2023年山东省日照市东港区新营中学中考数学一模试卷(含解析）

2023年山东省日照市东港区新营中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.  年月日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到万次，数据万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  民族图案是数学文化中的一块瑰宝，下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地轿车的平均速度大于货车的平均速度，如图线段和折线分别表示两车离甲地的距离单位：千米与时间单位：小时之间的函数关系．则下列说法正确的是(    )

A. 两车同时到达乙地 B. 轿车行驶小时时进行了提速
C. 货车出发小时后，轿车追上货车 D. 两车在前千米的速度相等

7.  家具厂利用如图所示直径为米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角，则扇形部件的面积为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

8.  已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，下列结论：四边形是菱形；；；若平分，则其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为(    )
 

A.
B.
C.
D.

11.  如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴的正半轴上，、两点的坐标分别为、，点在第一象限，将直线沿轴向上平移个单位．若平移后的直线与边有交点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线有以下结论：
；
；
若，是抛物线上的两点，当时，；
点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；
若方程的两根为，，且，则．
其中正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.  已知，则______．

14.  观察下列各式：，，，，它们按一定规律排列，第个数记为，且满足则，则        ．

15.  如图，▱的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，，在第一象限，反比例函数的图象经过点，的图象经过点若，则          ．
 

16.  如图，在边长为的正方形中，点为正方形的中心，点为边上的动点，连接，作交于点，连接，为的中点，为边上一点，且，连接，，则的最小值为        ．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
化简求值：的值，其中．
解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解．

18.  本小题分
课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，：很好；：较好；：一般；：较差并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

王老师一共调查了多少名同学？
类女生有        名；类男生有        名，将上面条形统计图补充完整；
为了共同进步，王老师想从被调查的类和类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

19.  本小题分
为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．工大附中准备购买、两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：种垃圾桶每组的单价比种垃圾桶每组的单价少元，且用元购买种垃圾桶的组数量是用元购买种垃圾桶的组数量的倍．
求、两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；
该学校计划用不超过元的资金购买、两种垃圾桶共组，则最多可以购买种垃圾桶多少组？

20.  本小题分
如图，与相切于点，过点作，垂足为，交于点连接，，并延长交于点，与的延长线交于点．
求证：是的切线；
若，，求的值．

21.  本小题分
综合与实践
问题情境：
如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点延长交于点，连接．
猜想证明：
试判断四边形的形状，并说明理由；
如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
如图，若，，请直接写出的长．
 

22.  本小题分
如图抛物线，交轴于、两点，交轴于点当时．
求抛物线的表达式；
若点是抛物线上第一象限的点．
如图连接，交线段于点，若时，求点的坐标；
如图，在条件下，当点靠近抛物线对称轴时，过点作轴，点是上一点，连接，求的最小值；
如图，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点试问，是否为定值？如果是，请直接写出这个定值：如果不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根是．
故选C．
根据求算术平方根的方法可以求得的算术平方根．
本题考查算术平方根，解题的关键是明确求算术平方根的方法．
 

2.【答案】 

【解析】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥．
故选：．
本题考查了平移的定义，注意：平移是整体沿着某一方向移动．
本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．
 

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，
故选：．
利用平行线的性质可得的度数，再利用平角定义可得答案．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
 

5.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意和图可得，
轿车先到达乙地，故选项A错误；
轿车行驶了小时时进行了提速，故选项B正确；
货车的速度是：千米时，轿车在段对应的速度是：千米时，故选项D错误；
设货车对应的函数解析式为，
，得，
即货车对应的函数解析式为，
设段轿车对应的函数解析式为，
，
解得，
即段轿车对应的函数解析式为，
令，得，
即货车出发小时后，轿车追上货车，故选项C错误，
故选：．
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，，如图所示，
，
是的直径，
的直径为米，
米，
米，
扇形部件的面积米，
故选：．
连接，，所对的弦是直径，根据的直径为米，得到米，根据勾股定理得到的长，根据扇形面积公式即可得出答案．
本题考查了扇形面积的计算，掌握设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方的两个实数根，
，
是一元二次方程的实数根，
，
，
故选：．
由根与系数的关系，根据一元二次方程根的定义得，，整体代入求解即可．
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意知，垂直平分，

在和中，
，
≌，
，
，
即四边形是菱形，
故结论正确；
，，
，
，
故结论正确；
，
故结论不正确；
若平分，则，
，
，
，
故结论不正确；
故选：．
根据题意分别证明各个结论来判断即可．
本题主要考查长方形的综合题，熟练掌握长方形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．
连接，根据旋转的性质可得，判断出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，然后利用“边边边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，延长交于，根据等边三角形的性质可得，利用勾股定理列式求出，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出、，然后根据计算即可得解．
【解答】
解：如图，连接，

绕点顺时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
在和中，

≌，
，
延长交于，
则，
，，
，
，
，
．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：设平移后的直线解析式为．
四边形为平行四边形，且点，，，
点．
平移后的直线与边有交点，
，
解得：．
故选D．
设平移后的直线解析式为根据平行四边形的性质结合点、、的坐标即可求出点的坐标，再由平移后的直线与边有交点，可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、平移的性质以及两条直线相交的问题，解题的关键是找出关于的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将线段端点坐标带入直线中得出关于的一元一次不等式组是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图象可知：，，
，
，
故正确；

抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，
，
，
当时，，
，
，
故错误；

，是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：，
当时，，
故正确；

由题意可知：，到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到轴的距离不小于时，
在轴下方的抛物线上存在点，使得，
即，
，
，
，
，
解得：，
故正确；

易知抛物线与轴的另外一个交点坐标为，

若方程，
即方程的两根为，，
则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标，
，
，
故错误；
故选：．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用，属于基础题．
将代入原式，合并即可得．
【解答】
解：当时，
原式

，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，，，
，
，即，
，
，
，即，
，
，
．
故答案为：．
由题意可得，即可求解．
本题考查了分式的加减法，找出数字的变化规律是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题知，反比例函数的图象经过点，
设点坐标为，
作于，过点作于，

四边形是平行四边形，，
，，四边形是矩形，
，即，
的图象经过点，
，
故答案为：．
设出点的坐标，根据点的坐标得出点的坐标，然后计算出值即可．
本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

由题意知，，，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
是等腰直角三角形，
是中点，
，
，，
如图，过作于，过作于，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
在线段上运动，
如图，延长，作点关于对称的点，过作于，连接交于，连接，
由题意知，，
，
，，三点共线时，值最小，
，
在中，由勾股定理得，，
的最小值为，
故答案为：．
如图，连接，，由题意知，，，，由，得，，证明≌，则，是等腰直角三角形，由是中点，则，，，如图，过作于，过作于，由，可知，，，四点共圆，由，可得，进而可得在线段上运动，如图，延长，作点关于对称的点，过作于，连接交于，连接，由题意知，，且，可知当，，三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，，计算求解的值即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形，对称的性质，等腰三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于确定点的运动轨迹．
 

17.【答案】解：



，
当时，原式．
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组的解集为，
该不等式组的非负整数解是，． 

【解析】先计算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可；
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出该不等式组的非负整数解即可．
本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：名，
王老师一共调查了名同学；
名，
类女生共有名，
类男生有名，
故答案为：，；
补全统计图如下：

画树状图如下：

由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果数有种，
所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为．
根据类总人数除以类的百分比即可得到总人数；
用总人数乘以类的百分比得到类人数，再减去类男生人数即可得到类女生人数，用总人数减去、、的人数得到的总人数，再减去类女生人数即可得到类男生人数，再根据所求数据补全条形统计图即可；
画出树状图，用一男一女的情况数除以总的情况数即可．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，树状图或列表法求概率等知识，读懂题意，正确求解是解题的关键．
 

19.【答案】解：设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种垃圾桶每组的单价为元，种垃圾桶每组的单价为元．
设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶组，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：最多可以购买种垃圾桶组． 

【解析】设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，利用数量总价单价，结合用元购买种垃圾桶的组数量是用元购买种垃圾桶的组数量的倍，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶组，利用总价单价数量，结合总价不超过元，列出一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.【答案】证明：连接，
，

在和中

和≌

是的切线．
连接，则，且
在中，，

在与中，




，

在与中，

∽
，
解得，
，
 

【解析】要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接，证明即可．
要求，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而既可放在直角三角形中，也可放在直角三角形中，所以利用相似三角形的性质求出或的长即可解决问题
本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：四边形是正方形，
理由如下：
将绕点按顺时针方向旋转，
，，，
又，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
；
理由如下：如图，过点作于，

，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，，
≌，
，
将绕点按顺时针方向旋转，
，
四边形是正方形，
，
，
；
． 

【解析】

【分析】
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
由旋转的性质可得，，，进而可证四边形是正方形；
过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得≌，可得，由旋转的性质可得，可得结论；
如图，过点作于，

四边形是正方形，
，
，，，
，
，
，
由可知：≌
，，
，
．  

22.【答案】解：当时，，则抛物线和轴的交点坐标为：、，
则抛物线的表达式为：，
即，则，
则抛物线的表达式为：；

如图，分别过点、作轴的平行线分别交、于点、，

由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，即，
轴，
∽，
，
则，
设点的坐标为：，点，
则，
解得：或，
即点的坐标为：或；
如图，
点靠近抛物线对称轴，则点，
在中，，，
则，则，
过点作于点，则，
故当、、共线时，最小，
则；

设点，
由、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，；
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
则为定值． 

【解析】由待定系数法即可求解；
证明∽，则，得到，进而求解；
证明当、、共线时，最小，即可求解；
求出直线的表达式为：，得到的长度；同理可得的长度，即可求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，数形结合以及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．