限时小练23　函数的奇偶性(一)

1.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)

A.奇函数 B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

答案　B

解析　F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x).

又x∈(－a，a)关于原点对称，

∴F(x)是偶函数.

2.若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝2，则下列各点在函数f(x)的图象上的是(　　)

A.(3，2)  B.(3，－2)

C.(－3，－2)   D.(2，－3)

答案　B

解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数及f(－3)＝2，∴f(3)＝－2，

即点(3，－2)在图象上.

3.若函数f(x)＝试问a为何值时，函数f(x)是奇函数？并证明你的结论.

解　由f(x)是奇函数，求a的值，过程如下：

若f(x)是奇函数，则有f(－x)＝－f(x).

当x>0时，－x<0，则f(－x)＝a(－x)2＋(－x)＝ax2－x，

又当x>0时，f(x)＝－x2＋x，

所以－f(x)＝x2－x.

由f(－x)＝－f(x)，得ax2－x＝x2－x，

故a＝1.

证明f(x)＝是奇函数，

过程如下：

当x>0时，－x<0，

则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝－(－x2＋x)＝－f(x)；

当x<0时，－x>0，

则f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－(x2＋x)＝－f(x)；

当x＝0时，－x＝0，

则f(－x)＝0＝－f(x)，

所以f(－x)＝－f(x)，

所以函数f(x)是奇函数.

故当a＝1时，函数f(x)是奇函数.