章末复习提升

要点一　抽样方法

1.抽样方法主要有：简单随机抽样和分层抽样.

2.当总体由差异明显的几个部分组成时，采用分层抽样，即对各层按其在总体中所占比例独立进行简单随机抽样，而简单随机抽样又有抽签法和随机数法两种.

例1 (1)以下抽样方法是简单随机抽样的是(　　)

A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖

B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C.某学校分别从行政人员、老师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见

D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验

(2)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(　　)

A.6   B.8 

C.10   D.12

答案　(1)D　(2)B

解析　(1)选项A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；

选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；

选项D是简单随机抽样.

(2)分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本.

设从高二年级抽取的学生数为n，则＝，得n＝8.

训练1 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是(　　)

A.12，24，15，9   B.9，12，12，7

C.8，15，12，5   D.8，16，10，6

答案　D

解析　因为抽样比为＝，故各层中依次抽取的人数分别是＝8，＝16，＝10，＝6.

要点二　统计图表

扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；

折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频率分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频率分布情况，易于显示各组之间频率的差别.

例2 亚健康是时下社会热门话题，进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式，为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了100名初中学生，根据调查结果得到如图所示的统计图表.

请根据图表信息解答下列问题：

(1)a＝________；

(2)补全条形统计图；

(3)小王说：“我每天的锻炼时间是调查所得数据的中位数”，问小王每天进行体育锻炼的时间在什么范围内？

(4)据了解该市大约有30万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数.

解　(1)a＝100－(5＋20＋30＋10)＝35.

故答案为35；

(2)补全条形统计图如下图所示：

(3)根据中位数的定义可知，这组数据的中位数落在C类别，所以小王每天进行体育锻炼的时间范围是1<t≤1.5；

(4)30×＝22.5(万人).

即估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数是22.5万人.

训练2 为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表.

根据图表中信息，回答下列问题：

(1)在样本中，男生身高的中位数落在________组(填组别序号)，女生身高在B组的人数有________人；

(2)在样本中，身高在150≤x<155之间的人数共有________人，身高人数最多的在________组(填组别序号)；

(3)已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在155≤x<165之间的学生约有多少人？

解　(1)∵在样本中，共有男生2＋4＋8＋12＋14＝40人，

∴中位数是第20和第21人的平均数，

∴男生身高的中位数落在D组，

女生身高在B组的人数有40×(1－30%－20%－15%－5%)＝12人；

(2)在样本中，身高在150≤x<155之间的人数共有4＋12＝16(人)，身高人数最多的在C组；

(3)500×＋480×(30%＋15%)＝541(人)，

故估计身高在155≤x<165之间的学生约有541人.

要点三　用样本的频率分布估计总体频率分布

总体分布中相应的统计图表主要包括：频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图等.通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体.

已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据.

例3 某制造商生产一批直径为40 mm的乒乓球，现随机抽样检查20个，测得每个球的直径(单位：mm，保留两位小数)如下：

40.03　40.00　39.98　40.00　39.99　40.00　39.98

40.01　39.98　39.99　40.00　39.99　39.95　40.01

40.02　39.98　40.00　39.99　40.00　39.96

(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；

(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm为合格品.若这批乒乓球的总数为10 000，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格个数.

解　(1)频率分布表如下：

频率分布直方图如图：

(2)∵抽样的20个产品中在[39.98，40.02]范围内的有17个，

∴合格品频率为×100%＝85%.

∴10 000×85%＝8 500.故根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格个数为

8 500.

训练3 某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，体重在[45，50)内适合跑步训练，体重在[50，55)内适合跳远训练，体重在[55，60]内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为(　　)

A.4∶3∶1   B.5∶3∶1

C.5∶3∶2   D.3∶2∶1

答案　B

解析　体重在[45，50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50，55)内的频率为0.06×5＝0.30，体重在[55，60]内的频率为0.02×5＝0.1，

∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1，

∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1，故选B.

要点四　用样本的集中趋势、离散程度估计总体

为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、极差、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度.众数就是样本数据中出现次数最多的那个值；中位数就是把样本数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，中位数为处于中间位置的数，如果数据的个数是偶数，中位数为中间两个数据的平均数；平均数就是所有样本数据的平均值，用表示；标准差是反映样本数据离散程度大小的最常用统计量，其计算公式是

s＝ .

有时也用标准差的平方(方差)来代替标准差.

例4 甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如图所示：

(1)填写下表：

(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：

①从平均数和方差结合分析偏离程度；

②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；

③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；

④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.

解　(1)乙的射靶环数依次为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，

所以乙＝(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；

乙的射靶环数从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，

所以中位数是＝7.5；

甲的射靶环数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，

所以中位数为7.

于是填充后的表格如下表所示：

(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s＜s，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大.

②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好.

③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好.

④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力.

训练4 天猫“双11”全球狂欢节正在火热进行，某天猫商家对2022年“双11”期间的10 000名网络购物者的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示：

(1)求直方图中的a的值；

(2)估计这10 000名网络购物者在2022“双11”的消费的中位数和平均数(保留小数点后三位).

解　(1)由题意可知，0.02＋0.08＋0.15＋0.2＋0.25＋0.1×a＝1，解得a＝3.

(2)设中位数为t，则1.5×0.1＋2.5×0.1＋(t－0.5)×3＝0.5，则t≈0.533，

平均数＝0.35×0.15＋0.45×0.25＋0.55×0.3＋0.65×0.2＋0.75×0.08＋0.85×0.02＝0.537.

要点五　样本的百分位数

计算一组n个数据的第Pr百分位数的步骤

第1步，按从小到大排列原始数据，如x1，x2，…，xn.

第2步，计算c＝n×r%.

第3步，若c不是整数，用m表示比c大的最小整数，则所求的Pr是xm；如果c是整数，则所求的Pr＝.

例5 欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署公布了2013年全球主要20个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，结果如下表：

则这些国家和地区人均二氧化碳排放量的四分位数是多少.

解　把这20个国家和地区的人均二氧化碳排放量按从小到大的顺序排列：

1.7，2.0，2.6，3.9，5.3，5.7，6.2，6.4，7.3，7.4，7.5，8.5，10.2，10.7，12.6，12.7，15.7，16.6，16.6，16.9.

而20×25%＝5，

所以这20个数的第一四分位数为＝5.5.

而20×50%＝10，

所以第二四分位数为＝7.45，

而20×75%＝15，

所以第三四分位数为＝12.65.

所以这20个国家和地区的人均二氧化碳排放量的四分位数为：

训练5 某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)：

63　38　25　42　56　48　53　39　28　47

则上述数据的第50百分位数为________.

答案　44.5

解析　把这组数据从小到大排序：25，28，38，39，42，47，48，53，56，63，

则10×50%＝5.

所以第50百分位数为＝＝44.5.