2023年新高考数学二轮复习微专题【提分突破】 微专题07 函数压轴小题

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高考二轮数学复习策略
第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。

微专题07 函数压轴小题
【秒杀总结】
一、对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
二、对于双变量问题，首先变形后引入新变量把问题变为单变量，再引入新函数，利用导数求得函数值的范围，然后再解相应的不等式可得所求参数范围．
三、函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
四、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.
【典型例题】
例1．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均R，若为偶函数，且满足，则（    ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由为偶函数，则，即关于原点对称，为奇函数，
由，则，故关于对称，
所以，则有.
故选：C
例2．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知定义在上的函数满足，对，，有，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，由已知可得.
令，由已知可得，
设，则，整理可得.
又，所以，所以.
则，
所以.
故选：A.
例3．（2023·全国·模拟预测）下列大小关系正确的为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于选项，因为，所以，则，
又因为，则有，
所以，故选项错误；
对于选项，构造函数，则，所以函数在上单调递减，则，所以，即，
令，则，所以在上单调递增，则，即，所以，
故，故选项正确；
对于选项，构造函数，则，
由选项可知：当时，，所以，
则有，因为函数在上恒大零，所以，则函数在上单调递增，所以，即，故选项错误；
对于选项，因为，
令，则，令，
则，令，解得：，
因为，所以在上单调递减，故，
即，所以，
故选项错误，
故选：.
例4．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若函数的定义域为R，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（    ）
①的一个周期为2；
②；
③的一个对称中心为；
④.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意得：，将替换为得：，
即，②正确；
中将替换为得：，
因为向左平移个单位得到，
而关于点成中心对称，所以关于中心对称，故关于中心对称，
所以，
故，
所以，
所以的一个周期为4，①错误；
关于中心对称，又的一个周期为4，故的一个对称中心为，③正确；
中，令得：，
中，令得：，故，
中，令得：，
又因为，故，所以，
所以，
其中，，，
故
，④正确.
故选：C
例5．（多选题）（2023秋·河北石家庄·高三校联考期末）已知函数的定义域均为R，且.若的图像关于直线对称，且，则（    ）
A． B．的图像关于点对称
C．是周期函数，且最小正周期为8 D．
【答案】ABD
【解析】令，则，又，故，故A正确；
因为
则，即①
又，②
①+②得：，则的图像关于点对称，且
故B正确；
的图像关于直线对称，则，则，
则，又，
两式相减得，故，故最小正周期为4，
故C错误；
最小正周期为4，且图像关于点对称，
，，
因为，故
，
故D正确；
故选：ABD.
例6．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】令，可得，
所以函数为偶函数，
因为，则，所以，当时，函数有两个零点，
且当时，，可得，
令，可得，
令，其中，则，故函数在上为增函数，
下面考查直线与函数的图象相切的情形：
设直线与函数的图象相切于点，其中，
函数的图象在处的切线斜率为，
故曲线在点的切线的方程为，
即，
由题意可得，解得，，

结合图形可知，当时，直线与曲线在上的图象有两个交点，
即此时函数在上有两个零点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】当，，则，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，，
作出函数的大致图象，

设，则有两个不同的实数根，由可知，与异号，
不妨设，要使方程有3个不同的实数根，
则或，
①当时，，得；
②当时，设，则，得，
综上，的取值范围为．
故答案为：．
例8．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数根，则a的取值范围为_______.
【答案】
【解析】由函数可知，其函数图象如下图所示：

若关于x的方程有5个不同的实数根，
即方程有5个不同的实数根，
即和共有5个不同的实数根，
所以和与函数共有5个不同的交点；
由图可知，与函数最多有三个交点，且；
所以，当，与函数有2个不同的交点，
需满足 与函数有3个不同的交点，所以，
解得；
当时，与函数有3个不同的交点，
需满足 与函数有2个不同的交点，所以
解得；
综上可知，
所以，a的取值范围为.
故答案为：
例9．（2023·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为
A． B． C．-1 D．1
【答案】D
【解析】
令f（x）=0，分离参数得a=令h（x）=由h′（x）= 得x=1或x=e．
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．
即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．

∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=令μ=则a=即μ2+（a-1）μ+1-a=0，
μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，
对于μ=， 则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．不妨设μ1＜μ2，则μ1=， =（1-μ1）2（1-μ2）（1-μ3）
=[（1-μ1）（1-μ2）]2=[1-（1-a）+（1-a）]2=1．
故选D．
例10．（2023·全国·高二）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由得，设，，
则，则有解，设，
为增函数，，
当时，递增，当时，递减，
所以当时函数取极小值，，即，
若有解，则，即，
所以或，
故选：B．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）设，则下列正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】周期为的偶函数，且是的一条对称轴，
且在单调递增，
则，
因为，则故，
，
令，在有，
则在单调递减，故，
即，则，故；
综上，
故选：C.
2．（2023·陕西渭南·统考一模）已知函数，，的定义域均为，为的导函数.若为偶函数，且，.则以下四个命题：①；②关于直线对称；③；④中一定成立的是（    ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【解析】对②：由，可得，则（与为常数），
令，则，所以，则，
故关于直线对称，②正确；
对①：∵为偶函数，则，
∴，则为奇函数，
故，即，则是以4为周期的周期函数，
由，令，则，可得，
故，①正确；
由，令，则，即，
令，则，即，
故，则，
对③：由，即，则，
由于无法得出的值，③错误；
对④：，④正确；
故选：D.
3．（2023·河南信阳·高三统考期末）已知m、n为实数，，若对恒成立，则的最小值为（    ）
A．1 B．2 C．－1 D．3
【答案】C
【解析】因为，所以，
若时，则恒成立，所以在上单调递增，
时，，显然不符合题意；
若时，分式无意义，不符合题意；
当时，令，解得，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，则，则，
令，则，
易知当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，即的最小值为.
故选：C.
4．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）若，，，则、、的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，，
当时，，
令，则，
所以函数在区间上单调递减，
所以，
又，所以，
所以函数在区间上单调递减，
所以，
故.
故选：B.
5．（2023·江西吉安·高三统考期末）已知函数及其导函数的定义域均为且都为连续函数，记，若，均为奇函数，，则（    ）
A． B．0 C．2 D．2023
【答案】A
【解析】∵为奇函数，即，在纵轴两边斜率相反，
故的图像关于对称，
∵均为奇函数，
∴函数的图像分别关于，中心对称，
即
又的图像关于对称， 的图像关于对称，
即，
，
，
则
∴与都是周期为4的周期函数，
∴．
故选：A．
6．（2023·江苏南通·高三统考期末）两条曲线与存在两个公共点，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知有两个不等正根，
即有两个不等正根，
令，则，
又，在上单调递增，
所以有两个不等正根，
设，则，
由可得单调递增，由可得单调递减，
且，
作出函数和的大致图象，

由图象可知当时，有两个正根，
即时，两条曲线与存在两个公共点.
故选：C.
7．（2023·江西新余·高三统考期末）已知函数，，若与图像的公共点个数为，且这些公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，则下列说法正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【解析】对于A：当时，令，则，即函数在定义域上单调递减，
又当时，所以函数有且仅有一个零点为，
同理易知函数有且仅有一个零点为，即与也恰有一个公共点，故A错误；
对于B：当时，如下图：

易知在，且，与图象相切，
由当时，，则，，
故，从而，
所以，故B正确；
对于C：当时，如下图：

则，，所以，又图象关于对称，
结合图象有，即有，故C错误；
对于D：当时，由，
与的图象在轴右侧的前个周期中，每个周期均有个公共点，共有个公共点，故D错误.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，令，则函数的最大值为（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】依题意，是定义在上且周期为4的奇函数，
所以，
所以是周期为的周期函数.
当时，，.
当时，，.
所以，
所以
，
当时，，，
，
所以，
所以，
画出在区间上的图象如下图所示，
结合的周期性可知的最大值为.
故选：A

9．（2023·全国·高三校联考阶段练习）定义在上的奇函数满足，当时，，若在有2023个零点，则的取值范围可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为是上的奇函数，
所以，故在有2022个零点.
又满足，
所以是周期为2的周期函数.
故在每个周期上均有个零点.
又因为在上图像关于原点对称，
所以在和上有相同个数的零点，
也即在和上有相同个数的零点，
又在上有4个零点，且，
故在上有1个零点，且.
当时，有
当时，
则若要满足以上条件，需使时，，
即.
满足的取值范围条件的选项只有C.
故选：C.
10．（2023·全国·高三专题练习）函数满足，令，对任意的，都有，若，则（    ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
即，，
故，所以是奇函数，
令，解得：，
故，解得：，则，
令，解得：，
故，解得：，则，
依次可得：
，解得：，则，
则，故，
中，令得：，
所以,
故选：A
二、多选题
11．（2023·山东枣庄·高三统考期末）设定义在R上的函数与的导函数分别为和，且，，且为奇函数，则（    ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为为奇函数，所以，取可得，
因为，所以；
所以，又，，
故，所以函数的图象关于点对称，故B正确；
因为，所以，所以，为常数，
因为，所以，
所以，取可得，所以，
故关于对称，故A正确；
又，所以，所以，
所以，故函数为周期为的周期函数，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以，
由已知无法确定的值，故的值不一定为，故C错误．
因为，所以，，
所以，故函数为周期为的函数，
所以，所以函数为周期为4的函数，
又，，，，
所以，，
所以
，故D正确；
故选：ABD．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数和，存在直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标分别为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】，，，，
令得，令得，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
在上单调递减，在上单调递增，且
①时，此时，显然与两条曲线和
共有0个交点，不符合题意；
②时，此时，
故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1,不符合题意；
③时，首先，证明与曲线有2个交点，
即证明有2个零点，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在1个零点设为在上存在且只存在1个零点设为
其次，证明与曲线和有2个交点，
即证明有2个零点，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在1个零点设为，在上存在且只存在1个零点设为
再次，证明存在，使得
因为，所以，
若，则，即，
所以只需证明在上有解即可，
即在上有零点，
因为，，
所以在上存在零点，取一零点为，令即可，
此时取
则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，
最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以，
又因为在上单调递减，，即，所以，,不成立
故,故选项正确,故选项错误.
同理，因为，
又因为在上单调递增，即，，所以，
又因为，所以，
即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标分别为,

.故正确
故选:.
13．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数、的定义域均为．且满足，，，则（    ）
A． B．
C．的图象关于点对称 D．
【答案】BC
【解析】对于A选项，因为，所以，函数的图象关于点对称，
所以，，
因为，所以，，即，
因为，所以，，
则，所以，，A错；
对于B选项，因为定义域为的函数的图象关于点对称，则，B对；
对于C选项，因为，所以，，
联立，可得，
所以，函数的图象关于点对称，C对；
对于D选项，因为，令可得，
所以，，故，
因为，所以，，可得，
所以，，可得，则，
记，，其中，且，，
则，，
所以，数列是以为首项，公差为的等差数列，则，
数列是首项为，公差为的等差数列，，
所以，，D错.
故选：BC.
14．（2023·江苏南通·高三统考期末）设定义在上的函数与的导数分别为与，已知，，且关于直线对称，则下列结论一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为，
所以
所以，
所以，
故D正确，
令时，，
所以，
由，
所以，
所以B选项正确，
因为，
所以，
所以函数图象关于点对称，
则函数的图象关于点对称，即为奇函数，
所以函数（为常数）为偶函数，图象关于直线对称，
所以函数的图象关于直线对称，
所以，
故C选项正确，
函数，则函数图象关于直线对称，符合题意，
所以，
故选项A不正确，
故选：BCD.
15．（2023·广东清远·高三统考期末）设，，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】，，，，
对于A，设，则，令，则恒成立，
所以在上单调递增，则恒成立，所以在上单调递增，
则，即，所以，故A正确；
对于B，设，则，故在上单调递增，
则，整理得，所以，故B不正确；
对于D，设，则，
当时，，所以在上单调递增，
所以有，即，所以，则，故D正确；
由前面可知，所以，故C正确.
故选：ACD.
16．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考期末）已知函数与的定义域均为，且，，若为偶函数，则（    ）
A．函数的图象关于直线对称 B．
C．函数的图象关于点对称 D．
【答案】BCD
【解析】A选项，是偶函数，图象关于对称，
的图象，横坐标放大为原来的两倍，得到的图象，
则是偶函数，图象关于对称；
的图象，向左平移个单位，得到的图象，
则的图象关于对称，A选项错误.
B选项，由，以替换得，
由得，
令得，
由于的图象关于对称，所以，B选项正确.
C选项，由，以替换得，
由得，
令得，所以的图象关于点对称，C选项正确.
D选项，的图象关于对称，所以，
由，得，
以替换得，
所以，，的周期为4，
又，，
所以
，
D选项正确.
故选：BCD
三、填空题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，且，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数在上单调递增，，在上单调递增，，
当，即时，，且，
当，即时，，且，
当，即时，，且，
因此，在坐标系内作出函数的图象，如图，

再作出直线，则方程有两个不等实根，当且仅当直线与函数的图象有两个不同交点，
观察图象知方程有两个不等实根，当且仅当，
此时，且，即，且，则有，
令，求导得，令，
当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即，因此函数在上单调递增，
，而，于是当时，，有，
所以的取值范围是.
故答案为：
18．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知定义在上的单调递增函数，对于任意的，都有，且恒成立，则______.
【答案】3882
【解析】令，则有，若，则有，显然矛盾；
若，则有，显然与已知矛盾，当为大于3的整数时，与已知函数单调递增相矛盾，故，所以有；
令时，；令时，，
根据函数递增且可得：，；
令时，；令时，；
根据函数递增且可得：，，…，；
同理，，，，，，，，
根据函数递增且可得：，，…，；
所以，所以.
故答案为：3882
19．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，且，则______．
【答案】90
【解析】因为的图象关于直线对称，则，
又，即有，则，
因为，得，
因此，则，
显然，则，
即，所以是周期为4的周期函数，
，，由得，
，又，，则，
所以，
所以
.
故答案为：90.
20．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有__________．
①；    ②；
③；    ④．
【答案】①③．
【解析】①函数为增函数，若函数存在“倍值区间”，则有，解得，所以函数存在“倍值区间”，故正确；
②函数为增函数，若函数存在“倍值区间”，则，
当时，，，此时无解；
当时，设，，
令，解得，
故当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，所以时，，
所以此时无解，
综上所述，无解，故函数不存在“倍值区间”，
③当时，；
当时，，由于对勾函数在上单调递减，
由复合函数可得函数在区间上单调递增，
若函数在区间存在“倍值区间”，则有，解得，
所以函数存在“倍值区间”，故正确；
④若函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
若在存在“倍值区间”，
所以则，解得，与区间矛盾，故舍去，
若在存在“倍值区间”，
所以则，解得，与区间矛盾，故舍去，
故没有“倍值区间”；
故答案为：①③．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的定义域为，若对，，，成立，且，则__________.
【答案】
【解析】因为①，且②，
即，结合②可得③，①③相减有，故④，即，故周期为4.
在①中令，有，又，可得.
由④，令，有，结合周期为4，则


故答案为：