2021年陕西省咸阳市乾县中考数学模拟试卷

这是一份2021年陕西省咸阳市乾县中考数学模拟试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省咸阳市乾县中考数学模拟试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）若一个数的相反数等于它本身，则这个数是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．0
2．（3分）下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，已知a∥b，直线c与直线b，a的交点分别为A，B，过点B作BC⊥直线c交直线b于点C，若∠1＝35°，则∠BAC的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．60°
4．（3分）计算（a+2）2﹣（a﹣1）2的结果正确的是（　　）
A．2a+1 B．2a﹣1 C．6a+3 D．6a﹣3
5．（3分）如图，在△ABC中，BC＝2，∠C＝45°，BE⊥AC于点E，点D为CE的中点，连接BD，若BD＝AB，则AB的长为（　　）

A． B．2 C． D．
6．（3分）若x＝2是关于x的方程mx+n＝0（m≠0）的解，则一次函数y＝﹣mx﹣n的图象与x轴的交点坐标是（　　）
A．（3，0） B．（0，3） C．（0，2） D．（2，0）
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝78°，则∠EAC的度数为（　　）

A．22° B．24° C．27° D．30°
8．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，则m的取值范围为（　　）
A．0≤m≤1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≥2
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．（3分）绝对值不大于的整数有 　 　个．
10．（3分）乾县，隶属陕西省咸阳市，位于咸阳市西部，其行政区域总面积约100300公顷，数据100300用科学记数法表示为 　 　．
11．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，两个正方形的面积之比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为 　 　．

12．（3分）观察图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形中共有 　 　个〇；第n个图形中共有 　 　个〇．

13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，1），点C为x轴正半轴上一点，过点C作y轴的平行线交AB的延长线于点P，OC＝2OA，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点P，则k的值为 　 　．

14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，BC+CD＝2，则四边形ABCD的面积为 　 　．

三、解答题（共12小题，计78分。解答应写出过程）
15．（5分）求不等式组的解集，并把它的解集表示在如图所示的数轴上．

16．（5分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，且x为满足﹣2＜x＜2的整数．
17．（5分）如图，已知点O为平行四边形ABCD的中心，请用尺规作图法在BC上找一点P，使得OP所在直线将平行四边形ABCD分成两个全等的小平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）如图，在等边△ABC中，点D、E分别为边AB、BC上的点，请你添加一个条件，使得△ABE≌△CAD．
（1）你添加的条件是 　 　；
（2）根据你添加的条件，写出“△ABE≌△CAD”的证明过程．

19．（6分）职业资格证书是劳动者求职、任职、开业的资格凭证，是用人单位招聘、录用劳动者的主要依据，现在职业资格证书的培训机构也越来越多，某培训机构为了合理安排课时时间，随机抽取了部分学员，就“每天能抽出多长时间进行线上学习”进行了调查统计，并根据调查结果，绘制出了如下两幅统计图表（不完整）：
所抽取学员每天可用于线上学习的时间统计表
时间/h
1.5
2
2.5
3
3.5
4
人数/人
12
20
a
10
8
6
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查的学员人数为 　 　人，表中a的值为 　 　；
（2）所抽取学员每天可用于线上学习的时间的中位数是 　 　；
（3）从众数和平均数的角度分析，该培训机构每天的线上培训课程应设为多少小时最合理？

20．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝x2+的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝x2+的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2+的自变量x的取值范围是 　 　；
（2）下表是y与x的几组对应值，请求出表中m的值；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣


1
2
3
…
y
…


﹣
﹣
﹣




m
…
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了该函数的图象，请你结合函数的图象，写出该函数的其他性质（最少写出两条）．

21．（6分）如图1，是一把躺椅的实物图，图2是躺椅支架的侧面放大示意图，∠BAC是一个可调节的角，小何通过调节∠BAC的角度使人躺着更舒适，经测量：当∠ABC＝58°，∠ACB＝32°时，∠BAC达到最佳角度，为了固定此时∠BAC的度数，需要在∠BAC内部加一支架DE，且AD＝BD，AE＝CE，已知AD＝20cm，求支架DE的长（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85；cos58°≈0.53；tan58°≈1.60；sin32°≈0.53；cos32°≈0.85；tan32°≈0.62）

22．（6分）进入2021年以来，全球新冠肺炎疫情流行加速，异常严峻的国际疫情形势给我国的防疫工作带来了巨大的挑战．为此，目前全国各地都在积极开展新冠肺炎疫苗接种工作，某疾控中心将一批20万剂疫苗运往甲，乙两城市，根据预算，运往甲城的费用为500元/万剂，运往乙城的费用为400元/万剂．结合甲城的疫苗预约情况，甲城的需求量不低于12万剂，设运输这20万剂疫苗的总费用为y元，运往甲城x万剂．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）在满足甲城市最低需求量的情况下，运输这20万剂疫苗的总费用至少是多少？
23．（7分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在首都北京举行，为了让学生了解更多“冬奥会”的知识，某校举办了一次冬奥知识答题竞赛，为参加这次竞赛，九（1）班经过初选，王婷和李亮并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛，经班长与他们协商，决定用摸纸牌游戏来确定谁去参赛（胜者参赛），游戏规则如下：
如图，现有两组扑克牌，每组4张扑克，第一组分别是梅花2、梅花3、梅花4、梅花5，第二组分别是方块2、方块3、方块4、方块5，把两组扑克牌背面朝上各自搅匀，王婷从第一组中抽取一张扑克牌，李亮从第二组中抽取一张扑克牌，若他们抽取的两张牌的数字相邻，则3胜2，4胜3，5胜4；若他们抽取的两张牌的数字不相邻，则视为平局，需放回后重新抽取，直到决出胜负为止．
（1）“王婷抽取的一张牌是梅花8”这一事件是 　 　事件；（填“随机”“必然”或“不可能”）
（2）若王婷抽出的一张扑克牌是梅花3，则李亮获胜的概率为 　 　；
（3）请用列表法或画树状图的方法，求王婷和李亮各抽取一张牌就能分出胜负的概率．
24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过D作⊙O的切线交BC于点E．
（1）证明：∠CDE＝∠ABD；
（2）若AB＝26，sin∠CDE＝，求DC的长．

25．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，tan∠BAC＝tan∠BCO＝．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在直线AC上，点E在点C上方的y轴上，那么在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使得以点C，D，E，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（10分）问题提出
（1）如图①，点M为⊙O外一点，点A在⊙O上，⊙O的半径为3，MO＝5，则MA的最大值是　 　，MA的最小值是　 　．
问题探究
（2）如图②，在正方形ABCD内部有一点P，连接PD＝3，PC＝6，∠DPC＝135°，求PB的长；
问题解决
（3）如图③，所示区域为某小区一块空地，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝20m，AD＝10m，CD＝10m，所对的圆心角为60°，该物业管理部门计划在这块空地内部点P处建造一个凉亭，同时在上取一点Q，从P点分别向A、D、Q处修建文化长廊，为了节约修建文化长廊的成本，不考虑其他因素，是否存在这样的点P，使得PA+PD+PQ最小，若存在，请求PA+PD+PQ的最小值；若不存在，请说明理由．


2021年陕西省咸阳市乾县中考数学模拟试卷
（参考答案）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）若一个数的相反数等于它本身，则这个数是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．0
【解答】解：∵0的相反数是0，
∴如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是0．
故选：D．
2．（3分）下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A，C，D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
B选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
3．（3分）如图，已知a∥b，直线c与直线b，a的交点分别为A，B，过点B作BC⊥直线c交直线b于点C，若∠1＝35°，则∠BAC的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．60°
【解答】解：如图，

∵BC⊥直线c，
∴∠ABC＝90°，
∵∠1＝35°，
∴∠ABC＝∠1+∠ABC＝125°，
∵a∥b，
∴∠BAC+∠ABD＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝55°．
故选：C．
4．（3分）计算（a+2）2﹣（a﹣1）2的结果正确的是（　　）
A．2a+1 B．2a﹣1 C．6a+3 D．6a﹣3
【解答】解：原式＝a2+4a+4﹣（a2﹣2a+1）
＝a2+4a+4﹣a2+2a﹣1
＝6a+3．
故选：C．
5．（3分）如图，在△ABC中，BC＝2，∠C＝45°，BE⊥AC于点E，点D为CE的中点，连接BD，若BD＝AB，则AB的长为（　　）

A． B．2 C． D．
【解答】解：∵∠C＝45°，BE⊥AC于点E，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝BC＝×2＝2，
∵D是CE中点，
∴DE＝CE＝1，
∴BD＝＝＝，
∴AB＝BD＝．
故选：A．
6．（3分）若x＝2是关于x的方程mx+n＝0（m≠0）的解，则一次函数y＝﹣mx﹣n的图象与x轴的交点坐标是（　　）
A．（3，0） B．（0，3） C．（0，2） D．（2，0）
【解答】解：∵方程的解为x＝2，
∴当x＝2时mx+n＝0；
∴一次函数y＝mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），
∴一次函数y＝﹣mx﹣n的图象与x轴的交点为（2，0），
故选：D．
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝78°，则∠EAC的度数为（　　）

A．22° B．24° C．27° D．30°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣78°）＝51°，
∵AD∥BC，
∴∠ACE＝∠DAC＝51°，
∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，
∴∠AEC＝180°﹣78°＝102°，
∴∠EAC＝180°﹣102°﹣51°＝27°，
故选：C．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，则m的取值范围为（　　）
A．0≤m≤1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≥2
【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3（a＞0），
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，该函数取得最小值﹣a+3，
∵当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，当y＝3时，x＝2或x＝0，
∴1≤m≤2，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．（3分）绝对值不大于的整数有 　5　个．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴绝对值不大于的整数有﹣2，﹣1，0，1，2．
故答案为：5．
10．（3分）乾县，隶属陕西省咸阳市，位于咸阳市西部，其行政区域总面积约100300公顷，数据100300用科学记数法表示为 　1.003×105　．
【解答】解：100300＝1.003×105．
故答案为：1.003×105．
11．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，两个正方形的面积之比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为 　（，）　．

【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF的面积之比为1：2，
∴正方形OABC与正方形ODEF的相似比为1：，
∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，
∵点A的坐标为（1，0），
∴B（1，1），
∴E（，）．
故答案为：（，）．
12．（3分）观察图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形中共有 　31　个〇；第n个图形中共有 　（3n+1）　个〇．

【解答】解：观察图形的变化可知：
第1个图形中共有3×1+1＝4个〇；
第2个图形中共有3×2+1＝7个〇；
第3个图形中共有3×3+1＝10个〇；
…，
所以第n个图形中共有（3n+1）个〇；
所以第10个图形中共有〇的个数为：3×10+1＝31．
故答案为：31，（3n+1）．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，1），点C为x轴正半轴上一点，过点C作y轴的平行线交AB的延长线于点P，OC＝2OA，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点P，则k的值为 　12　．

【解答】解：∵A（﹣2，0），B（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
∵过点C作y轴的平行线交AB的延长线于点P，
∴△AOB∽△ACP，
∴，
∵OC＝2OA，
∴OC＝2×2＝4，AC＝3OA，
∴，
∴PC＝3，
∴P（4，3），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点P，
∴k＝4×3＝12，
∴k的值为12，
故答案为：12．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，BC+CD＝2，则四边形ABCD的面积为 　1　．

【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，
∴BD2＝AB2+AD2＝2AB2，
∴S△ABD＝AB•AD＝AB2＝BD2，
∵BD2＝BC2+CD2，
∴S△ABD＝（BC2+CD2），
∵S△CBD＝BC•CD，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝（BC2+CD2）+BC•CD＝（BC+CD）2，
∵BC+CD＝2，
S四边形ABCD＝×22＝1，
∴四边形ABCD的面积为1，
故答案为：1．
三、解答题（共12小题，计78分。解答应写出过程）
15．（5分）求不等式组的解集，并把它的解集表示在如图所示的数轴上．

【解答】解：解不等式①，得：x≤2，
解不等式②，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
将它的解集表示在数轴上如下：

16．（5分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，且x为满足﹣2＜x＜2的整数．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
∵x为满足﹣2＜x＜2的整数，
∴x＝﹣1，0，1，
当x＝﹣1，1时，原式没有意义；
当x＝0时，原式＝2．
17．（5分）如图，已知点O为平行四边形ABCD的中心，请用尺规作图法在BC上找一点P，使得OP所在直线将平行四边形ABCD分成两个全等的小平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）

【解答】解：如下图：作BC的垂直平分线交BC于点P，点P即为所求．

18．（5分）如图，在等边△ABC中，点D、E分别为边AB、BC上的点，请你添加一个条件，使得△ABE≌△CAD．
（1）你添加的条件是 　BE＝AD（答案不唯一）　；
（2）根据你添加的条件，写出“△ABE≌△CAD”的证明过程．

【解答】解：（1）可添加的条件为：BE＝AD（答案不唯一），
故答案为：BE＝AD（答案不唯一）；
（2）当添加BE＝AD时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABE＝∠CAD＝60°，AB＝CA，
在△ABE与△CAD中，
，
∴ABE≌△CAD（SAS）．
19．（6分）职业资格证书是劳动者求职、任职、开业的资格凭证，是用人单位招聘、录用劳动者的主要依据，现在职业资格证书的培训机构也越来越多，某培训机构为了合理安排课时时间，随机抽取了部分学员，就“每天能抽出多长时间进行线上学习”进行了调查统计，并根据调查结果，绘制出了如下两幅统计图表（不完整）：
所抽取学员每天可用于线上学习的时间统计表
时间/h
1.5
2
2.5
3
3.5
4
人数/人
12
20
a
10
8
6
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查的学员人数为 　100　人，表中a的值为 　44　；
（2）所抽取学员每天可用于线上学习的时间的中位数是 　2.5　；
（3）从众数和平均数的角度分析，该培训机构每天的线上培训课程应设为多少小时最合理？

【解答】解：（1）本次共调查的学员人数为：20÷20%＝100（人），
故a＝100﹣12﹣20﹣10﹣8﹣6＝44．
故答案为：100；44；
（2）所抽取学员每天可用于线上学习的时间的中位数是2.5；
故答案为：2.5；
（3）所调查数据的众数是2.5；
（1.5×12+2×20+2.5×44+3×10+3.5×8+4×6）＝2.5（h），
即所调查数据的平均数是2.5h．
∴从众数和平均数的角度分析，该培训机构每天的线上培训课程应设为2.5小时最合理．
20．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝x2+的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝x2+的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2+的自变量x的取值范围是 　x≠0　；
（2）下表是y与x的几组对应值，请求出表中m的值；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣


1
2
3
…
y
…


﹣
﹣
﹣




m
…
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了该函数的图象，请你结合函数的图象，写出该函数的其他性质（最少写出两条）．

【解答】解：（1）x≠0，
故答案为：x≠0；
（2）令x＝3，
∴y＝×32+
＝+＝；
∴m＝；
（3）如图

该函数的其它性质：
①该函数没有最大值；
②该函数在x＝0处断开；
③该函数没有最小值；
④该函数图象没有经过第四象限．
21．（6分）如图1，是一把躺椅的实物图，图2是躺椅支架的侧面放大示意图，∠BAC是一个可调节的角，小何通过调节∠BAC的角度使人躺着更舒适，经测量：当∠ABC＝58°，∠ACB＝32°时，∠BAC达到最佳角度，为了固定此时∠BAC的度数，需要在∠BAC内部加一支架DE，且AD＝BD，AE＝CE，已知AD＝20cm，求支架DE的长（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85；cos58°≈0.53；tan58°≈1.60；sin32°≈0.53；cos32°≈0.85；tan32°≈0.62）

【解答】解：∵∠ABC＝58°，∠ACB＝32°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝90°，
∵AD＝BD，AE＝CE，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝58°，
∵cos∠ADE＝，AD＝20
∴DE＝≈≈38（cm），
答：支架DE的长约为38cm．
22．（6分）进入2021年以来，全球新冠肺炎疫情流行加速，异常严峻的国际疫情形势给我国的防疫工作带来了巨大的挑战．为此，目前全国各地都在积极开展新冠肺炎疫苗接种工作，某疾控中心将一批20万剂疫苗运往甲，乙两城市，根据预算，运往甲城的费用为500元/万剂，运往乙城的费用为400元/万剂．结合甲城的疫苗预约情况，甲城的需求量不低于12万剂，设运输这20万剂疫苗的总费用为y元，运往甲城x万剂．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）在满足甲城市最低需求量的情况下，运输这20万剂疫苗的总费用至少是多少？
【解答】解：（1）∵这批疫苗共20万剂，运往甲城x万剂，
∴运往乙城（20﹣x）万剂，
∴y＝500x+400（20﹣x）＝100x+8000，
∴y与x的函数关系式为y＝100x+8000；
（2）∵甲城的需求量不低于12万剂，
∴x≥12，
∵在y＝100x+8000中，100＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝12时，y有最小值，最小值为12×100+8000＝9200，
答：在满足甲城市最低需求量的情况下，运输这20万剂疫苗的总费用至少是9200元．
23．（7分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在首都北京举行，为了让学生了解更多“冬奥会”的知识，某校举办了一次冬奥知识答题竞赛，为参加这次竞赛，九（1）班经过初选，王婷和李亮并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛，经班长与他们协商，决定用摸纸牌游戏来确定谁去参赛（胜者参赛），游戏规则如下：
如图，现有两组扑克牌，每组4张扑克，第一组分别是梅花2、梅花3、梅花4、梅花5，第二组分别是方块2、方块3、方块4、方块5，把两组扑克牌背面朝上各自搅匀，王婷从第一组中抽取一张扑克牌，李亮从第二组中抽取一张扑克牌，若他们抽取的两张牌的数字相邻，则3胜2，4胜3，5胜4；若他们抽取的两张牌的数字不相邻，则视为平局，需放回后重新抽取，直到决出胜负为止．
（1）“王婷抽取的一张牌是梅花8”这一事件是 　不可能　事件；（填“随机”“必然”或“不可能”）
（2）若王婷抽出的一张扑克牌是梅花3，则李亮获胜的概率为 　　；
（3）请用列表法或画树状图的方法，求王婷和李亮各抽取一张牌就能分出胜负的概率．
【解答】解：（1））“王婷抽取的一张牌是梅花8”这一事件是不可能事件；
故答案为：不可能；
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果，其中抽取的两张牌的数字相邻的结果数为6，
所以王婷和李亮各抽取一张牌就能分出胜负的概率＝＝．
24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过D作⊙O的切线交BC于点E．
（1）证明：∠CDE＝∠ABD；
（2）若AB＝26，sin∠CDE＝，求DC的长．

【解答】（1）证明：连接OD，如图，

∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ODB+∠BOE＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB+∠BDC＝90°，
∴∠CDE+∠BDE＝90°，
∴∠CDE＝∠ODB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠CDE＝∠OBD，
∴∠CDE＝∠ABD．
（2）解：∵∠CDE＝∠ABD，
∴sin∠CDE＝sin∠ABD＝，
在Rt△ABD中，AB＝26，sin∠ADB＝，
∴AD＝10，
∴BD＝＝24，
设DC＝x，
AC＝AD+DC＝10+x，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，
∴BC2＝BD2+DC2，
∴（10+x）2＝242+x2，
∴x＝，
即DC＝．
25．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，tan∠BAC＝tan∠BCO＝．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在直线AC上，点E在点C上方的y轴上，那么在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使得以点C，D，E，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵tan∠BAC＝tan∠BCO＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴OA＝8，OB＝2，
∴A（8，0），B（﹣2，0），
将点A（8，0），B（﹣2，0）代入抛物线y＝ax2+bx+4中得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）设直线AC的解析式为：y＝mx+n，
则，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+4，
设P的坐标为（t，﹣t2+t+4）（t＞0），
分两种情况：
①当CE为对角线时，如图1，四边形CPED是菱形，点P和点D关于y轴对称，

∴点D的坐标为（﹣t，﹣t2+t+4），
∵点D在直线AC上，
∴﹣t2+t+4＝t+4，
解得：t＝0（舍）或4，
∴P（4，6）；
②当CE为边时，如图2，四边形CEPD是菱形，

则PD∥y轴，且CD＝DP，
∵点D在直线AC上，
∴D（t，﹣t+4），
由图2知：P在D的上方，
∴PD＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t，
过点D作DF⊥y轴于F，则CF＝4﹣（﹣t+4）＝t，DF＝t，
由勾股定理得：CD2＝DF2+CF2，
∴CD2＝t2+t2＝，
∴CD＝t，
∵CD＝PD，
∴t＝﹣t2+2t，
解得：t＝0（舍）或8﹣2，
当x＝8﹣2时，y＝﹣t2+t+4＝5﹣5，
∴P（8﹣2，5﹣5）；
综上所述，在第一象限内的抛物线上存在点P，使得以点C，D，E，P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（4，6）或（8﹣2，5﹣5）．
26．（10分）问题提出
（1）如图①，点M为⊙O外一点，点A在⊙O上，⊙O的半径为3，MO＝5，则MA的最大值是　8　，MA的最小值是　2　．
问题探究
（2）如图②，在正方形ABCD内部有一点P，连接PD＝3，PC＝6，∠DPC＝135°，求PB的长；
问题解决
（3）如图③，所示区域为某小区一块空地，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝20m，AD＝10m，CD＝10m，所对的圆心角为60°，该物业管理部门计划在这块空地内部点P处建造一个凉亭，同时在上取一点Q，从P点分别向A、D、Q处修建文化长廊，为了节约修建文化长廊的成本，不考虑其他因素，是否存在这样的点P，使得PA+PD+PQ最小，若存在，请求PA+PD+PQ的最小值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）如图①中，连接OA．

∵OA＝3，OM＝5，
∴5﹣3≤MA≤5+3，
∴2≤AM≤8，
∴AM的最大值为8，最小值为2，
故答案为：8，2．

（2）如图②中，将△CPD绕点C逆时针旋转90°得到△BCT，连接PT．

∵CP＝CT＝6，∠PCT＝90°，
∴∠CTP＝45°，PT＝PC＝6，
∵∠CPD＝∠CTB＝135°，
∴∠BTP＝90°，
∵BT＝PD＝3，
∴PB＝＝＝9．

（3）如图③中，设所在的圆心为O，连接BC，OB，OC，过点C作CK⊥AB于K，

将△APD绕点D顺时针旋转60°得到△A′DP′，连接PP′，OP，OP交⊙O于Q，过点A′作A′M⊥CD交CD的延长线于M．
∵∠DAK＝∠AKC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ADCK是矩形，
∴AK＝CD＝10（m），AD＝CK＝10（m），
∵AB＝20m，
∴BK＝20﹣10＝202（m），
∴BC＝＝＝20（m），
∴BC＝2BK，
∴∠BCK＝30°
∵∠BOC＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，OC＝BC＝20（m），
∴∠DCO＝180°，
∴D，C，O共线，
∵DA＝DA′＝10，∠ADA′＝60°，∠ADM＝∠M＝90°，
∴∠A′DM＝30°，
∴A′M＝DA′＝5（m），DM＝A′M＝15（m），
∴OM＝DM+CD+OC＝45（m），
∴A′O＝＝＝10（m），
∴△PDP′是等边三角形，
∴PD＝P′P，
∴PA+PD+OP＝A′P′+P′P+OQ≥OA′，
∴PA+PD+PQ+OQ≥10，
∴PA+PD+PQ≥10﹣20，
∴当A′，P，Q，O共线时，PA+PD+PQ有最小值，PA+PD+PQ的最小值为（10﹣20）m．