人教版八年级上册12.1 全等三角形学案

这是一份人教版八年级上册12.1 全等三角形学案，共19页。
2013年秋八年级上册导学案
第十二章 全等三角形
12.1全等三角形
学习目标
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；
2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．
学习重点
全等三角形的性质．
学习难点
找全等三角形的对应边、对应角．
学习方法：自主学习与小组合作探究
学习过程：
一．获取概念：
阅读教材内容，完成下列问题：
（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则______________________ 叫做全等三角形。
（2）全等三角形的对应顶点： 、对应角： 、对应边： 。
（3）“全等”符号： 读作“全等于”
（4）全等三角形的性质：

（5）如下图：这两个三角形是完全重合的，则△ABC △ A1B1C1..点A与 A点是对应顶点;点B与 点 是对应顶点;点C与 点 是对应顶点. 对应边：
对应角： 。

二 观察与思考：
1.将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

议一议：各图中的两个三角形全等吗？
即 ≌△DEF，△ABC≌ ，△ABC≌ ．（书写时对应顶点字母写在对应的位置上）
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形　　　，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．
2 . 说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。
三、自学检测
1、如图1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，则这两个三角形中相等的边 。相等的角 。
2如图2，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其它的对应角
对应边：AB AE BE
3.已知如图3，△ABC≌△ADE，试找出对应边
对应角 ．
4.如图4，AB与DB，AC与DE是对应边，已知：，求。
解：∵∠A+∠B+∠BCA=180 ( ),( )
∴∠BCA=
∵( )
∴∠BED=∠BCA= ( )
四、评价反思 概括总结
找两个全等三角形的对应元素常用方法有：
1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。
2.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．
3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．
4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
五．作业

12．2 三角形全等的判定（一）
学习目标
1．三角形全等的“边角边”的条件．
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3．掌握三角形全等的“SAS”条件．
4．能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题．
学习重点： 三角形全等的条件．
学习难点： 寻求三角形全等的条件．
学习方法：自主学习与小组合作探究
学习过程：
一、：温故知新
1．怎样的两个三角形是全等三角形？ 2．全等三角形的性质？
二、读一读，想一想，画一画，议一议
1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？
2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？
总结：通过我们画图 可以发现只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形不一定全等；给出两个条件画出的两个三角形也不一定全等，按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．
给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．
在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．
3、如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：
AO＝CO，
∠AOB＝ ∠COD，
BO＝DO．
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD， OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．
由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．
4．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：
(1)读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取 B、C，使 AB＝3.1cm， AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．
(2)如果把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，想一想△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？
5．“边角边”公理．
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
书写格式: 在△ABC和△ A1B1C1中

∴ △ABC≌△ A1B1C1（SAS）
用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SAS”是证明三角形全等的一个依据．
三、小组合作学习
(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．

(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．
四、阅读例题:
五、评价反思 概括总结：
1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．
2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．
六、作 业：
七、深化提高
1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．
求证：△ABE≌△ACF．
2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．
求证：△ABE≌△CDF．


3、已知： AD∥BC，AD＝ CB，AE=CF(图3)．
求证：△ADF≌△CBE
§12．2 三角形全等的判定（二）

学习目标
1．掌握三角形全等的“角边角”条件．
2．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．
学习重点
已知两角一边的三角形全等探究．
学习难点
灵活运用三角形全等条件证明．
学习方法：自主学习与小组合作探究
学习过程：
一．温故知新
1．（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？
三个角、三个边、两边一角、两角一边．
（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？
二种：①定义__________________________________________________；
②“SAS”公理__________________________________________________
2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了二种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？
3.三角形中已知两角一边有几种可能？
①．两角和它们的夹边．
②．两角和其中一角的对边．
二、阅读教材
判定全等三角形的第二种方法“角边角”定理
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
书写格式: 在△ABC和△A1B1C1中

∴ △ABC≌△ A1B1C1（ASA）
三、小组合作学习
1.如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．
求证：AD=AE．



证明：在△ 和△ 中

∴△ADC≌△_____________ （__________ ）
∴ AD=AE．（_________ ）
2.观察下图中的两个三角形，它们全等吗？请说明理由．

11、如图：在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任一点。
求证：PA=PD。
证明：在△ABC和△DBC中
∠1=∠2（ ）
∵ BC=BC （ ）
∠3=∠4（ ）
△ABC ≌ △DBC（ ）
∴AB =__________( )
在△ABP和△DBP中
AB=______ （ ）
∵ ∠1 = ∠2 （ ）
BP = BP （ ）
∴ △ABP ≌ △DBP（ ）
∴_________=________( )

四、阅读例题:
五．评价反思 概括总结
至此，我们有三种判定三角形全等的方法：
1．全等三角形的定义
2．判定定理： 边角边（SAS） 角边角（ASA）
推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．
六、作 业：

§12．2 三角形全等的判定（三）
学习目标
1．三角形全等的“边边边”的条件．
2．了解三角形的稳定性．
3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
学习重点
三角形全等的条件．
学习难点
寻求三角形全等的条件．
学习方法：自主学习与小组合作探究
学习过程：
一．回顾思考：
1．（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？
三个角、三个边、两边一角、两角一边．
（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？
三种：①定义__________________________________________________；
②“SAS”公理__________________________________________________
③“ASA”定理__________________________________________________
二、新课
1. 回忆前面研究过的全等三角形．
已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．
图中相等的边是：AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C．
相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．
2.已知三角形△ABC你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？
阅读教材
归纳：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．

书写格式: 在△ABC和△A1B1C1中

∴ △ABC≌△A1B1C1（SSS）

3. 小组合作学习
（1）如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．
求证：△ABD≌△ACD．
证明：∵D是BC的中点
∴__________________________
在△ABD和△ACD中

∴△ ≌△ （ ）．
（2）如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有一个条件：______________________，怎样才能得到这个条件？
∵__________________________
∴__________________________
∴__________________________
（3）如图,AB=AC, AD是BC边上的中线P是AD 的一点,求证：PB=PC




4.三角形的稳定性： 生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．
三、阅读教材例题:
四．自学检测课本练习．1.2
五．评价反思 概括总结
1. 本节课我们探索得到了三角形全等的条件，又发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．
2.到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？
①定义__________________________________________________；
②“SAS”公理__________________________________________________
③“ASA”定理_________________________________________________
④“SSS”定理_________________________________________________
六．作业


§12．2 三角形全等的判定（四）
学习目标
1．掌握三角形全等的“角角边”条件．
2．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．
学习重点
已知两角一边的三角形全等探究．
学习难点
灵活运用三角形全等条件证明．
学习方法：自主学习与小组合作探究
学习过程：
一．温故知新：
1.我们已经学习过可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？



2.三角形中已知两角一边有几种可能？
1．两角和它们的夹边．
2．两角和其中一角的对边．
二、新课
1．读一读，想一想，画一画，议一议
阅读教材
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
书写格式: 在△ABC和△A1B1C1中

∴ △ABC≌△A1B1C1（AAS）

2.定理证明
已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，
求证：△ABC与△DEF

证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D，∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）．
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
三、例题:
阅读教材例题:

四．小组合作学习
1.如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．
求证：AD=AE．
2下图中，若AE=BC则这两个三角形全等吗？请说明理由．


3.课本练习1、2．3
五．评价反思 概括总结
1. 本节课我们探索得到了三角形全等的条件，又发现了证明三角形全等的一个规律AAS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．
2.可以作为判别两三角形全等的常用方法有几种？各是什么？
①“SAS”公理__________________________________________________
②“ASA”定理_________________________________________________
③ “SSS”定理_________________________________________________
④“AAS”定理_________________________________________________
六．作业

§12．2三角形全等的判定（五）
---直角三角形全等的判定
学习目标
1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单推理。
学习重点
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
学习难点
熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
学习方法：自主学习与小组合作探究
学习过程：Ⅰ．想一想，填一填：
1、判定两个三角形全等常用的方法： 、 、 、
2、如图，Rt△ABC中，直角边是 、 ，
斜边是
3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（2）若∠A=∠D，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
Ⅱ．探究学习
（一）探索新知：
1.阅读教材并作出三角形（动手操作）：
2、与教材中的三角形比较，是否重合？3、从中你发现了什么？
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）
（二）自学检测：
1． 如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，
则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
2． 如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，
根据
（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据
（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据
（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，根据
（5） 若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据
3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
（A） 两条直角边对应相等 （B）斜边和一锐角对应相等
（C）斜边和一条直角边对应相等 （D）两个锐角对应相等
4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，
AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由
答：
理由：∵ AF⊥BC，DE⊥BC （已知）
∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）
在Rt△ 和Rt△ 中

∴ ≌ （ ）

∴∠ = ∠ （ ）

∴ （内错角相等，两直线平行）
（三）、例题: 阅读教材例题
（四）小组合作学习：
判断题：
（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（ ）
（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（ ）
Ⅲ．评价反思 概括总结
六种判定三角形全等的方法：
1．全等三角形的定义 2．边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS）3．HL（仅用在直角三角形中）
Ⅳ．作业
§12.3 角平分线的性质（1）
一、学习目标
1、能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理；
2、会用尺规作已知角的平分线．
二、温故知新
如图1，在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．
求证：（1） Rt△MOC≌Rt△NOC
（2） ∠MOC=∠NOC．
图1







三、自主探究 合作展示
探究（一）
1、依据上题我们应怎样平分一个角呢？

2、思考:把上面的方法改为“在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，使MC=NC，连接OC，则OC即为∠AOB的平分线。”结论是否仍然成立呢？

图2
3、受上题的启示，我们可以制作一个如图2所示的平分角的仪器：其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

探究（二）
思考：如何作出一个角的平分线呢？
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
B
O
A
（3）作射线OC，射线OC即为所求．
请同学们依据以上作法画出图形。






议一议： 1、在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？

2、第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
探究（三）
如图3，OA是∠BAC的平分线，点O是射线AM上的任意一点.
操作测量：取点O的三个不同的位置，分别过点O作OE⊥AB，OD ⊥AC,点D、E为垂足，测量OD、OE的长.将三次数据填入下表：
观察测量结果，猜想线段OD与OE的大小关系，写出结论：

OD
OE
第一次


第二次


第三次









图4
下面用我们学过的知识证明发现：
已知：如图4，AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。
求证：OE=OD。





四、双基检测
1、如图5所示，在△ABC中，∠C=，BC=40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC：DB=3：5，则点D到AB的距离是___________。
2、如图6所示，∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N，则下列结论中错误的是（ ）
A．CM=CN B. OM=ON C. ∠MCO= ∠NCO D. ON=CM
图7
图6
A
B
C
D
图5







3、如图7,在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？




五、学习反思
请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
§12.3 角平分线的性质（2）
一、学习目标
1、掌握角的平分线的性质；
2、能应用角平分线的有关知识解决一些简单的实际问题．
二、温故知新
1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题.


1、 写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等” 的逆命题.



三、自主探究 合作展示
（一）思考：命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是否是真命题？若是真命题，请给出证明过程。
已知：如图1，
图2
图1
求证：
证明：







结论：
（二）思考：
如图2所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？








图3
（三）应用举例
例： 如图3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．





例题反思：


四、双基检测
图4




1.如图4，在中，， 平分，，那么点到直线的距离是　　　　　　cm．







2.如图5，已知在Rt△ABC中，∠C=90°, BD平分∠ABC, 交AC于D.
图5
(1) 若∠BAC=30°, 则AD与BD之间有何数量关系，说明理由;
(2) 若AP平分∠BAC，交BD于P, 求∠BPA的度数.







A
B
O
E
D
C
图6
3、如图6，所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点O。求证：AO⊥BC。








五、学习反思
请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。



第12章 全等三角形复习
一、复习目标
1、掌握全等三角形的概念及其性质；
2、会灵活运用全等三角形的判定方法解决问题；
3、掌握角平分线的性质并能灵活运用。
二、知识再现
1、全等三角形的概念及其性质
1）全等三角形的定义：
2）全等三角形性质：
（1） （2） （3）周长相等 （4）面积相等
图1
例1．如图1, ≌，BC的延长线交DA于F， 交DE于G, ,,求、的度数.



例题反思：

图2

2、 全等三角形的判定方法：
例2.如图2,AD与BC相交于O,OC=OD,OA=OB,求证：

例题反思：

例3.如图3，在中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上。且,AD=DE
图3
求证：≌.



例题反思：


3、角平分线
例4.如图4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC

图4



例题反思：


三、双基检测
1、下列命题中正确的（ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等
C．全等三角形的角平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等
2、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ ）
　A．已知两边和夹角 B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角 　D．已知三边
3、完成下列证明过程．
如图5，中，∠B＝∠C，D，E，F分别在，，上，且，
A
D
E
C
B

F
图5
求证：．
证明：∵∠DEC＝∠B＋∠BDE（ ），
又∵∠DEF＝∠B（已知），
∴∠______＝∠______（等式性质）．
在△EBD与△FCE中，
∠______＝∠______（已证），
______＝______（已知），
∠B＝∠C（已知），
∴(　 　)．
∴ED＝EF (　 　)．
四、拓展提高
如图6⑴，AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由。
若过O点的直线旋转至图⑵、⑶的情况，其余条件不变，那么图⑴中的∠1与∠2的关图6
系还成立吗？请说明理由。




五、学习反思
请你对照复习目标，谈一下这节课的收获及困惑。