培优课　集合中的创新问题

1.集合中创新问题的类型有：(1)新定义概念；(2)新定义性质；(3)新定义运算.

2.解决集合的创新问题一般要紧扣新概念、新性质或新运算进行推理论证，把问题转化为我们熟知的问题来解决.解决此类问题的通性通法可归纳为三个步骤：

(1)提取——确定解题方向；

(2)加工——探求解题方法；

(3)输出——转化进而解题.

类型一　新定义集合的概念

例1 若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：

①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；

②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；

③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；

④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}.

其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是(　　)

A.①②   B.①③ 

C.①②④   D.②④

答案　D

解析　①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，所以①错；

②④都满足集合X上的一个拓扑集合τ的三个条件，所以②④正确；

③{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，所以③错.故选D.

类型二　新定义集合的性质

例2 非空集合A具有下列性质：①若x，y∈A，则∈A；②若x，y∈A，则x＋y∈A，下列判断一定成立的是(　　)

(1)－1∉A；(2)∈A；

(3)若x，y∈A，则xy∈A；

(4)若x，y∈A，则x－y∉A.

A.(1)(3)   B.(1)(4)

C.(1)(2)(3)   D.(2)(3)(4)

答案　C

解析　对于(1)，若－1∈A，则＝1∈A，因此－1＋1＝0∈A；

而对于x＝－1∈A，y＝0∈A时，显然无意义，不满足∈A，所以－1∉A，故(1)正确；

对于(2)，若x≠0且x∈A，则1＝∈A，

∴2＝1＋1∈A，3＝2＋1∈A，

依此类推可得知，∀n∈N＋，n∈A，

∴2 021∈A，2 022∈A，

∴∈A，(2)正确；

对于(3)，若x，y∈A，则x≠0且y≠0，由(2)可知，1∈A，

则∈A，所以，xy＝∈A，(3)正确；

对于(4)，由(2)得，1，2∈A，取x＝2，y＝1，

则x－y＝1∈A，所以(4)错误.

类型三　新定义集合的运算

例3 设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应.)若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则下列等式不能恒成立的是(　　)

A.(a*b)*a＝a B.[a*(b*a)]*(a*b)＝a

C.b*(b*b)＝b D.(a*b)*[b*(a*b)]＝b

答案　A

解析　根据定义对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，

故对于A选项，(a*b)*a＝a不满足新定义的形式，故其不一定恒成立，故A选项不正确；

对于B选项，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，故B选项正确；

对于C选项，b*(b*b)＝b满足定义，故C选项正确；

对于D选项，把(a*b)看成一个整体，故(a*b)*[b*(a*b)]＝b，故正确.