限时小练22　函数的最值

1.函数f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值，最小值分别为(　　)

A.f(2)，f(－2) B.f，f(－1)

C.f，f D.f，f(0)

答案　C

解析　根据最值定义，结合函数图象可知，

当x＝－时，有最小值f；

当x＝时，有最大值f.

2.函数f(x)＝x＋在[1，4]上的最大值为________；最小值为________.

答案　5　4

解析　设1≤x1<x2<2，

则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋

＝(x1－x2)·＝(x1－x2)·＝.

∵1≤x1<x2<2，

∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0，

∴f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在[1，2)上是减函数.

同理：f(x)在[2，4]上是增函数.

∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；

当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.

3.已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).

(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

解　(1)当a＝时，

f(x)＝＝x＋＋2.

任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，

所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)·，

因为x1<x2且x1>1，x2>1，

所以x1－x2<0，x1x2>1，

所以1－>0，

所以(x1－x2)<0，

所以f(x1)<f(x2)，

即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数.

所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝1＋＋2＝.

(2)因为f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，

所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立.

记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，

所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a.

所以当3＋a>0，

即a>－3时，f(x)>0恒成立，

所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).