福建省福州第一中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题

这是一份福建省福州第一中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题，共28页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．2B．C．D．
2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近人，将数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
5．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，3大桶加3小桶共盛（ ）斛米．（注：斛是古代一种容量单位）
A．B．C．D．
6．如图，是外接的直径，点D在上，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，ABC与DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
8．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，BD＝8，则OE长为（ ）
A．3B．5C．2.5D．4
9．关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
10．如图，在正方形中，、分别为、的中点，连接、交于点，将沿对折得到，延长交延长线于点，下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
三、填空题
11．使有意义的x的取值范围是 ．
12．分解因式：___________．
13．一元二次方程的两个根为， 则___________．
14．已知点，，，，，都在二次函数()的图象上，则、、由小到大的排序是________．
15．如图，在平面直角坐标系中，，，点A坐标是，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为________．
16．如图，抛物线（）与x轴交于点，与y轴交于点C，其对称轴为直线，结合图象分析如下结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④若一次函数（）的图象经过点A，则点在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若，则．其中正确的是________．
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2)解分式方程：．
18．已知：如图，，．求证．
19．先化简，再求值：，其中．
20．某校组织全校学生进行了一次“社会主义核心价值观”知识竞赛，赛后随机抽取了各年级部分学生成绩进行统计，制作如下频数分布装和频数分布直方图．请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
(1)请求出该校随机抽取了________名学生成绩进行统计；
(2)表中________，________，并补全频数分布直方图；
(3)若用扇形图统计图描述此成绩计分布情况，则分数段对应扇形圆心角度数是________；
(4)本次抽取了3份分数段在的学生甲、乙、丙，若从他们三人中随机选取2人进行交流，请用画树状图法或列表法求甲和乙同时被选中的概率．
21．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树的高度，他们在斜坡上处测得大树顶端的仰角是，朝大树方向下坡走米到达坡底处，在处测得大树顶端的仰角是，若斜坡的坡度（参考数据：，，，，，，）
(1)求∠的大小，
(2)求大树的高度．（结果保留整数）
22．如图，是的直径，弦平分，
(1)在上取点E，使得（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求的值．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
24．（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是_____；
（2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．
25．已知抛物线（）与x轴只有一个公共点且经过点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)直线：与抛物线相交于B、C两点（C点在B点的左侧），与对称轴相交于点P，且B、C分布在对称轴的两侧．若B点到抛物线对称轴的距离为n，且（）．
①试探求n与t的数量关系；
②求线段BC的最大值，以及当BC取得最大值时对应m的值．
成绩x（分）
频数
频率
4
0.1
8
b
a
0.3
10
0.25
6
0.15
参考答案：
1．B
【分析】直接根据相反数定义解答即可．
【详解】解：的相反数是．
故选B．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，掌握相反数的概念成为解答本题的关键．
2．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
3．D
【分析】根据同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方判断即可．
【详解】解：A、，错误；
B、不能合并，错误；
C、，错误；
D、，正确；
故选D．
【点睛】此题考查同底数幂的乘法和除法，关键是根据同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方的法则解答．
4．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】将用科学记数法表示为：，
故选B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
5．C
【分析】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛”和“1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组，两式相加可得，然后整体求出即可．
【详解】解：设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，
根据题意得： ，即 .
∴，即．
故答案为C．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组并运用整体法求得代数式的值是解答本题的关键．
6．C
【分析】根据圆周角定理可得，，利用三角形内角和定理可求的度数。
【详解】解：是外接的直径，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角．
7．D
【分析】根据位似图形的概念得到ABDE，求出，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵A（1，0），D（3，0），
∴OA＝1，OD＝3，
∵△ABC与△DEF位似，
∴ABDE，
∴＝＝，
∴△ABC与△DEF的位似比为1：3，
∵点B的坐标为（2，1），
∴E点的坐标为（2×3，1×3），
即E点的坐标为（6，3），
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出△ABC与△DEF的位似比是解题的关键．
8．C
【分析】根据菱形的性质可得OB=OD，AO⊥BO，从而可判断OE是△DAB的中位线，在Rt△AOB中求出AB，继而可得出OE的长度．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AO=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，
又∵点E是AB中点，
∴OE是△DAB的中位线，
在Rt△AOD中，AB==5，
则OE=AD=．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．
9．A
【分析】由题意知，可重新组成两个关于x，y的两个方程组和，先计算不含参的二元一次方程组，得的值，然后代入含参的二元一次方程组，求的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵两个方程组同解
∴可知关于x，y的两个方程组和有相同的解
解方程组
②①得
将代入①式得
解得
∴方程组的解为
将代入方程组得
解关于的方程组
③④得
解得
将代入③式得
解得
∴方程组的解为
∴
故选A．
【点睛】本题考查了同解方程组，解二元一次方程．解题的关键在于将两个方程组重新组成新的方程组求解．
10．C
【分析】①首先证明，再利用角的关系求得，即可得到，证明，根据相似三角形的性质即可得出结论；①根据折叠的性质及平行线的性质得到，从而得到；③根据，由正切的定义得出，设，表示出， 即可得出结论；④可证，由③得到相似比，再根据相似三角形的性质和三角形的面积关系即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，
，分别是正方形边，的中点，
，
，
，，
又，
，
，
，
，
，
即故②正确；
由折叠的性质得：，
，
，
，
，故①正确；
，，
，
设，则，，
，
，
，故③正确；
由③知，设，则，，
在中，，
，
，，
，
，
，
，故④错误，
综上所述，共有个结论正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形和折叠变换的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题关键．
11．
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可．
【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得：
x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为x≥﹣1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单．
12．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13．##
【分析】根据根与系数的关系求出和的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．
14．
【分析】根据二次函数的解析式可得，，对称轴为，二次函数图像上的点离对称轴越远，函数值越小，据此求解即可．
【详解】解：二次函数（），开口向下，对称轴为，
则二次函数图像上的点离对称轴越远，函数值越小，
，，到对称轴的距离分别为、、
∵，
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
15．
【分析】过点作于点，利用勾股定理，求出的长，利用三角函数求出的长，得到点坐标，即可得解．
【详解】解：∵点A坐标是，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
过点作于点，则：，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，解直角三角形，求反比例函数的值．解题的关键是求出点的坐标．
16．
【分析】①根据抛物线的位置判断即可；②利用对称轴公式，可得，可得结论；③当时，随的增大而增大；④由直线经过点A可得k与b的数量关系，进行判断．⑤设抛物线的解析式为，可得，，过点作轴于点，设对称轴交轴于点．利用相似三角形的性质，构建方程求出即可．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
对称轴是直线，
，
，
抛物线交轴的负半轴，
，
，故①正确，
，，
，故②正确，
观察图象可知，当时，随的增大而减小，故③错误，
∵一次函数（）的图象经过点A，
将代入得，
解得，
∵，
∴，
∴点在第四象限，故④正确．
抛物线经过，，
设抛物线的解析式为，
，，
过点作轴于点，设对称轴交轴于点．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故⑤正确，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可求解；
（2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
方程两边同时乘以得，
，
，
解得：，
当时，，
∴原方程的解为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，解分式方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18．见解析
【分析】由，，可知，再利用证明即可证明结论．
【详解】证明：，，
，
即，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等式的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．；
【分析】先根据分式的混合运算化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：
；
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
20．(1)40
(2)，图见解析
(3)
(4)
【分析】（1）用的频数÷频率，即可求解；
（2）用可得a的值，用，可得b的值，补全条形图即可；
（3）用的频率，即可求解；
（4）画出表格，利用概率公式进行求解．
【详解】（1）解：（名），
故答案是：40；
（2）解：，
补全直方图如图所示：
故答案是：；
（3），
故答案是：；
（4）列表如下：
共有6种等可能的结果，其中甲和乙同时被选中的结果有2种，
∴．
【点睛】本条考查直方图，列表法求概率．从统计图表中准确的获取信息，熟练掌握列表法，是解题的关键．
21．(1)
(2)米
【分析】（1）根据斜坡的坡度得出，然后根据平角的定义即可求解．
（2）过点作于点，于点，由的坡比，，可求得与的长，设大树的高度为米，由三角函数定义可得，在中，由，得出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵斜坡的坡度，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点，于点，
则四边形是矩形，
，则，
设大树的高度为米，
在斜坡上处测得大树顶端的仰角是，
，
，
在中，，
，
∴，
解得：．
即树高约米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，仰角俯角问题、坡度坡角问题；能借助仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图：过D作交于E即可解答；
（2）连接，设，则；由角平分线的定义可得，进而得到；再由圆周角定理可得，进而得到，；运用勾股定理可得，再由可得；再证并运用其性质列式可得；然后再由切线的定义可得，运用勾股定理可得，最后运用正弦的定义即可解答．
【详解】（1）解：如图：过D作交于E，点E即为所求．
（2）解：设，则
如图：连接
∵，弦平分
∴
∵
∴
∵是的直径
∴
∴，
∴，即
∵
∴
∵,
∴
∴，即，解得：
∵过D作交与E，即是的切线
∴
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定、尺规作图、勾股定理、正弦等知识点，综合应用相关知识成为解答本题的关键．
23．（1）见解析；（2）⊙O的半径是4.5
【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于⊙O，得，再根据等量代换和直角三角形的性质可得，由切线的判定可得结论；
（2）如图2，过点O作于G，连接OC，OD，则，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接OC，
∵，
∴，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴
又
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：如图2，过点O作于G，连接OC，OD，则，
∵，
∴四边形OGEC是矩形，
∴，
设⊙O的半径为x，
Rt△CDE中，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴⊙O的半径是4.5．
【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
24．（1）（2），，理由见解析（3）
【分析】（1）通过证明全等，得到；
（2）通过证明得到，，延长相交于点H．可以证明；
（3）作于N，交的延长线于M．首先证明点G的运动轨迹是线段，将的最小值转化为求的最小值．
【详解】解：（1），理由如下：
∵正方形，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：，．理由如下：
延长相交于点H．
∵矩形、矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作于N，交的延长线于M．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点G在直线上运动，
作点D关于直线的对称点，则：，
∴当三点共线时，的值最小，连接交于G，此时的最小值为，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴的最小值就是的最小值．
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等．这里注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值．
25．(1)
(2)①②的值最大为，
【分析】（1）根据（）与x轴只有一个公共点，设，将点，代入，求出的值即可得解；
（2）①设直线，与轴交于点，与轴交于点，过点分别作y轴，x轴的垂线，两条垂线相交于点，设与抛物线的对称轴交于点，易得，，推出，进而求出点的坐标，利用，即可得解；②根据，求出，进而得到，根据反比例函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线（）与x轴只有一个公共点，
∴点为抛物线的顶点，
设，
∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①设直线，与轴交于点，与轴交于点，过点分别作y轴，x轴的垂线，两条垂线相交于点，设与抛物线的对称轴交于点，如图：
则：，轴，
∴，
∴，
∵B点到抛物线对称轴的距离为n，
∴，
∵，（），
∴，
∴
∴，
∵与抛物线相交于B、C两点，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，即：，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴
；
令：，
∴，
∵，
∴
∵当，随着的增大而减小，
∴当时，即时，的值最大为，
此时
∴
∴，即：．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．同时考查了平行线分线段成比例，一次函数，反比例函数的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形．综合性强，难度较大，属于中考压轴题．正确的求出函数解析式，画出图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
甲
乙
丙
甲
甲，乙
甲，丙
乙
乙，甲
乙，丙
丙
丙，甲
丙，乙