2023年安徽省百校联赢名校大联考一模数学试卷

百校联赢·2023安徽名校大联考一数学（试题卷）

注意事项：

1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。

3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1. 下列为负数的是（　　）

A.  B.  C. 0 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据在理数的定义判断即可．

【详解】解：A、，是正数，故本选项不合题意；

B、，是正数，故本选项不合题意；

C、0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；

D、是负数，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了有理数，绝对值以及相反数，掌握负数的定义是解答本题的关键．

2. 一根直尺和一个角的三角板按如图方式叠合在一起，若，则的度数是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得：，根据平行线的性质可得，再由平角的定义，即可求解．

【详解】解：如图，

根据题意得：，

∴，

∵，

∴．

故选：A

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

3. 2022年全国粮食总产量约13700亿斤，比上年增加73.6亿斤，这里“13700亿”用科学记数法表示为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．

【详解】解：13700亿．

故选：B

【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．

4. 如图是某几何体三视图，该几何体是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意得：有两面都是等腰三角形，一面为圆，可得此几何体是圆锥．

【详解】解：根据题意得：有两面都是等腰三角形，一面为圆，可得此几何体是圆锥．

故选：C．

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．

5. 估计的值在（    ）

A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间

【答案】A

【解析】

【分析】先估算出的值，即可解答．

【详解】解：∵16＜19＜25，

∴4＜＜5，

∴3＜-1＜4，

∴估计-1的值在3和4之间，

故选：A．

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．

6. 某人在甲、乙、丙、丁四个超市购买某品牌商品的总价和购买数量如图所示，按平均单价计算，购买该品牌商品最划算的超市是（　　）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】C

【解析】

【分析】根据图象，分别求得各超市的平均单价，比较即可得到答案．

【详解】解：由图象知，甲超市的平均单价为（元/千克），

乙超市的平均单价为（元/千克），

丙超市的平均单价为（元/千克），

丁超市的平均单价为（元/千克），

∵，

∴购买该品牌商品最划算的是丙超市，

故选：C．

【点睛】本题考查了坐标与图形，有理数除法运算，有理数的大小比较，掌握有理数的除法运算法则是解题的关键．

7. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，点M是边的中点，连接，若，菱形的面积为48，则的值为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据菱形的性质可得，由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可计算出的长度，根据勾股定理即可求得的长，再根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案．

【详解】解：∵四边形是菱形，

又，

，

解得，

，

，点O是的中点，点M是边的中点，

∴在与中，

，，

，

故选：D．

【点睛】本题主要考查了菱形及直角三角形的性质，合理应用性质进行计算是解决本题的关键．

8. 在3×3网格中，把2个小正方形涂上灰色，把2个小正方形涂上黑色，如图，现在把剩下小正方形中的一个小正方形涂上黑色，则正好能组成轴对称图形的概率是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，涂黑一个格共5种等可能情况，结合轴对称的意义，可得到轴对称图形的情况数目，结合概率的计算公式，计算可得答案．

【详解】根据题意，涂黑每一个格都会出现一种等可能情况，共出现5种等可能情况，

当涂黑左上角和右下角的正方形时正好能组成轴对称图形，只有2种是轴对称图形，

∴正好能组成轴对称图形：．
故选：A．

【点睛】此题考查几何概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．

9. 如图，在中，，点D在斜边上，连接，且，以点A为圆心，以长为半径作弧交于点E，连接，取的中点F，连接．下列结论中不正确的是（　　）

A. 平分 B.

C. 若，则 D. 若，则

【答案】B

【解析】

【分析】根据等腰三角形的判定，可得，再证明，可得，再由三角形中位线定理可得，，可得，进而得到，再逐项判断，即可．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∵的中点F，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴DB平分∠ADF，故选项A正确，不符合题意；

∵，，

∴，故选项C正确，不符合题意；

∵，

∴，

∴，

∴选项D正确，不符合题意；

由，

∴是的中线，不一定是上的高，

∴不一定为，

∴不一定相等，故选项B不正确，符合题意；

故选B．

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．

10. 如图，中，，，，点D是边上一动点（不与点A，B重合），过点D作交于点E，点P在边上，连接，若，的面积为y，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】过点D作于M，过点B作于N，交于F，得到四边形是矩形，即，证明，列得，求出，即可得出函数关系式，由此判断图象．

【详解】过点D作于M，过点B作于N，交于F，

∵，

∴，

∴四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，，

∵，

∴，

∴

∴，

∴，

∴，

∵，

∴抛物线开口向下，又，

∴函数图象是以直线为对称轴的抛物线，位于x轴上方的部分，

故选C．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，求函数关系式，判断函数图象，正确掌握相似三角形的判定求出是解题的关键．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 计算_____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据零次幂和乘方的运算方法计算即可．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了零次幂和乘方的运算，解题关键是明确零次幂的运算法则，准确进行计算．

12. 如图，四边形的对角线，相交于点O，若，，想要判断四边形是菱形，则可以添加一个条件是_____________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据菱形的判定方法进行解答即可．

【详解】解：∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴四边形为平行四边形，

如果添加，可以通过有一组邻边相等的平行四边形是菱形，判断四边形为菱形；

故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．

13. 如图，中，，，，以为直径的交于点，则的长为_____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据已知条件得到的度数，在利用锐角三角函数得到半径的值，最后利用弧长公式即可得解答．

【详解】解：连接，

∵，，，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴的长为：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了锐角三角函数，圆周角定理，弧长公式，掌握锐角三角函数是解题的关键．

14. 已知二次函数（a是常数，且）．

（1）该二次函数图象的对称轴是_____________；

（2）该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为_____________．

【答案】    ①. 直线    ②.

【解析】

【分析】（1）利用对称轴公式进行求解即可；

（2）求出图象与y轴的纵坐标，转化为二次函数求最值即可．

【详解】解：（1）该二次函数图象的对称轴是直线；

故答案为：直线；

（2）当时，，

∵，

∴抛物线开口向下，

∴当时，y有最大值，即该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为．

故答案为：．

【点睛】本题考查求二次函数的对称轴以及最值．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 先化简，后求值：，其中．

【答案】，

【解析】

【分析】根据分式混合运算顺序和法则化简后，把代入化简结果计算即可．

【详解】解：原式

当时，原式．

【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键．

16. 如图，在边长为1个单位长度小正方形组成网格中，的顶点为格点（网格线的交点），直线l经过格点．

（1）画出关于直线l成轴对称的．

（2）将先向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到，请画出．

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据轴对称图形的性质得到关于直线l的对称点，即可求解；

（2）根据平移的性质得到平移后的对称点，即可求解．

【小问1详解】

解：如图，即为所求；

【小问2详解】

解：如图，即为所求．

【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，图形的平移，熟练掌握轴对称图形的性质，平移的性质是解题的关键．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 如图，为了测量东西走向的公路桥梁的长度，数学兴趣小组在公路桥南侧选定观测点C，测得A在C北偏西方向上，点B在C的北偏东方向上，若测得米．求公路桥梁的长（精确到1米）．（参考数据，，）．

【答案】约400米

【解析】

【分析】作于点H，则，利用同角的余角的性质得到，利用代入数值即可得到答案．

【详解】解：作于点H，则，

在中，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴（米），

答：公路桥梁AB的长约为400米．

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合和准确计算是解题的关键．

18. 观察以下等式：

第1个等式；第2个等式；

第3个等式；第4个等式；……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：                 ；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．

【答案】（1）；   

（2）；见解析

【解析】

【分析】（1）根据上述等式可知，第一个加数的分子比分母大1，第二个加数是第一个加数的倒数，减数是2，等式右边分子为1，分母为两个加数分母的乘积，据此写出第5个等式即可；

（2）根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明即可．

【小问1详解】

解：由题意得，第5个等式为：，

故答案为：；

【小问2详解】

解：猜想：；

证明如下：

等式左边，

等式右边，

∴等式左边等式右边，

∴猜想成立．

【点睛】本题主要考查了分式的规律性问题，异分母分式加减法，正确理解题意找到规律是解题的关键．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 点P在外，点A，C在上，连接分别交于点B，D

（1）如图1，若，，求的度数；

（2）如图2，若，求证：．

【答案】（1）   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，再由三角形外角的性质可得的度数，即可求解；

（2）连接，过点O分别作于M，于N，可证明，从而得到，进而得到，根据垂径定理可得，再证明，即可．

【小问1详解】

解：如图，连接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

【小问2详解】

证明：如图，连接，过点O分别作于M，于N．

∵，，，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．

20. 已知，反比例函数和反比例函数如图所示．

（1）点A在反比例函数的图象上，过点A作y轴的垂线交反比例函数的图象于点B，交y轴于点M，点P在x轴上，连接，求的面积；

（2）直线交反比例函数的图象于点C，交反比例函数的图象于点D，若，求n的值．

【答案】（1）5    （2）

【解析】

【分析】（1）如图，连接，根据反比例函数比例系数与面积的关系，可得，，根据求的值，根据可得的值；

（2）当时，，，，，可得点C的横坐标为，点D的横坐标为，根据，，可得，计算求解即可．

【小问1详解】

解：如图，连接，

∵轴，

∴，，

∴，

∵轴，

∴；

【小问2详解】

解：当时，，，，，

∴点C的横坐标为，点D的横坐标为，

∴，

∵，

∴，

解得，

经检验，是分式方程的解，

∴．

【点睛】本题考查了反比例函数比例系数与面积的关系，反比例函数与一次函数综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

21. 每年的12月4日是我国的“宪法宣传日”，某中学都会在这一天举行宪法知识竞赛，并随机抽取了部分学生的竞赛成绩（优秀：85～100分；良好：70～84分；合格：60～69分；不合格：59分以下）进行调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共             名；a＝             ；b＝             ；并补全条形统计图；

（2）本次调查的学生宪法知识竞赛成绩的中位数在哪个等次（直接写出结果）；

（3）若该校共有2800名学生，请估计该校这次宪法知识竞赛成绩在良好及以上等次的人数．

【答案】（1）200；30；50；见解析   

（2）“良好”等次    （3）人

【解析】

【分析】（1）用不合格的人数除以它的百分比即可求出本次调查的总人数，用优秀的人数除以总人数即可求出a的值，用良好人数除以总人数即可求出b的值，用总人数乘以合格的百分比求出合格的人数，即可补图；

（2）根据中位数的定义求解即可；

（3）用总人数分别乘以优秀与良好的百分比即可求解．

【小问1详解】

解：本次调查的学生共（人），

，故，

，故，

200；30；50；

合格人数为，补全条形统计图如图：

【小问2详解】

解：本次调查共200人，排序后，中位数是第100和101人的成绩的平均数，而成绩优秀的有60人，良好的有100人，故本次调查的学生宪法知识竞赛成绩的中位数在“良好”等次；

【小问3详解】

解：成绩在良好及以上等次的人数为（人）．

【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22. 如图，点在x轴上，点在y轴上，以为直角边作等腰直角，使，，且点C落在第一象限，二次函数的图象经过点B，C．

（1）试确定二次函数的表达式；

（2）已知点P是抛物线的对称轴上的一动点，且，求点P的坐标．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出，过点C作轴于点D，再证明，可得，，从而得到点C坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解．

（2）先求出该二次函数图象的对称轴为直线，可设点P坐标为，再由，得到关于m的方程，即可求解．

【小问1详解】

解：∵点，点，

∴，

过点C作轴于点D，

∴，

∵

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∵点C在第一象限，

∴点C坐标为，

∵二次函数的图象经过点B，C，

∴，解得，

∴二次函数表达式为；

【小问2详解】

解：∵，

∴该二次函数图象的对称轴为直线，

设点P坐标为，

∵，

∴，

∴，

解得，

∴点P坐标为．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了全等三角形的判定和性质，求二次函数的解析式等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键．

23. 如图，在矩形中，点P和点M是边上的两个动点（点P在点M的左侧）连接，若．

（1）求证：；

（2）已知，，

①若，求的长；

②若，求的值．

【答案】（1）见解析    （2）①；②

【解析】

【分析】（1）只需要证明，得到，即可证明；
（2）①设，则，，由（1）得，解方程求出x的值即可得到答案；②连接并延长，交的延长线于点E．先求出，进而证明，得到，可推出，由勾股定理得，再由（1）得，，求出，，证明，得到，解得，则．

【小问1详解】

证明：∵四边形是矩形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

【小问2详解】

解：①∵，

∴设，则，

∴，

由（1）得，

∴，

解得，或（不合题意，舍去），

∴；

②连接并延长，交的延长线于点E．

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

由勾股定理得，

由（1）得，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得，

∴．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，求正切值，勾股定理等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．