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个.

对于上述问题，下列说法正确的是(　　)

①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是；

②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；

③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；

④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征.

A.①②   B.①③ 

C.①④   D.②③

答案　B

解析　根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是，故①正确，②错误.

由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法2抽到的样本更有代表性，③正确，④错误.故①③正确.

4.某商场有四类食品，食品类别和种数见下表.现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(　　)

A.7   B.6 

C.5   D.4

答案　B

解析　由已知可得抽样比为

＝，

∴抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为(10＋20)×＝6.

5.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为(　　)

A.8   B.11 

C.16   D.10

答案　A

解析　若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，

所以有x＋＋＋300＝3 500，解得x＝1 600.

故高一学生数为800，

因此应抽取高一学生数为＝8.

6.将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体.

答案　20

解析　由题意可设A，B，C中个体数分别为5k，3k，2k，

所以C中抽取个体数为

×100＝20.

7.一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人.按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________.

答案　12

解析　抽取女运动员的人数为×(98－56)＝12.

8.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比为2∶3∶5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n等于________.

答案　80

解析　16÷＝80.

9.一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程.

解　因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法.

具体过程如下：

第一步，将3万人分为5层，一个乡镇为一层.

第二步，按照抽样比求得各乡镇应抽取的人数分别为60，40，100，40，60.

第三步，采用简单随机抽样的方法，按照各层抽取的人数抽取各乡镇的样本.

第四步，将300人合到一起，即得到一个样本.

10.某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程.

解　抽样过程如下：

第一步，确定抽样比，样本量与总体的个体数的比为＝.

第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；

从教师中抽取112×＝14(人)；从后勤人员中抽取32×＝4(人).

第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人.

第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本.

二、能力提升

11.为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求(　　)

A.每层不等可能抽样

B.每层抽取的个体数相等

C.每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n(i＝1，2，…，k)个个体.(其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量)

D.只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制

答案　C

解析　A不正确.

B中由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体数，显然从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，因此B也不正确.

C中分层抽样要保证样本的结构与总体的结构保持一致，故C正确.

D不正确.

12.(多选)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则(　　)

A.应采用分层抽样抽取

B.应采用抽签法抽取

C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆

D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的

答案　ACD

解析　由于总体按型号分为三个子总体，所以应采用分层抽样抽取，A正确，B错误；

设三种型号的轿车依次抽取x辆，y辆，z辆，

则有解得

所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确；

由分层抽样的意义可知D也正确.

13.为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授(其中0<m≤72≤n).

(1)若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n；

(2)若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，求三所高校的教授的总人数.

解　(1)∵0<m≤72≤n，A，B两所高校中共抽取3名教授，∴B高校中抽取2人，

∴A高校中抽取1人，C高校中抽取3人，

∴＝＝，解得m＝36，n＝108.

(2)∵高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授数的，

∴(m＋n)＝72，

解得m＋n＝108，

∴三所高校的教授的总人数为m＋n＋72＝180.

三、创新拓展

14.某班有40名男生，20名女生，已知男女身高有明显不同，现欲调查平均身高，选取抽样比为，采用比例分配分层抽样方法，抽取男生1名，女生1名，你认为这种做法是否妥当？如果让你来调查，你准备怎样做？

解　这种做法不妥当.原因：取样比例数过小，很难准确反映总体情况，况且男、女身高差异较大，抽取人数相同，也不合理.

考虑到本题的情况，可以采用分层抽样，可取抽样比为.

男生抽取40×＝8(名)，女生抽取20×＝4(名)，各自用抽签法或随机数法抽取组成样本.