培优课　一道基本不等式问题的“一题多解”

例题 已知正数a，b满足＋＝3，求a＋b的取值范围.

法一　“1”的整体代换

解　由＋＝3得＋＝1，

∴a＋b＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＝，

当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以a＋b的取值范围是.

思维升华　“1”的整体代换关键是构造出“1”，把 ＋作为一个整体乘入到a＋b中.一般情况下，(ax＋by)·＝ac＋bd＋＋≥(＋)2(a，b，c，d>0)，即ax＋by与＋中知一可求另外一个的最小值.

法二　求谁保留谁＋基本不等式组

≤≤≤(a，b>0)

解　已知＋＝3，

则3＝＋≥2＝2，即3≥，解得≥，得ab≥，

当且仅当即a＝b＝时取等号.

由＋＝3可得a＋b＝3ab≥3×＝，即a＋b的取值范围是.

思维升华　(1)由＋＝3可得a＋b＝3ab，要求a＋b的范围，则需消去ab，即利用a＋b与ab的不等关系进行转化.

(2)基本不等式组≤≤≤(a，b>0)，同学们可利用≤自行证明.

法三　求谁保留谁＋基本不等式组ab≤≤

解　由＋＝3得a＋b＝3ab.

又ab≤，

所以≤，

即4(a＋b)≤3(a＋b)2，所以a＋b≥，

当且仅当即a＝b＝时取等号，即a＋b的取值范围是.

思维升华　方法三与方法二的解题思想是一致的，只是应用了不同的不等式.

法四　化归思想：二元转化为一元

解　由＋＝3得a＋b＝3ab，

∴b＝，由于a>0，b>0，可得a>，

则a＋b＝a＋＝a＋×＝a＋＋

＝a－＋＋≥2＋＝，

当a－＝，即a＝时取等号，

∴a＋b的取值范围是.

思维升华　法四利用条件＋＝3消去b，转化关于a的代数式，然后利用基本不等式求解.

法五　判别式法

解　由＋＝3得a＋b＝3ab，(1)

设a＋b＝k，则b＝k－a，

代入(1)式得k＝3a(k－a)，

整理得3a2－3ak＋k＝0，

又由＋＝3得a>，

即方程3a2－3ta＋t＝0存在大于的实数根，令y＝3a2－3ta＋t，由其函数图象可知

解得t≥.

所以a＋b的取值范围是.

思维升华　法五通过换元法把不等式问题转化为一元二次函数问题，借助于二次函数的图象构造不等式组求解.

以上可见，五种方法各有特点、繁简不一，但都是不等式中的常见方法，尤其是前四种方法，灵活多变，涵盖了基本不等式应用基本思路，同学们要切实掌握.

训练 1.已知m>0，n>0，且m＋2n＝3mn，则2m＋n的最小值是(　　)

A.   B.3 

C.7   D.9

答案　B

解析　由题意可得＋＝3，

则2m＋n＝(2m＋n)＝≥×(2＋5)＝3 ，

当且仅当m＝n＝1时，等号成立.

2.已知正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为(　　)

A.14＋4   B.25

C.24   D.12

答案　A

解析　＝·＝·＝

＝14＋8·＋3·≥14＋2＝14＋4.

当且仅当＝时取等号.

3.已知x>0，y>0，2x＋y＝3，则＋的最小值是(　　)

A.3   B. 

C.   D.9

答案　B

解析　∵x>0，y>0，2x＋y＝3，所以(2x＋1)＋y＝4，

则＋＝(2x＋1＋y)＝

≥＝＝，

当且仅当＝且2x＋1＋y＝4即x＝，y＝时取等号，则＋的最小值是.

4.已知实数x，y满足x>y>0，且x＋y＝2，则＋的最小值为(　　)

A.3＋2   B.

C.3－2   D.

答案　B

解析　∵x＋y＝2，＝＝1，

∵x>y>0，∴x－y>0，所以，＋

＝

＝

≥＝.

当且仅当x＋3y＝(x－y)时，等号成立，

因此，＋的最小值为.

5.若a，b为正实数，且＋＝1，则a＋b的最小值为(　　)

A.   B. 

C.2   D.4

答案　B

解析　由已知可得a＋b＝(3a＋3b)＝[(2a＋b)＋(a＋2b)]

＝[(2a＋b)＋(a＋2b)]·＝

≥＝，

当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以a＋b的最小值为.