福建省福州外国语学校2022-2023学年九年级下学期期中数学试题

这是一份福建省福州外国语学校2022-2023学年九年级下学期期中数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省福州外国语学校2022-2023学年九年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在实数－2，，0，中，最小的数是（    ）
A． B．0 C． D．－2
2．生物学家发现一种病毒的长度约为0.000043mm，这个数用科学记数法表示为（    ）．
A．4.3×10-4mm B．4.3×10-5mm C．4.3×10-6mm D．43×10-5mm
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．根据图中三视图可知该几何体是（    ）

A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
5．计算的结果是　　
A．3 B． C． D．7
6．“保护水资源，节约用水”应成为每个公民的义务．下表是某个小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是：（    ）
月用水量（吨）
4
5
6
9
户数（户）
3
4
2
1

A．中位数是5吨 B．众数是5吨 C．方差是3吨 D．平均数是5.3吨
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．50°
8．如图，点A是反比例图数y＝（x＜0）图像上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图像交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则m+n＝（　　）

A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣12
9．观察下列各式(x-1)(x+1)=x2-1；(x-1)(x2+x+1)=x3-1；(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1……根据规律计算：(-2)2018+(-2)2017+(-2)2016+…+(-2)3+(-2)2+(-2)1+1的值为(     )
A． B．
C． D．
10．已知直线y=﹣x+7a+1与直线y=2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（　　）
A． B． C． D．

二、填空题
11．计算：＝_____．
12．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能的是__________．
13．已知扇形所在圆半径为 4，弧长为 6π，则扇形面积为_．（结果保留π）
14．已知一个正六边形的边心距为，则它的半径为______．
15．已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为__________．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有_____．


三、解答题
17．解不等式组．
18．如图，在平行四边形中，E、F分别是、上的点，且．求证：．

19．请你先化简，再从-2，2，中选择一个合适的a值代入求值.
20．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有五雀，六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕雀重1520克．问燕、雀一枚各重几何？”，其大意为：“今有5只雀、6只燕分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为1520克．”问：雀，燕每1只各重多少克？
21．已知，如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A＝30°．
（1）若⊙O半径为3，求弦CD的长；
（2）若∠ACB＋∠ADC＝180°，求证：BC是⊙O的切线．

22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．

(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD 的值．
23．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的6000名用户(男性4000人，女性2000人)，从中随机抽取了60名(女性20人），统计他们出门随身携带现金(单位：元)，规定：随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”
（1）①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中b=30，c=8）

手机支付
非手机支付
合计
男
a
b

女
c
d

合计


60

②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是多少？
（2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、
方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元：
方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同)的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取)，若摸到1个红球则打9折，若摸到2个红球则打8.5折，若未摸到红球按原价付款.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算.
24．在平行四边形中，的平分线交直线于点E，交直线于点F．

(1)在图1中证明；
(2)如图2，若，G是的中点，连，求证；
(3)若，，，分别连结、（如图3），求的度数．
25．已知抛物线，点．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)抛物线上任意一点．连接PF，并延长交抛物线于点，试判断是否成立？请说明理由；
(3)将抛物线作适当的平移，得抛物线：，若时，恒成立，求m的最大值．

参考答案：
1．C
【分析】将四个实数按从大到小排列，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴－π是四个实数中最小的，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的比较大小，可按正数>0>负数进行，准确将四个实数按从大到小顺序排列是解题关键．
2．B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定；
【详解】0.000043mm用科学记数法可以表示为；
故选：B.
【点睛】本题主要考查绝对值小于1的正数的科学记数法表示，熟练掌握科学记数法的表示方法是求解本题的关键.
3．D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据定义逐一进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
4．B
【分析】根据主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，再根据俯视图为三角形可得为三棱柱．
【详解】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，
由俯视图为三角形可得为三棱柱．
故选：B．
【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
5．D
【分析】先利用算术平方根及立方根定义计算，再根据有理数的减法法则计算即可得到结果．
【详解】解：原式．
故选D．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．C
【分析】根据中位数、众数、方差和平均数的概念，对选项一一分析，即可选择正确答案．
【详解】解：A、中位数（吨），正确，故选项不符合题意；
B、数据5吨出现4次，次数最多，所以5吨是众数，正确，故选项不符合题意；
C、方差为，错误，故选项符合题意；
D、平均数，正确，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平均数、中位数、众数和极差的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．
7．B
【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．
【详解】解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=50°，
∴∠AOB=180°-2∠ABO=80°，

故选B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．
8．D
【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=|m|=-m，S△BOC=|n|=-n，利用AB=2BC得到S△ABO=2S△OBC=3，所以-n=，解得n=-3，再利用-m=3+得m=-9，然后计算m+n的值．
【详解】解:∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图像交于点B，
而m＜0，n＜0，
∴S△AOC＝|m|＝﹣m，S△BOC＝|n|＝﹣n，
∵AB＝2BC，
∴S△ABO＝2S△OBC＝3，
即﹣n＝，解得n＝﹣3
∵﹣m＝3+，解得m＝﹣9，
∴m+n＝﹣9﹣3＝﹣12．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
9．D
【分析】根据题意得(x-1)(x2018+x2017+…+x1+1)=x2019-1，把x=-2代入即可求解.
【详解】根据题意得(x-1)(x2018+x2017+…+x1+1)=x2019-1，
故(-2-1)[(-2)2018+(-2)2017+(-2)2016+…+(-2)3+(-2)2+(-2)1+1]=(-2)2019-1
即-3[(-2)2018+(-2)2017+(-2)2016+…+(-2)3+(-2)2+(-2)1+1]=-22019-1
∴(-2)2018+(-2)2017+(-2)2016+…+(-2)3+(-2)2+(-2)1+1=
故选D.
【点睛】此题主要考查规律探索的应用，解题的关键是根据题意列出规律的式子进行求解.
10．C
【分析】先解方程组得P点坐标为（3a﹣1，4a+2），则可确定点P为直线y＝x+上一动点，设直线y＝x+与坐标的交点为A、B，如图，则A（﹣，0），B（0，），利用勾股定理计算出AB＝，过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小，证Rt△MBP∽Rt△ABO，利用相似比计算出MP＝，则PQ＝，即线段PQ的最小值为．
【详解】解方程组得，
∴P点坐标为（3a﹣1，4a+2），
设x=3a﹣1，y=4a+2，
∴y＝x+，
即点P为直线y＝x+上一动点，
设直线y＝x+与坐标的交点为A、B，如图，则A（﹣，0），B（0，），
∴AB=
过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小．
∵∠MBP=∠ABO，
∴Rt△MBP∽Rt△ABO，
∴MP：OA=BM：AB，即MP：=：，
∴MP=，∴PQ=﹣1=，
即线段PQ的最小值为．
故选：C．

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了一次函数的性质和相似三角形的判定与性质．
11．3
【分析】根据零指数幂和负指数幂的意义计算．
【详解】解：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，熟练掌握零指数幂和负指数幂的意义是解题关键．
12．5
【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．
【详解】解：由题意可得，
20×0.25＝5（个），
即袋子中红球的个数最有可能是5个，
故答案是：5．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用概率公式计算出红球的个数．
13．
【分析】根据弧长，求得圆心角的度数，再根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：设圆心角的度数为，则，解得
扇形的面积为
故答案为：
【点睛】此题考查了扇形的面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握扇形面积和弧长的有关公式．
14．2
【分析】设正六边形的中心是O，一边是，过O作与G，在直角中，根据三角函数即可求得．
【详解】解：如图，过O作与G，

∵，，
∴，
在中，，，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算，属于常规题．
15．2或8
【分析】分两种情况：当点C在点B左侧时，如图，先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m个单位可知：AC=BD=m，计算点A和B的坐标可得AB的长，进一步即可求出m的值；当点C在点B右侧时，根据m=2AB求解即可．
【详解】解：①如图，当点C在点B左侧时，
∵B，C是线段AD的三等分点，
∴AC=BC=BD，
由题意得：AC=BD=m，
当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得：x1=1，x2=﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=3+1=4，
∴AC=BC=2，
∴m=2；
当点C在点B右侧时，AB=BC=CD=4，
∴m=AB+BC=4+4=8；
故答案为：2或8．

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的平移及解一元二次方程等知识，属于常考题型，利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键．
16．①②③④
【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AEAB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；
②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE﹣AH=BC﹣CD，BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=2HE，判断出④正确；
⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误．
【详解】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AEAB．
∵ADAB，∴AE=AD．
在△ABE和△AHD中，∵，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵∠AHB（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH．
∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD．
在△BEH和△HDF中，∵，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD﹣DF，∴BC﹣CF=（CD+HE）﹣（CD﹣HE）=2HE，所以④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述：结论正确的是①②③④．
故答案为①②③④．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
17．
【分析】先分别求出每个不等式得解集，然后根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．
【详解】解∶
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
18．见解析
【分析】首先利用平行四边形的性质得出，，进而得出四边形是平行四边形，即可得出答案．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出四边形是平行四边形是解题关键．
19．原式，当，原式=.
【分析】先将原式按分式混合运算的相关运算法则化简，再从给定的值中选择一个使原式有意义的值代入化简所得的式子中计算即可.
【详解】分析：
详解：
原式=


；
∵要使原分式有意义，
∴a不能取,也不能取0；
当时，
原式．
点睛：本题考查分式的化简求值，解决此题的关键为（1）熟记“分式混合运算的相关运算法则”是解答本题的基础；（2）从给定的数中取字母的值时，字母的取值要确保原式有意义.
20．每只雀重160克，每只燕重120克
【分析】根据“五只雀，六只燕共重1520克，且四只雀、一只燕的重量和一只雀、五只燕的重量一样重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，然后解方程组即可求解．
【详解】解∶ 设每只雀重x克，每只燕重y克，
根据题意，得，
解得，
答∶ 每只雀重160克，每只燕重120克．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．（1）3；（2）见解析．
【分析】（1）连接OC、OD，证明△OCD是等边三角形，问题得解；
（2）连接CO并延长交⊙O于点M，连AM，得到∠MAC＝90°，进而证明∠BCM＝90°，根据CM是⊙O的直径，问题得证．
【详解】解：（1）如图，连接OC、OD，
∴OC＝OD＝3，
∵∠A＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD=OC＝3；

（2）证明：连接CO并延长交⊙O于点M，连AM，
∵CM为直径，
∴∠MAC＝90°，
∴∠M＋∠ACM＝90°，
∵∠ACB＋∠ADC＝180°，∠M＋∠ADC＝180°，
∴∠M＝∠ACB，                        
∴∠ACB ＋∠ACM＝90°，
即∠BCM＝90°，
∵CM是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线．

【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的判定，熟知相关定理并根据题意添加适当辅助线是解题关键．
22．(1)作图见解析；
(2)点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是

【分析】(1)作线段AC的垂直平分线，由垂径定理推论可知该垂直平分线必经过点O；
(2)由垂径定理得到AF=CF，进而得到OF是△ACB的中位线，由此得到点O到AC的距离OF=BC=3；求出DF=OD-OF=5-3=2，CF=4，由勾股定理求出CD=，最后在Rt△CDF中由即得答案．
【详解】（1）解：①分别以A，C为圆心，适当长(大于AC长度的一半)为半径作弧，记两弧的交点为E；
②作直线OE，记OE与交点为D；
③连结CD，则线段AC的垂线DE、线段CD为所求图形，如下图所示；

（2）解：记OD与AC的交点为F， 如下图所示：

∵OD⊥AC，
∴F为AC中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=BC=3，
∵OF⊥AC，
∴OF的长就是点O到AC的距离；
Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴OD=OA=AB=5，
∴DF=OD-OF=5-3=2，
∵F为AC中点，
∴CF=AC=4，  
Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，
∴CD=，
则，
∴点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是．
【点睛】本题考查了圆的基本性质、垂径定理及其推论、勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图、锐角三角函数等，属于综合题，欲求某角的某三角函数值，首先想到的应该是能否在直角三角形中进行，如果没有现成的直角三角形，则需要设法构造(作辅助图形)．
23．（1）①40，20，18，42；②；（2）选择方案二更划算.
【分析】（1）①因为随机抽取了60名（女性20人），所以男性40人，进而可以补充表格数据；
②用手机支付的女性人数除以调查的女性总人数即可；
（2）若选方案一：则需付款：1200-100=1100元；若选方案二：设实际付款x元，则x取值为：1200元，1080元，1020元，根据从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为A、B，白球为C、D，画出树状图分别求出摸到1个红球，摸到2个红球，未摸到红球的概率，求出实际付款的平均金额，进行比较即可．
【详解】解：（1）①因为随机抽取了60名（女性20人），所以男性40人，
∵b=30，c=8，
∴a=10，d=12，
补充表格如下：

手机支付
非手机支付
合计
男
a
b
40
女
c
d
20
合计
18
42
60

故答案为：18，42，40，20；
②由①可得，女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是；
（2）若选方案一：则需付款：1200-100=1100元；
若选方案二：设实际付款x元，则x取值为：1200元，1080元，1020元，
∵从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取），
设两个红球为A、B，白球为C、D，
画出树状图为：

根据树状图可知：
所有可能的结果共16种，摸到1个红球的有8种，摸到2个红球的有4种，未摸到红球的有4种，
所以摸到1个红球的概率为：，则打9折，
摸到2个红球的概率为：，则打8.5折，
未摸到红球的概率为：，按原价付款．
所以实际付款的平均金额为：1080×+1020×+1200×=1095（元）．
因为1100元＞1095元，
所以选择方案二更划算．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、算术平均数、概率公式，解决本题的关键是掌握树状图法求概率．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据平分，可得，然后结合平行四边形的性质求证即可；
（2）根据，G是的中点等条件证明，结合全等三角形的性质推导为等腰直角三角形即可求得的度数；
（3）分别连接、，求证四边形是平行四边形，再求证是等边三角形，由及平分可得，求证，然后即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：连接、，如下图，
，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∵G为中点，
∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（3）解：延长、交于H，连接，

∵，，
∴四边形为平行四边形，，四边形为平行四边形，
∵，平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，为全等的等边三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
25．(1)
(2)成立，理由见解析
(3)8

【分析】（1）将抛物线的一般式转化为顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；
（2）过点作于点M，即可求得，同理，然后由，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（3）令，设其图象与抛物线交点的横坐标为，，且，观察图象，随着抛物线C2向右不断平移，，的值不断增大，当满足，恒成立时，m的最大值在处取得．可得：当时，所对应的即为m的最大值．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：成立
理由如下：
如图，过点作于点M，

则，，，
在中，由勾股定理，
得，
又点在抛物线上，
得，即，
∴，
即，
过点作，与的延长线交于点N，
同理可得：，
∵，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴；
（3）解：令，设其图象与抛物线交点的横坐标为，，且，
∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的，

观察图象，随着抛物线向右不断平移，，的值不断增大，
∴当满足，恒成立时，m的最大值在处取得．
可得：当时，所对应的即为m的最大值．
于是，将代入，
有，
解得：或（舍去），
∴．
此时，由，得，
解得：，，
∴m的最大值为8．
【点睛】此题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化，相似三角形的判定与性质以及最大值等问题．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．