进阶训练3(范围：3.2.1～3.2.2)

一、基础达标

1.函数y＝的最大值是(　　)

A.3   B.4 

C.5   D.6

答案　C

解析　当x<1时，函数y＝x＋3单调递增，且有y<4；

当x≥1时，函数y＝－x＋6单调递减，则在x＝1处取得最大值，为5.

所以函数在整个定义域内的最大值为5.故选C.

2.如果偶函数f(x)在区间[a，b]上有最大值M，那么f(x)在区间[－b，－a]上(　　)

A.有最小值－M   B.没有最小值

C.有最大值M   D.没有最大值

答案　C

解析　偶函数的图象关于y轴对称，

因为函数f(x)在区间[a，b]上有最大值M，

所以函数f(x)在区间[－b，－a]上也有最大值M.故选C.

3.函数f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则函数y＝f(x＋5)的单调递增区间是(　　)

A.(3，8)   B.(－7，－2)

C.(－2，3)   D.(0，5)

答案　B

解析　∵函数f(x)的单调递增区间是(－2，3)，

∴y＝f(x＋5)的单调递增区间应由x＋5∈(－2，3)解得，

故x∈(－7，－2)，

此即为函数y＝f(x＋5)的单调递增区间.

4.已知f(x)＝f(2－x)，x∈R，当x∈(1，＋∞)时，f(x)为增函数.设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(－1)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.a>b>c   B.b>a>c

C.c>a>b   D.c>b>a

答案　D

解析　∵f(x)＝f(2－x)，

∴f(－1)＝f(3).

∵x∈(1，＋∞)时，f(x)为增函数，

∴f(3)>f(2)>f(1)，∴c>b>a.

5.已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围为(　　)

A.(－∞，2]   B.[2，4]

C.[2，＋∞)   D.[4，＋∞)

答案　B

解析　因为函数f(x)＝是R上的减函数，

所以f(x)＝x2－ax＋5在(－∞，1)上单调递减且1－a＋5≥2，

即解得2≤a≤4.

6.设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，y＝f(x)在区间

(－∞，1)上是减函数，且图象过原点，则不等式(x－1)f(x)<0的解集为________.

答案　(－∞，0)∪(1，2)

解析　∵函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，

∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称.

∵函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数.

又f(0)＝0，∴f(x)的大致图象如图所示.

∴当x>1时，f(x)<0＝f(2)，

解得1<x<2.

当x<1时，f(x)>0＝f(0)，解得x<0.

综上，不等式(x－1)f(x)<0的解集是(－∞，0)∪(1，2).

7.对于定义在R上的函数f(x)，有下列命题：①若f(x)满足f(2 022)>f(2 021)，则f(x)在R上不是减函数；②若f(x)满足f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数；③若f(x)满足在区间(－∞，0)上是减函数，在区间[0，＋∞)也是减函数，则f(x)在R上也是减函数；④若f(x)满足f(－2 022)≠f(2 022)，则函数f(x)不是偶函数.其中正确命题的序号是________(填序号).

答案　①④

解析　①正确，若定义在R上的函数f(x)是减函数，则有f(2 022)<f(2 021)；

②错误，如函数f(x)＝x3－4x，满足f(－2)＝f(2)，但f(x)是奇函数；

③错误，给出函数f(x)＝在区间(－∞，0)上是减函数，在区间[0，＋∞)上也是减函数，但在R上不是减函数；

④正确，若定义在R上的函数f(x)是偶函数，则有f(－2 022)＝f(2 022).

8.已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.若对于0<x<y，都有f(x)<f(y)，则不等式f(x－1)＋f(x＋1)<2的解集为________(表示成集合).

答案　{x|1<x<}

解析　根据题意得到f(4)＝2，f(x－1)＋f(x＋1)＝f(x2－1)<2＝f(4)，

因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

所以0<x2－1<4⇒1<x<.

所以不等式的解集为{x|1<x<}.

9.已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示.

(1)请补全函数f(x)的图象；

(2)求函数f(x)的表达式；

(3)写出函数f(x)的单调区间.

解　(1)补全的函数图象如图所示.

(2)由图象可得f(x)＝(x－1)2－1，x≥0，

当x<0时，由图象或利用奇函数的性质可得f(x)＝－(x＋1)2＋1，

∴f(x)＝

(3)由图象，可得增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)，减区间为(－1，1).

10.已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝2.

(1)求m.

(2)判断f(x)的奇偶性.

(3)函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数还是减函数？并用定义证明.

解　(1)∵f(1)＝2，∴1＋m＝2，∴m＝1.

(2)由题意知f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

∵f(x)＝x＋，

f(－x)＝－x－＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数.

(3)增函数，证明如下：

设x1，x2是(1，＋∞)上的任意两实数，且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝x1＋－＝x1－x2＋＝x1－x2－

＝(x1－x2).

∵1<x1<x2，

∴x1x2>1，x1x2－1>0，x1－x2<0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

∴函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上为增函数.

二、能力提升

11.函数f(x)＝＋的最小值为________.

答案　

解析　要使函数有意义，则

则据此可得函数的定义域为{x|x≥3或x≤－3}，

由于函数y＝，y＝都在区间(－∞，－3]上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增，

故函数的最小值为min{f(－3)，f(3)}，

而f(－3)＝2，f(3)＝，

据此可得函数f(x)＝＋的最小值为.

12.函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象由一段抛物线和一条射线组成(如图所示).如果对任意x∈[a，b](b<0)，都有y∈[－2，1]，那么b－a的最大值是________.

答案　4

解析　根据题意，当x≥0时，抛物线的对称轴为直线x＝1，且最高点坐标为(1，2)，设函数f(x)＝a(x－1)2＋2，

又由其经过点(0，1)，则a＝－1，

则f(x)＝－x2＋2x＋1，

若f(x)＝1，则x＝0或2，

射线经过点(3，－2)和(5，0)，

其方程为g(x)＝x－5(x≥3)，

若g(x)＝x－5＝1，则x＝6.

故在[0，＋∞)上，满足y∈[－2，1]的最大区间为[2，6].

又由f(x)为偶函数，则对任意x∈[a，b](b<0)，都有y∈[－2，1]，

则[a，b]＝[－6，－2]，

那么b－a的最大值是(－2)－(－6)＝4.

13.已知函数f(x)＝.

(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；

(2)判断当x∈(－1，1)时函数f(x)的单调性，并用定义证明；

(3)若f(x)的定义域为(－1，1)，解不等式f(2x－1)＋f(x)<0.

解　(1)函数f(x)为奇函数，证明如下：

∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，

∴f(x)＝为奇函数.

(2)函数f(x)在(－1，1)上为增函数.

证明如下：

任取－1<x1<x2<1，则

f(x1)－f(x2)＝－＝＝＝.

∵－1<x1<x2<1，

∴x2－x1>0，x1x2－1<0，

∴<0，

即f(x1)<f(x2)，

故f(x)＝在(－1，1)上为增函数.

(3)由(1)(2)可得f(2x－1)＋f(x)<0⇔f(x)<－f(2x－1)＝f(1－2x)，

则

解得0<x<，

∴原不等式的解集为.

三、创新拓展

14.已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1.若对任意m，n∈[－1，1]且m＋n≠0都有>0.

(1)判断函数f(x)的单调性，并简要说明理由；

(2)若f<f(3a)，求实数a的取值范围；

(3)若不等式f(x)≤(1－2a)t＋2对所有x∈[－1，1]和a∈[－1，1]都恒成立，求实数t的取值范围.

解　(1)增函数.理由：设任意x1，x2满足－1≤x1<x2≤1，

由题意可得f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝(x1－x2)<0，

∴f(x)在定义域[－1，1]上为增函数.

(2)由(1)知f<f(3a)⇒⇒<a≤，即a的取值范围为.

(3)由(1)知f(x)max＝1，

∴f(x)≤(1－2a)t＋2对任意a∈[－1，1]恒成立⇒1≤－2ta＋t＋2对任意a∈[－1，1]恒成立，

∴∴－≤t≤1，

即t的取值范围为.