进阶训练7（范围：5.3～5.4）

一、基础达标

1.函数y＝sin在（　　）

A.[0，π]上是减函数 B.上是增函数

C.[－π，0]上是减函数 D.[－π，π]上是减函数

答案　A

解析　因为y＝sin＝cos x，且y＝cos x在区间[0，π]上是减函数，

所以函数y＝sin在[0，π]上是减函数.故选A.

2.已知m是函数f（x）＝cos x图象一个对称中心的横坐标，则f（m）＝（　　）

A.－1   B.0 

C.  D.1

答案　B

解析　函数f（x）＝cos x图象的对称中心的横坐标为x＝＋kπ，k∈Z.

则m＝＋kπ，k∈Z，

从而f（m）＝f＝cos＝0.故选B.

3.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是（　　）

A.y＝sin 2x   B.y＝2|cos x|

C.y＝cos    D.y＝tan（－x）

答案　D

解析　函数在上单调递减，在上单调递增，故A排除；

函数在上单调递增，故B排除；

函数的周期是4π，故C排除.故选D.

4.若将函数f（x）＝sin 2x的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g（x）的图象，则关于y＝g（x）的说法正确的是（　　）

A.函数y＝g（x）的图象关于点中心对称

B.函数y＝g（x）的图象关于直线x＝－对称

C.在上单调递增

D.在上单调递增

答案　D

解析　函数f（x）＝sin 2x的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，

则g（x）＝sin＝sin.

对于A，当x＝－时，

sin＝－≠0，故错误；

对于B，当x＝－时，sin＝－≠±1，故错误；

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

∴函数y＝g（x）在上单调递增，故C错误，D正确.

5.下列命题正确的是（　　）

A.若α，β是第一象限角，且α<β，则sin α<sin β

B.函数y＝cos的单调减区间是，k∈Z

C.函数y＝|tan x|的最小正周期是

D.函数y＝sin是偶函数

答案　D

解析　对于A，取α＝－，β＝，它们都是第一象限角且α<β，但sin α>sin β，故A错.

对于B，取x1＝－，x2＝，x1<x2且x1，x2∈（k＝0），

但cos＝－1，

cos＝1，cos<cos，y＝cos在此区间上不是减函数，故B错.

对于C，取α＝，则＝≠|tan α|，故C错.

对于D，因为y＝sin＝cos x，它是偶函数，故D正确.故选D.

6.函数f（x）＝的定义域为　　　.

答案　R

解析　要使函数有意义，需cos（sin x）≥0.

又∵－1≤sin x≤1，

如图，令t＝sin x∈，

∴无论x取何值都有cos（sin x）>0.

故答案的定义域为R.

7.已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）

的图象如图所示，那么ω＝　　　　，φ＝　　　　.

答案　2　

解析　由题意可得T＝·＝－＝，解得ω＝2.

再由五点法作图可得2×＋φ＝，解得φ＝.

8.某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）＝10－2sin，t∈[0，24），该实验室这一天的最大温差为　　　　.

答案　4

解析　因为f（t）＝10－2sin，t∈[0，24），

所以≤t＋<.当t＋＝，

即t＝14时，函数f（t）取得最大值为10＋2＝12；

当t＋＝，即t＝2时，函数f（t）取得最小值为10－2＝8，

所以一天的最大温差为12－8＝4.

9.不求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小.

（1）tan 167°与tan 173°；

（2）tan与tan.

解　（1）∵90°<167°<173°<180°，

又y＝tan x在90°<x<270°范围内是增函数，

∴tan 167°<tan 173°.

（2）∵tan＝－tan ＝tan ，

tan＝－tan＝tan，

又0<<<，函数y＝tan x在上是增函数，∴tan <tan ，即tan<tan.

10.函数f1（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的一段图象过点（0，1），如图所示.

（1）求函数f1（x）的表达式；

（2）将函数y＝f1（x）的图象向右平移个单位长度，得函数y＝f2（x）的图象，求y＝f2（x）的最大值，并求出此时自变量x的集合.

解　（1）由图象知T＝π，于是ω＝＝2.

将函数y＝Asin 2x的图象向左平移个单位长度，得

y＝Asin 2＝Asin，

∴φ＝.

将（0，1）代入y＝Asin，得A＝2.

故f1（x）＝2sin.

（2）依题意f2（x）＝2sin＝－2cos.

当2x＋＝2kπ＋π（k∈Z），

即x＝kπ＋（k∈Z）时，ymax＝2.

∴此时x的集合.

二、能力提升

11.将函数f（x）＝cos的图象向左平移φ（φ>0）个单位，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）为奇函数，则φ的最小值是（　　）

A.   B. 

C.   D.

答案　A

解析　由题意，知

g（x）＝cos.

因为g（x）为奇函数，所以2φ＋＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝＋，k∈Z，又φ>0，

所以当k＝0时，φ取得最小值.

12.已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ），ω>0，若f＝3，f（π）＝0，f（x）在上单调递减，那么ω的取值共有　　　　个.

答案　5

解析　∵f＝3，f（π）＝0，

∴π－＝·T，T＝，

∵f（x）在上单调递减，

∴≥－＝，

∴T≥，

即≥，∴2n－1≤10，∴n＝1，2，3，4，5，即周期T有5个不同取值，所以ω的取值共有5个.

13.如图为函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<π）的图象的一部分，其中点P是图象的一个最高点，点Q是图象与x轴的一个交点，且为点P左侧第一个与x轴的交点.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若将函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）的单调递增区间.

解　（1）由函数f（x）的图象可知A＝2，

最小正周期T＝4＝4π，

∴ω＝＝，

∴f（x）＝2sin.

又∵点P是函数图象的一个最高点，∴2sin＝2，

∴＋φ＝＋2kπ（k∈Z）.

∵|φ|<π，∴φ＝－，

∴f（x）＝2sin.

（2）由（1）知f（x）＝2sin.

把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝2sin的图象，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝2sin的图象.

由题意，得g（x）＝2sin.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），

∴函数y＝g（x）的单调递增区间是（k∈Z）.

三、创新拓展

14.已知f（x）＝－sin2x＋sin x＋a.

（1）当f（x）＝0有实数解时，求实数a的取值范围；

（2）若对x∈R，恒有1≤f（x）≤，求实数a的取值范围.

解　（1）由f（x）＝0，得a＝sin2x－sin x＝－.

当sin x＝－1时，amax＝2；

当sin x＝时，amin＝－.

∴实数a的取值范围为.

（2）由1≤f（x）≤，得1≤－sin2x＋sin x＋a≤，即a≤sin2x－sin x＋，

且a≥sin2x－sin x＋1对x∈R恒成立.

由sin2x－sin x＋＝＋4≥4，得a≤4.

由sin2x－sin x＋1＝＋≤3，得a≥3.

故3≤a≤4，∴实数a的取值范围为[3，4].