2023年陕西省西安市国际港务区铁一中陆港中学中考数学四模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市国际港务区铁一中陆港中学中考数学四模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列说法正确的是(    )

A. 是的平方根 B. 是的算术平方根
C. 的平方根是 D. 的平方根是

4.  如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线上，两直角边均与直线相交，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  在直角坐标系中，已知点，点是直线上的两点，则，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  已知二次函数其中是自变量且，当时，随的增大而减小，且时，的最小值为，则的值为(    )

A. 或 B.  C. 或 D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  若分式的值为，则的值为          ．

10.  如图，点为正六边形的中心，连接，若正六边形的边长为，则点到的距离的长为______．

11.  如图，一只蚂蚁沿着棱长为的正方体表面从点出发，经过个面爬到点，如果它运动的路径是最短的，则的长为______．

12.  如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为        ．

13.  已知是直角三角形，，，，，连接，以为底作直角三角形，且是边上的一点，连接和，且，则长为          ．
 

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

14.  解方程：

四、解答题（本大题共12小题，共73.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
分解因式：．

16.  本小题分
解分式方程：．

17.  本小题分
已知中，点为的中点，利用直尺和圆规，在找一点，使只保留作图痕迹，不写作法．

18.  本小题分
如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接求证：四边形是矩形．

19.  本小题分
如图所示，在边长为的小正方形网格中，的顶点都在格点上．
点关于轴的对称点的坐标为______ ；
将向左平移个单位长度得到，请画出；
在条件下，点的坐标为______ ；请求出的面积．

20.  本小题分
如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同，转盘甲上的数字分别是，，，转盘乙上的数字分别是，，规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次．
转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是______；转盘乙指针指向正数的概率是______．
若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为，转盘乙指针所指的数字记为，请用列表法或树状图法求满足的概率．

21.  本小题分
达州市著名景点“凤凰楼”，一耸入云的文化丰碑，坐落于凤凰山之巅．周末，阳光明媚，小明、小芳等同学一起登凤凰山，在山顶，他们想用一些测量工具和所学知识测量“凤凰楼”的高度来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“凤凰楼”底部间的距离不易测得，因此他们运用如下方法来进行测量：如图，小芳在小明和“凤凰楼”之间的直线上放一平面镜，在镜面上做一个标记，这个标记在直线上对应位置为点，镜子不动，小明看着镜面上的标记，他来回走动，走到点时，看到“凤凰楼”顶端点在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小明眼睛与地面的高度米，米，然后，小明从点沿方向走了米，到达“凤凰楼”影子的末端处，此时，测的小明身高的影长米，米．如图，已知，，，其中，测量时所使用的平面镜厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出“凤凰楼”的高的长度．
 

22.  本小题分
中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图

请你根据图中的信息，解答下列问题：
写出扇形图中 ______ ，并补全条形图；
样本数据的平均数是______ ，众数是______ ，中位数是______ ；
该区体育中考选报引体向上的男生共有人，如果体育中考引体向上达个以上含个得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？

23.  本小题分
某学校班主任暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若班主任买一张全票，则学生可享受六折优惠”乙旅行社说：“包括班主任在内都享受七折优惠”若全票票价是元，设学生人数为，甲旅行社收费为、乙旅行社收费为．
分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；
请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．

24.  本小题分
已知：如图，为的直径，与相切于点，交延长线于点，连接、，平分交于点，过点作，垂足为．
求证：；
若，求线段的长．

25.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
求抛物线解析式；
若是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值；
点为第二象限抛物线上的动点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．

26.  本小题分
如图，点是的外接圆的圆心，过点作圆的切线，点是直线异于点的任意一点，连接、，则        请填写，或

如图，已知射线、，，点、在射线上，点是射线上一动点，，当最大时，请求出此时的长．
小军同学有幸参加年冬奥会项目的颁奖仪式，听到义勇军进行曲全场响起看到五星红旗冉冉升起，民族自豪感油然血生如图小军所在的位置始终可以看到国旗，小军站的位置恰与五星红旗在同一平面内已知：国旗的长为米，宽为米，小军站的位置到地面的距离为米，小军与国旗的水平距离为米，在国旗从距离地面一定高度处上升的过程中，是否存在最大值？若存在，求出此时的值及国旗的高度；若不存在，请说明理由已知：、、三点共线，、、三点共线，、、三点共线，结果保留根号

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
本题考查了同底数幂的乘法，利用底数不变指数相加是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了几何体的展开图．解题的关键是明确圆柱的侧面展开图是长方形．
从圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，可得圆柱的侧面展开图是长方形．
【解答】
解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、负数没有平方根，故本选项说法错误，不符合题意；
B、是的算术平方根，故本选项说法正确，符合题意；
C、的平方根是，故本选项说法错误，不符合题意；
D、的平方根是，故本选项说法错误，不符合题意．
故选：．
根据平方根与算术平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
此题主要考查了平方根的定义、算术平方根的定义，都是基础知识，比较简单．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图：

，，，
，
直线，
．
故选：．
先由已知直角三角板得，然后由，求出的度数，再由直线，根据平行线的性质，得出．
此题考查了平行线性质，解题的关键是熟练掌握平行线性质：两直线平行，同位角相等．
 

5.【答案】 

【解析】解：点，点是直线上的两点，且，
一次函数随着增大而减小，
，
，
故选：．
根据可知函数随着增大而减小，再根据即可比较和的大小．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是菱形，
，，，
直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，
，，
由得，
，
，
，
，
故答案为：．
在中先求得的长，根据菱形面积公式求得长，再根据勾股定理求得长．
本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得的长．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，


．
故选：．
由根据圆周角定理得出，根据可得出结论．
本题考查的是扇形面积的计算及圆周角定理，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：二次函数其中是自变量且，
对称轴是直线，
当时，随的增大而减小，
，
时，的最小值为，
时，，
或舍去．
故选：．
先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下，然后由时，的最小值为，可得时，，即可求出．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为分式的值为，所以，
化简得，即．
解得
因为，即
所以．
故答案为．
分式的值为的条件是：分子；分母两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
本题主要考查分式的值为的条件，注意分母不为．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接、、，如图所示：
点为正六边形的中心，边长为，
，，，，
，是等边三角形，
，，
，
，
，
即点到的距离的长为，
故答案为：．
连接、、，证是等边三角形，得，，再证，然后由含角的直角三角形的性质求解即可．
本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握正六边形的性质，证明为等边三角形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短，
∽，
，即，即，
，
在中，根据勾股定理得：，
故答案为：．
将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时最短，根据三角形与三角形相似，由相似得比例得到，求出的长，利用勾股定理求出的长即可．
此题考查了平面展开最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练求出的长是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，作垂足为，连接，

直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，
，
沿直线翻折，
，，
，
为等边三角形，
，，
，，
，
在中，，
，
点恰好落在双曲线上，
，
故答案为：．
直线与轴交于点，与轴交于点，可求，的长度，可得，由翻折可得为等边三角形，作，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，，即可求的值．
本题主要考查了翻折的性质，等腰三角形的性质，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点的坐标是解答此题的关键
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【解答】
解：过作，交的延长线于点，

，
则是等腰直角三角形，，
是等腰直角三角形，
又，，
在和中，

，
，，
，
，
，
，
∽，

，
，
，
故答案为：．  

14.【答案】解：两边同时乘以，得
去括号，得
合并同类项，得
移项，得
解得． 

【解析】先去分母，然后通过移项、合并同类型分，化系数为进行解答．
考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为等．
 

15.【答案】解：，
，
． 

【解析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
此题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

16.【答案】解：


，
检验：把代入，
是原方程的增根，原方程无解． 

【解析】本题考查了解分式方程，掌握分式方程一定要验根是解题的关键．
先去分母，再解整式方程，一定要验根．
 

17.【答案】解：作的垂直平分线交于点，
则点为所作．
 

【解析】作的垂直平分线交于点，则为的中位线，所以，于是可判断∽，然后利用相似三角形的性质得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了相似三角形的判定与性质．
 

18.【答案】证明：，
，
是线段的中点，
，
，
≌，
，
是线段的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形为矩形． 

【解析】证≌，得，再证，得四边形是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得出，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】； 

【解析】解：点关于轴的对称点的坐标为，
故答案为：；

如图所示：

点的坐标为，
的面积：．
故答案为：．
首先根据坐标系确定点坐标，再根据关于轴的对称点的坐标横坐标相反，纵坐标不变可得答案；
首先确定、、三点向左平移个单位长度后的对应点位置，再连接即可；
根据坐标系写出点的坐标，再利用正方形的面积减去周围多余三角形的面积可得答案．
此题主要考查了作图--平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
 

20.【答案】  

【解析】解：转盘甲被等分为份，其中份标有正数，所以转动转盘甲次，指针指向正数的概率是，
转盘乙也被等分为份，其中份标有正数，所以转动转盘乙次，指针指向正数的概率是，
故答案为：，；
同时转动两个转盘，指针所指的数字所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中两个转盘指针所指数字之和为负数的有种，
所以同时转动两个转盘，指针所指数字之和为负数的概率为，
即满足的概率为．
根据概率的定义进行解答即可；
用列表法列举出所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
 

21.【答案】解：由题意可得：，
，，
故∽，∽，
则，，
即，，
解得：，
答：“凤凰楼”的高的长度为． 

【解析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出∽，∽，进而利用相似三角形的性质得出的长．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确利用已知得出相似三角形是解题关键．
 

22.【答案】       

【解析】解：由题意可得，，
样本总数为：人，
做个的学生数是人，
故答案为：，补全条形统计图如图所示：

由条形统计图可知，
学生引体向上的个数出现次数最多的是个，共有人，因此学生引体向上成绩的众数是个，
将这名学生的引体向上成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是个，因此中位数是个，
平均数为个，因此平均数为个，
故答案为：，，；
样本数据的平均数，众数是，中位数是；
该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有：名，
答：该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的大约有名．
根据各组百分比的和为，即可求出“做个的学生”所占的百分比，求出“做个的学生的频数”即可补全条形统计图；
根据中位数、众数、平均数的意义进行计算即可；
样本估计总体，样本中“个及个以上”占调查人数的，因此总体人的是“个及个以上”的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的关键，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是得出正确答案的前提．
 

23.【答案】解：由题意，得
，
．
当时，
，
解得，
当学生人数是人时，两家旅行社的收费是一样的；
当时，
，
解得；
当为整数时，乙旅行社更优惠；
当时，
，
解得．
当为整数时，甲旅行社更优惠． 

【解析】根据题意得出两个旅行社的收费方式即可；
分别利用、、得出的取值范围，得出答案即可．
本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用最佳方案问题，利用方程与不等式的知识来讨论学生人数与最佳方案之间的关系是解题关键．
 

24.【答案】证明：连接，

与相切于点，
，
，
，
，
，
；
解：为的直径，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
线段的长为． 

【解析】连接，利用切线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用圆周角定理可得，最后根据等角对等边，即可解答；
根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用的结论可得，再利用角平分线的定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线与轴交于点和点，
，
解得，
抛物线解析式为；
如图，

周长的值最小，
的值最小，
即点即为直线与抛物线对称轴的交点，
周长的最小值为，
点，，
，，
周长的最小值为，

过点作直线轴，交直线于点，

直线解析式为，
设，，
，
四边形面积
四边形面积的面积最大值， 

【解析】根据抛物线与轴交于点和点，得方程组，解方程组即可得到结论；
根据轴对称的性质和勾股定理即可得到结论；
过点作直线轴，交直线于点，设，，求得，根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，三角形面积的计算，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：设与圆交于，连接，

则，
，
，
故答案为：；
如图中，作线段的垂直平分线，垂足为，在线段的垂直平分线上取一点，以为圆心，为作，当与直线相切于点时，的值最大．

是的切线，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
当最大时，的长为；
存在最大值，理由如下：
设的外接圆为圆，
由得：当与圆相切时，最大，

连接、、，延长交延长线于，过点作于，如图所示：
当最大时，，
由题意得：米，，，，，
四边形、四边形都是矩形，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
，，
，
米，
四边形都是矩形，
，米，
米，
米，
在中，由勾股定理得：米，
米，
米，
，
，
，
，
，
此时的值为，国旗的高度为米．
设与圆交于，连接，根据圆周角定理和三角形外角的性质即可得到结论；
如图中，作线段的垂直平分线，垂足为，在线段的垂直平分线上取一点，以为圆心，为作，当与直线相切于点时，的值最大；
设的外接圆为圆，由得当与圆相切时，最大，连接、、，延长交延长线于，过点作于，最大时，，易证四边形、四边形、四边形都是矩形，求出，米，得出米，由勾股定理求出米，得出，再证，则，即可得出结果．
本题是圆综合题，考查了圆周角定理、切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、三角形外角的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．