限时小练24　函数的奇偶性(二)

1.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)

A.y＝x   B.y＝|x|＋1

C.y＝－x2＋1   D.y＝－

答案　B

解析　A：y＝x是奇函数，故不符合题意；

B：y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；

C：y＝－x2＋1是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，不合题意；

D：y＝－是奇函数，不合题意.故答案为B.

2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2，都有<0，且f(2)＝0，则满足(x－1)f(x)>0的x的取值范围是(　　)

A.(－∞，－2)∪(0，1)∪(2，＋∞)

B.(－2，0)∪(1，2)

C.(－2，1)∪(2，＋∞)

D.(－∞，－2)∪(1，2)

答案　B

解析　由题知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递减，且f(2)＝0.

又∵f(x)是奇函数，

∴f(x)在(－∞，0)上单调递减且f(－2)＝0，函数图象大致如图.

由(x－1)f(x)>0得

或

即

或

解得1<x<2或－2<x<0，故选B.

3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.

(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；

(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围.

解　(1)因为a>b，所以a－b>0，

由题意得>0，

所以f(a)＋f(－b)>0.

又f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(－b)＝－f(b)，

所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b).

(2)由(1)知f(x)为R上的增函数，

因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，

所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，

即f(1＋m)≥f(2m－3)，

所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.

所以实数m的取值范围为(－∞，4].