安徽省马鞍山市第八中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份安徽省马鞍山市第八中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．二次根式的值是（ ）
A．－2B．2或－2C．4D．2
3．已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是( )
A．﹣1B．2C．﹣1或3D．3
4．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个直角三角形的两边长是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．3B．C．3或D．5或
6．若，是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则的值为（ ）．
A．22B．20C．18D．16
8．若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ）
A．B．C．D．
9．欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ）
A．的长B．的长C．的长D．的长
10．已知关于x的一元二次方程(p+1)x2+2qx+(p+1)＝0（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论：①1和﹣1都是方程x2+qx+p＝0的根；②0可能是方程x2+qx+p＝0的根；③﹣1可能是方程x2+qx+p＝0的根；④1一定不是方程x2+qx+p＝0的根．其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．①④
二、填空题
11．若最简二次根式能与合并，则使有意义的条件为______．
12．春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为______米．
13．已知，x、y是有理数，且y＝+ ﹣4，则2x+3y的立方根为_____．
14．若方程有实数根，则a的取值范围是______．
15．第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行．参加比赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有______个队参加比赛．
16．已知x是实数且满足，那么的值是_______.
17．在中，，高，则的周长是 _____．
18．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，则斜边的长是______．
三、解答题
19．计算或解方程：
(1)
(2)
20．观察下面的式子：S1=1+，S2=1+，S3=1+…Sn=1+
（1）计算：= ，= ；猜想= （用n的代数式表示）；
（2）计算：S=（用n的代数式表示）．
21．已知关于的一元二次方程：．
(1)求证：这个方程总有两个实数根．
(2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
22．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
23．某商场计划购进一批书包，经市场调查发现：某种进货价格为30元的书包以40元的价格出售时，平均每月售出600个，并且书包的售价每提高1元，某月销售量就减少10个．
(1)若售价定为42元，每月可售出多少个？
(2)当商场每月有10000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应为多少？
24．如图①，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4．点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连结PQ、AC、CP、CQ．
(1)点P到点C时，t= ；当点Q到终点时，PC的长度为 ；
(2)用含t的代数式表示PD的长；
(3)当三角形CPQ的面积为9时，求t的值．
参考答案：
1．B
【分析】利用最简二次根式定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A、原式，不符合题意；
B、原式为最简二次根式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
2．D
【分析】根据二次根式的性质化简可得答案．
【详解】解：=2，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，当a≥0时，=a；当a2，然后根据二次根式的性质可进行求解．
【详解】解：由题意得：
，解得：x>2，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
5．D
【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的两根，按斜边是否是两根中的一个，进行分类讨论，通过勾股定理求斜边长，最后即可求出答案．
【详解】解：，
因式分解得：，解得：，，
情况1：当为斜边的长时，此时斜边长为5，
情况2：当，，都为直角边长时，此时斜边长为，
这个直角三角形的斜边长为5或，
故选：D．
【点睛】本题主要是考查了因式分解法求解方程，以及勾股定理求边长，在不确定直角边和斜边的情况下，一定要分类讨论，分情况进行求解．
6．A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，将原式变形，再整体代入计算即可．
【详解】解：，是方程的两个根，
，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
7．A
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：解：∵一定有意义，
∴，
∴，
，
整理得：，
∴，
则．
故答案为：22．
【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，解题的关键是正确化简二次根式．
8．D
【分析】把化为： 再结合题意可得，从而可得方程的解.
【详解】解：可化为：
关于的一元二次方程有一个根为，
把看作是整体未知数，则

即有一根为.
故选D.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键.
9．B
【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长，即可发现结论．
【详解】用求根公式求得：
∵
∴
∴
AD的长就是方程的正根．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．
10．C
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出q＝p+1或q＝﹣（p+1），当q＝p+1时，﹣1是方程x2+qx+p＝0的根；当q＝﹣（p+1）时，1是方程x2+qx+p＝0的根．再结合p+1≠﹣（p+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+qx+p＝0的根，再根据p≠﹣1可得当p＝0时，0是方程x2+qx＝0的根，由此即可求得答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）＝0有两个相等的实数根，
∴p+1≠0且（2q）2﹣4（p+1）2＝0，
解得：p≠﹣1，q＝p+1或q＝﹣（p+1）．
当q＝p+1时，有p﹣q+1＝0，此时﹣1是方程x2+qx+p＝0的根；
当q＝﹣（p+1）时，有p+q+1＝0，此时1是方程x2+qx+p＝0的根．
∵p+1≠0，
∴p+1≠﹣（p+1），
∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+qx+p＝0的根，
∴①是错误的，③是正确的，④是错误的，
∵p≠﹣1，
∴当p＝0时，0是方程x2+qx＝0的根，
∴②是正确的，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
11．
【分析】根据二次根式的性质，合并同类二次根式，算出的值，代入式子，再结合分式的性质，即可求解．
【详解】解：∵，且最简二次根式能与合并，
∴，解得，，把代入得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式，分式有意义的综合，掌握二次根式的性质，分式有意义的条件是解题的关键．
12．5
【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则彩灯带长为2个长方形的对角线长，
圆柱高3米，底面周长2米，
，
，
每根柱子所用彩灯带的最短长度为．
故答案为5．
【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
13．-2
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．
【详解】解：由题意得：，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
∴．
故答案是：﹣2．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
14．
【分析】若方程为一元二次方程，则有，，求解，求解；若，方程为一元一次方程，判断有实数根，进而求解取值范围即可．
【详解】解：若方程为一元二次方程，则有，，
解得且
若，方程为一元一次方程，有实数根
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别，一元一次方程的根．解题的关键在于全面考虑的情况．
15．10
【分析】设共有x个队参加比赛，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设共有x个队参加比赛，根据题意得：
，
解得：x1=10，x2=-9（舍去），
答：共有10个队参加比赛．
故答案为：10
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
16．1
【分析】设，则原方程可化为，然后利用因式分解法解方程，结合根的判别式判断根的情况，即可求出t的值.
【详解】解：设，
∴原方程可化为：，
∴，
解得：或；
当时，有，
此时，则方程无解；
当时，有，
此时，则方程有解；
∴；
故答案为：1.
【点睛】此题考查了用换元法解一元二次方程，以及根的判别式，考察了学生的整体思想．解题的关键是找到哪个是换元的整体．
17．或##或
【分析】分两种情况讨论：当高在的内部时，当高在的外部时，结合勾股定理，即可求解．
【详解】解：当高在的内部时，如图，
在中，，
在中，，
∴，
此时的周长是；
当高在的外部时，如图，
在中，，
在中，，
∴，
此时的周长是；
综上所述，的周长是或．
故答案为：或
【点睛】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．
18．
【分析】根据四个全等的直角三角形拼成的图形，可知，，，设，可用含的式子表示，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意，，，，
∵，
∴设，
∴，∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理与图形的变换，掌握图形特点，勾股定理是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
即方程的解为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则和解一元二次方程的一般方法，准确计算．
20．(1) ;(2)
【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可；
（2）根据（1）的结果进行拆项得出1++1++1+，求出答案即可．
【详解】（1）∵S1=1+ ，∴；
∵S2=1+，∴；
∵S3=1+，∴；
∵Sn=1+，∴；
（2）解：S=
=
=

=
【点睛】本题考查二次根式的化简和数字类规律，解题的关键是掌握二次根式的化简运算和数字类规律基本解题方法．
21．(1)见解析
(2)10
【分析】（1）先计算△，化简得到，易得，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根，，则可设，，然后讨论：当、为腰；当、为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．
【详解】（1）解：证明：
，
无论取什么实数值，，
，
无论取什么实数值，方程总有实数根；
（2），
，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长；
当、为腰时，，此时，故此种情况不存在．
综上所述，的周长为10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．
22．（1）会受噪声影响，理由见解析；（2）有2分钟；
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．
【详解】解：（1）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD＝＝120（m），
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝=50（m），
∴EF＝50×2=100（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答.
23．(1)580个
(2)为体现“薄利多销”的销售原则，我认为销售价格应定为50元．
【分析】（1）由“这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个”进行解答；
（2）设销售价格应定为x元，根据“这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个”列出方程并解答．
【详解】（1）解：当售价为42元时，
每月可以售出的个数为（个）；
（2）解：设销售价格应定为x元，则
，
解得，，
当时，销售量为500个；当时，销售量为200个，
因此为体现“薄利多销”的销售原则，我认为销售价格应定为50元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出销量和单价，用销量乘以单价表示出利润即可．
24．(1)6s ；4；（2）PD=4-2t（0≤t≤2）；PD=2t﹣4（2＜t＜6）；PD=20﹣2t（6≤t≤8）；（3）t=1或t=.
【分析】（1）点P到点C时，所走路程为AD+CD=12，点P的速度为每秒2个单位长度；当点Q到终点时，t=8s，据此求解出DP长度并运用勾股定理即可求解PC的长度；
（2）分点P在AD、DC、由C点回头（CD）这三段不同的运动情况进行解答即可；
（3）以上问的结论作为基础，由S△CPQ=S矩形ABCD- S△PAQ- S△PDC- S△CBQ进行解答即可.
【详解】解：（1）在矩形ABCD中，AB=8，AD=4
∴CD=AB=8点P到点C时，所走路程为AD+CD=12，
∴t==6s
当点Q到终点时，t=8s，P点回到CD中点，
∴DP=4，
由勾股定理得PC==4
（2）当0≤t≤2时，PD=4﹣2t
当2＜t＜6时，PD=2t﹣4
当6≤t≤8时，PD=8﹣（2t﹣12）=20﹣2t
（3）当0≤t≤2时，AP=2t，PD=4﹣2t，AQ=t，Q=8﹣t，则，
S△CPQ=4×8﹣t.2t﹣（8﹣t）.4﹣（4﹣2t ）.8=﹣t2+10t=9，t1=1，t2=9（舍去）
当2＜t＜6时，PC=12﹣2t
S△CPQ=（12﹣2t）4=24﹣4t=9，t=
当6≤t≤8时，PC=2t﹣12
S△CPQ=（2t﹣12）4=4t﹣24=9，t=（舍去）
综上所述，当三角形CPQ的面积为9时t=1或t=.
【点睛】动点问题一定要注意运动的范围，由此可能需要进行分类讨论；此外多点同时运动时，要注意运动的时间范围.