2022年全国初三物理自主招生专项刷题集专题10 杠杆

这是一份2022年全国初三物理自主招生专项刷题集专题10 杠杆，文件包含杠杆教师版docx、杠杆学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

杠杆 解析版
一．选择题（共10小题）
1．（2020•市北区校级自主招生）如图所示，轻质杠杆OA可绕O点转动，通过定滑轮用力拉动杠杆缓慢转动，在图示位置时，杠杆的动力臂力L作图正确的是（　　）

A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题知，杠杆的支点在O处，绳的拉力沿绳方向画，从支点向力的作用线引垂线，如图所示：

故选：C。
2．（2020•市南区校级自主招生）如图所示，轻绳的一端系有质量为2kg的物体C，另一端系在质量为1kg的均匀木棒AO的A端；木棒AO可绕O端无摩擦转动，在水平拉力F的作用下木棒AO与水平墙面的夹角由30°缓慢增加到60°（g＝10N/kg），则（　　）

A．拉力F的大小一直不变
B．棒与墙面成45°时拉力F＝25N
C．棒与墙面成30°时拉力F＝N
D．棒与墙面成60°时拉力F＝
【解答】解：GC＝2kg×10N/kg＝20N；G木＝1kg×10N/kg＝10N；
设木棒AB的长度为l，当棒与水平墙面成30°时，力与力臂的关系如图所示：

根据直角三角形的边角关系可知，L＝l，LG＝l，L木＝l；
其中F为动力，GC、G木均为阻力，
根据杠杆平衡的条件可得FL＝GCLG+G木L木，
即F×l＝20N×l+10N×l，化简可得：F＝N，故D错误；
同理，当棒与水平墙面成45°时，L＝l，LG＝l，L木＝l；
根据杠杆平衡的条件可得，F×l＝20N×l+10N×l，化简可得：F＝25N，故B正确；故A错误；
同理，当棒与水平墙面成30°时，L＝l，LG＝l，L木＝l；
根据杠杆平衡的条件可得，F×l＝20N×l+10N×l，化简可得：F＝25N，故C错误。
故选：B。
3．（2018•柯桥区校级自主招生）一个600N重的成年人和一个小孩都要过一道5m宽的水渠。成人从左岸到右岸，而小孩从水渠右岸到左岸，两岸各有一块4m长的坚实木板，他们想出右图所示的方式过渠。请分析在忽略木板自身重量和木板叠交距离的情况下，要使成年人和小孩都能平安过渠，小孩的体重不能轻于多少牛？（　　）

A．100N B．200N C．300N D．400N
【解答】解：（1）因成年人较重，所以只要成年人能安全过水渠，则小孩也能安全过水渠；
小孩站在B′处让成年人先从木板上过水渠，当成年人到达水渠对岸后，站在B′处，然后再让小孩过水渠如图所示：
；
（2）把木板A′B′视为杠杆，O为支点，成年人对A′B′的压力视为阻力F2，小孩对木板的压力视为动力F1，
当成年人在A′时，阻力（成年人对A′B′的压力）最大，为F2＝G成年人＝600N，
由题意和图示可知：OA′＝1m，OB′＝3m，
由杠杆平衡条件可得：F1×OB′＝F2×A′O，
则F1＝＝＝200N，
即小孩的体重不能轻于200N；
故选：B。
4．（2018•衡阳县自主招生）如图所示，某轻质杆AOB可绕O点在竖直平面内转动，且OA与OB的夹角始终保持不变，A端通过细绳系一质量为0.3kg的秤盘，B端固定一平衡球。当秤盘中不放物品时，OA杆恰好成水平，OB杆与竖直方向夹角为α（α＝30°）；当秤盘中放入一物体时，OB与竖直方向的夹角增大了60°，那么该物体的质量为：（　　）

A．0.3 kg B．0.6kg C．0.9 kg D．1.2 kg
【解答】解：
当秤盘中不放重物时，OA水平，OB与竖直方向成30°夹角，
根据杠杆的平衡条件可得出两侧的力矩平衡，可表示为：
m盘×g×OA＝mB×g×sin30°×OB﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
当盘中放入重物后，OB旋转了60°，则OB′水平，OA′与竖直方向的夹角变为30°，
同样根据杠杆的平衡条件，两侧的力矩平衡，可得：
（m盘+m物）×g×sin30°×OA＝mB×g×OB﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
②÷①并代入数据解得m物＝0.9kg。
故选：C。
5．（2018•西湖区校级自主招生）用一根长为L、重为G0的均匀铁棒，插入一个边长为a、重为G的正方体物块的底部，在另一端施加一个向上的力，将物块撬起一个很小的角度（如图所示，图中的角度已被放大）。如果铁棒插入物块底部的长度为物块边长的三分之一，则要撬动物块，作用在铁棒最右端的力至少为（　　）

A．G0+（） B．G0+（）
C．（）+（） D．（）+（）
【解答】解：如图所示：

在撬起物块时，物块为以左端点为支点发生转动，所以物块可视为一根杠杆，
由图1可知，动力臂为阻力臂的2倍，由杠杆平衡条件可知，支持力是物重的，即F支＝G，
力的作用是相互的，则物块对铁棒的压力：F压＝F支＝G；则对铁棒来说，物体提供的阻力为；
在阻力与阻力臂一定的情况下，由杠杆平衡条件可知：
动力臂越大，动力越小，如图2所示，当力F垂直于铁棒时，
力F的力臂是铁棒的长度L，F的力臂最大，力F最小；
铁棒重力的作用点是铁棒的重心，在铁棒的中点处，
即铁棒重力G0的力臂L2＝，物体提供的阻力为，力臂L1＝；
由杠杆平衡条件可得：×+G0×＝F×L；
则F＝+；
故选：C。
6．（2018•岳麓区自主招生）如图所示，均匀杆AB长为L，可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方距离L处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起。已知杆水平时，细绳的拉力为T1，杆与水平面夹角为30°时，细绳的拉力为T2，则T1：T2是（　　）

A．：1 B．2：1 C．1： D．1：1
【解答】解：（1）杆在水平位置时，如图，△AOB和△ABE都为等腰直角三角形，则AE＝BE
∵BE2+AE2＝AB2
∴AE＝L，
由杠杆平衡可得：
T1×AE＝G×AC，
T1＝＝＝G。
（2）把吊桥拉起到与水平面的夹角为30°时，如图，
△ABO为等边三角形，AB＝L，BE′＝L，
∵BE′2+AE′2＝AB2
∴AE′＝L，
在△ACC′中，∠CAC′＝30°，CC′＝AC＝L，
∵AC′2+CC′2＝AC2，
∴AC′＝L，
根据杠杆平衡的条件可得
T2×AE′＝G×AC′，
T2＝＝＝G；
∴T1：T2＝G：G＝：1。
故选：A。


7．（2017•下陆区校级自主招生）如图是一副称量准确的杆秤示意图，秤砣质量为1kg，秤杆和秤盘总质量为O.5kg，定盘星B到提纽O的距离OB为2cm，秤盘到提纽O的距离OA为10cm。若有人换了一个质量为0.8kg的秤砣，实际质量3kg的物品，让顾客误以为得到物品的质量是多少（　　）

A．3.8kg B．3.6kg C．3.96kg D．3.75kg
【解答】解：设秤杆和秤盘的重心为D，当杠杆平衡时秤砣放在B点，
因为G秤×OD＝G砣×OB，即：m秤g×OD＝m砣g×OB，
0.5kg×OD＝1kg×2cm，
所以OD＝4cm，
使用1kg秤砣（正常情况下），设秤砣到O点的距离L，
因为m物g×OA+m秤g×OD＝m砣g×L 即：3kg×g×10cm+0.5kg×g×4cm＝1kg×g×L，
解得：L＝32cm，
即OC＝L＝32cm；
秤杆上标定的质量值与标定的质量值位置到定盘星B点的距离的关系是＝＝0.1kg/cm；
当使用0.8kg秤砣时，秤量3kg的质量时，秤砣到O点的距离设为OE，
因为m物g×OA+m秤g×OD＝m砣′g×OE，
即：3kg×g×10cm+0.5kg×g×4cm＝0.8kg×g×OE，
解得：OE＝40cm；
此时E位置标定的质量值m＝0.1kg/cm×（OE﹣OB）＝0.1kg/cm×（40cm﹣2cm）＝3.8kg。
则实际3千克的物品会让顾客误以为质量为3.8kg，故A正确，BCD错误。
故选：A。
8．（2017•武侯区校级自主招生）如图所示，一块长3cm、宽4cm的质量不计的矩形薄板ABCD可绕过A点的固定轴在纸面内无摩擦地自由转动，现过B点沿CB方向对板施加T＝9N的拉力作用，为使板保持静止，需要在板上的某一处施加另一个在纸面内的拉力F（未画出），其大小由F的作用位置和方向决定，在所有可能情况中，F的最小值为（　　）

A．4.5N B．7.5N C．7.2N D．9.0N
【解答】解：
由题知，A为支点；过B点沿CB方向对板施加T＝9N的拉力，则拉力T的力臂为AB＝4cm＝0.04m，
由图知，当另一拉力F作用在C点，且其力臂为AC时，F的力臂最大，

由杠杆平衡条件可知，拉力F的值最小，
由勾股定理可得：AC＝＝＝0.05m，
由杠杆平衡条件可得：T×AB＝F×AC，
即：9N×0.04m＝F×0.05m。
解得F＝7.2N。
故选：C。
9．（2017•宁波自主招生）如图所示，直径为36cm的半球形碗固定在水平面上，碗的端口水平。一根密度分布均匀、长度为47cm的光滑杆ABC搁置在半球碗上，碗的厚度不计，杆平衡时碗内部分AB段与碗外部分BC段的长度之比为（　　）

A．38：9 B．35：12 C．32：15 D．27：20
【解答】解：如图：光滑杆ABC的重心在D点，O为半球形碗的球心，杆受三个力：重力G、A点的支持力F2和B点的支持力F1，以B为支点，则根据杠杆的平衡条件得：G×BDcosθ＝F2×ABsinθ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
沿杆AC的方向上受力的合力为零，
即G×sinθ＝F2×cosθ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
由得：BDcotθ＝ABtanθ，
∴BD＝AB×tan2θ＝AB×（）2，
即BD×AB＝AE2，
∵在△ABE中，BE2＝AB2+AE2，且BD＝AB﹣AC，
∴（AB﹣AC）×AB＝BE2﹣AB2，
代入数据得：（AB﹣×47）×AB＝362﹣AB2，
即：4×AB2﹣47×AB﹣2592＝0，
解得：AB＝32cm，AB＝﹣20.25cm（舍去）
∴AB：BC＝32cm：（47cm﹣32cm）＝32：15。
故选：C。
10．（2017•黄州区校级自主招生）如图所示，七块完全相同的砖块按照图示的方式叠放起来，每块砖的长度均为L，为保证砖块不倒下，6号砖块与7号砖块之间的距离S将不超过（　　）

A．L B．2L C．L D．L
【解答】解：由于1号砖处于平衡状态，则1号砖对2号砖的压力应为；
当1号砖放在2号砖的边缘上时，6号砖块与7号砖块之间的距离最大；
2号砖处于杠杆平衡状态，设2号砖露出的长度为x，则2号砖下方的支点距重心在（﹣x）处；
由杠杆的平衡条件可知：G（﹣x）＝x，
解得：x＝；
设4号砖露出的部分为x1，则4号砖下方的支点距重心在（﹣x1）处；4号砖受到的压力为G+；
则由杠杆的平衡条件可知：G（﹣x1）＝（G+）x1，
解得x1＝；
则6号砖块与7号砖块之间的最大距离应为：
L+2（x+x1）＝L+2（+）＝L。
故选：A。

二．填空题（共5小题）
11．（2021•黄州区校级自主招生）如图所示，粗细相同密度均匀的细棒做成“L”形，其中AC与CB垂直，AC长L，CB长L/2，整根细棒的重力是G，并放在固定的圆筒内，圆筒内侧面和底面均光滑，圆筒横截面的直径为L．平衡时细棒正好处于经过圆简直径的竖直平面内。此时细棒对圆筒底面的压力大小为　G　；细棒B端对圆筒侧面的压力为　　。

【解答】解：（1）如图分析：“L”形细棒处于静止状态，根据物体受力平衡条件得：
物体在水平方向和竖直方向上和合力为零，
则：N＝+＝G，
N1＝N2，
（2）以C点为杠杆ACB的支点，则根据杠杆平衡条件得：
+＝N1Lcosα+，
∴6N1sinα+4Gsinα＝12N2cosα+Gcosα，
又∵N1＝N2，
∴N1（6sinα﹣12cosα）＝（cosα﹣4sinα）G，
∴N1＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
因圆筒横截面的直径为L，由几何关系得：
L＝Lsinα+Lcosα，
∴2sinα+cosα﹣2＝0，
又知：sin2α+cos2α＝1，
解得：sinα＝，cosα＝，
代入①式得：
N1＝＝。
故答案为：G；。

12．（2020•宁波自主招生）把一长为2米的均质平板的中点支在水平面上一个不高的支点上，在平板上站有两个小孩（如图），已知m甲＝30千克，位于板的中点，m乙＝20千克，位于板的左端，现两小孩以0.1米/秒的速度沿板同时向右慢慢移动，经　4　秒平板开始转动。

【解答】解：
由题平板相当于一个杠杆，杠杆不转动时平板与地面夹角一定，设夹角为θ，甲小孩走时间t后当杠杆恰好转动时，
此时甲、乙走过和距离为s＝vt＝0.1m/s×t，
乙小孩的力臂l乙＝cosθ×（×2m﹣0.1m/s×t）＝cosθ×（1m﹣0.1m/s×t），甲小孩的力臂l乙＝cosθ×0.1m/s×t，
根据杠杆的平衡条件：
m乙gl乙＝m甲gl甲，
即：20kg×cosθ×（1m﹣0.1m/s×t）＝30kg×cosθ×0.1m/s×t，
解得：t＝4s。
故答案为：4。
13．（2019•涪城区校级自主招生）如图所示是锅炉保险阀门的示意图。当阀门受到的蒸汽压力超过其安全值时，阀门就会被拉开。如OB＝2m，OA＝0.5m，阀门的底面积S＝2cm2，锅炉内气体压强的安全值p＝6×105Pa，则B所挂的重物G是 　25　N（杠杆的重力，摩擦均不计）。

【解答】解：由p＝得，气体产生的向上的力：
F1＝p1S＝6×105Pa×2×10﹣4m2＝120N，
大气产生的向下的压力为：F2＝p2S＝1×105Pa×2×10﹣4m2＝20N，
则阀门受到的向上的力为：F＝F1﹣F2＝120N﹣20N＝100N；
根据杠杆的平衡条件可知，F•OA＝G•OB，
所以物体的重力：G＝＝＝25N。
故答案为：25。
14．（2017•涪城区自主招生）如图所示，一长为3m的粗细不均匀的水泥电线杆，用竖直向上的力F1＝1200 N可将A端抬起（B端仍在地面上），用竖直向上的力F2＝600 N可将B端抬起。则该水泥杆重G＝　1800　N，重心与A端距离x＝　1　m。

【解答】解：如图所示，

电线杆的长L＝3m，设电线杆的重心与A端的距离为x，
结合图示可知，重心到细端的距离为L1＝3m﹣x，离粗端的距离为L2＝x，
将A端抬起（图1），由杠杆平衡的条件可得：F1L＝GL1，
代入数据得：1200N×3m＝G×（3m﹣x）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
将B端抬起（图2），由杠杆平衡的条件可得：F2L＝GL2，
代入数据得：600N×3m＝Gx﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
联立①②解得：G＝1800N，x＝1m。
故答案为：1800；1。
15．（2016•鹿城区校级自主招生）如图（1）所示，均匀长方体木块长b＝18cm，高h＝16cm，宽L＝10cm，被两个力传感器支撑起来，两传感器间距为a＝10cm且到木块两边的距离相等，传感器能够将支撑点的受力情况通过数据采集器在计算机屏幕上反映出来。现用一弹簧测力计水平拉木块，拉力作用在木块的中点且缓慢均匀增大，木块则始终保持静止状态，计算机屏上出现如图（2）所示的图线。问：
图（2）上的直线A反映的是传感器上的受力情况　右边　（“左边”或“右边”），弹簧测力计的最大拉力是　3.5　N。

【解答】解：
以右边传感器为支点，木块保持静止，木块受到拉力F顺时针力矩、左边传感器支持力顺时针力矩，及重力逆时针力矩，根据力矩平衡条件得知，顺时针力矩之和等于逆时针力矩之和，拉力增大，拉力的力矩增大，而重力的力矩不变，则知左边传感器支持力力矩减小，其力臂不变，则左边传感器支持力，根据竖直方向的力平衡得知，右边传感器的支持力增大，所以直线A反映的是右边传感器上的受力情况。
由图读出，0﹣5s内，两个传感器读数相等，则知木块的重力G＝2×2.8N＝5.6N；
t＝15s，A传感器读数为5.6N．B传感器的读数为0，以右边传感器为支点，根据力矩平衡条件列式：
F＝G；
解得：F＝3.5N。
故答案为：右边；3.5。
三．作图题（共2小题）
16．（2019•安徽自主招生）如图所示，杠杆OA在力F1、F2的作用下处于静止状态，L2是力F2的力臂，请在图中作出F1的力臂L1和力F2。

【解答】解：做力Fl的延长线，过支点O做力F1作用线的垂线段L1，则线段L1为力F1的力臂；过力臂L2末端，作垂直于L2直线，与杠杆OA的交点为力F2作用点，方向斜向右上方，如图所示：

17．（2020•市北区校级自主招生）如图所示，使用羊角锤拔钉子，请在图中画出最省力时的动力臂和用力方向。

【解答】解：
根据杠杆的平衡条件可知，动力臂越长越省力；由图知，最长的动力臂L为支点O与手柄最上面端点之间的距离；要用羊角锤拔出钉子，则动力的方向应垂直于动力臂向上，据此作出最小动力F的示意图，如图所示：

四．实验探究题（共1小题）
18．（2019•江西自主招生）在探究杠杆平衡条件的实验中，
（1）实验前杠杆静止时如图甲所示，杠杆处于　平衡　状态（选填“平衡”或“不平衡”）。
若要将其调整到水平位置平衡，应将杠杆左端的平衡螺母向　左　（选填“左”或“右”）调。
（2）调节杠杆水平平衡后，小妤在图乙所示的A位置挂上3个钩码，为了使杠杆在水平位置平衡，这时应在B位置挂上　4　个相同钩码。当杠杆平衡后，将A、B两点下方所挂的钩码同时朝远离支点方向移动一小格，则杠杆　不能　（选填“能”或“不能”）在水平位置保持平衡。
实验
次数
F1（N）
L1（cm）
F2（N）
L2（cm）
1
2
5
①
10
2
3
10
2
15
3
2
30
3
②
（3）上表是小妤同学在实验中记录杠杆水平平衡时的部分数据：表中空格处所缺的数据是：①　1　，②　20　；
（4）分析上表中的实验数据可以得出的结论是　F1L1＝F2L2（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）。　。

【解答】解：（1）杠杆静止在如图甲所示位置，杠杆静止，此时杠杆处于平衡状态；
为了便于测量力臂，应使杠杆在水平位置平衡，由图知，左端偏高，为使杠杆在水平位置平衡，需要将平衡螺母向左调节；
（2）设杠杆每个格的长度为L，每个钩码的重力为G，根据杠杆的平衡条件：FALA＝FBLB，即3G×4L＝FB×3L，解得FB＝4G，需挂4个钩码；
若A、B两点的钩码同时向远离支点的方向移动一个格，则左侧3G×5L＝15GL，右侧4G×4L＝16GL，因为15GL＜16GL 杠杆不能平衡；
（3）根据杠杆平衡条件F1l1＝F2l2可得：
2N×5cm＝F2×10cm，解得F2＝1N；
2N×30cm＝3N×L2，解得L2＝20cm；
（4）分析实验数据，得出杠杆的平衡条件是F1L1＝F2L2（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）。
故答案为：
（1）平衡；左；（2）4；不能；（3）1；20；（4）F1L1＝F2L2（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）。
五．计算题（共3小题）
19．（2020•市北区校级自主招生）如图为一个简易雨量测试仪，质量均匀的直杆AB外均匀包裹着海绵，直杆与干海绵的总质量为1.5kg，且可绕垂直纸面的转轴O转动，OA：OB＝7：3，杆右端B点连接一个质量不计的滑轮，绕在滑轮上的细绳一端固定在地面上，另一端系在质量为1kg的重物C上。晴天时，直杆AB呈水平状态，重物静止在地面上。g取10N/kg，求：
（1）晴天时，重物C对地面的压力是多大
（2）雨天时，海绵均匀吸收雨水，吸收多少质量的雨水，直杆开始绕O点旋转

【解答】解：（1）设直杆长为10L0，直杆与干海绵重心在其几何中心，距B端长为5L0，O为支点，故直杆与干海绵重力的力臂（阻力力臂）为：
L2＝5L0﹣3L0＝2L0，阻力G＝mg＝1.5kg×10N/kg＝15N，
动力臂L1＝3L0，
根据杠杆的平衡条件：
G×2L0＝FB×3L0，
FB＝×G＝×15N＝10N；
由力的作用是相互的，杆对绳子的拉力为10N，即绳子对滑轮向上的拉力为10N，因有两段绳子分担10N的拉力，由力的平衡，故与C相连的绳子对C竖直向下的拉力大小为：T＝＝5N，由力的相互性，绳子对C竖直向上的拉力大小为：T′＝5N，故重物C对地面的压力：
F压＝GC﹣T′＝mCg﹣T＝1kg×10N/kg＝10N﹣5N＝5N；
（2）设吸收质量为m′的雨水，直杆开始绕O点旋转，
则阻力F2′＝（m′+1.5kg）g，
动力为：FB′＝2GC＝2×1kg×10N/kg＝20N，
根据杠杆的平衡条件：
F2′×2L0＝FB′×3L0，
即（m′+1.5kg）g×2L0＝20N×3L0，
吸收雨水的质量：m′＝1.5kg时直杆开始绕O点旋转。
答：（1）晴天时，重物C对地面的压力是5N；
（2）雨天时，海绵均匀吸收雨水，吸收1.5kg的雨水，直杆开始绕O点旋转。
20．（2020•市南区校级自主招生）如图所示是一种水闸，闸门的底部与铰轴O相连，厚度不计的闸门高为H、宽为a。AB为一根不计质量的杆，A端通过铰链与闸门相连，B端通过铰链与地面相连，杆AB与地面成60°角，A端距离地面高h。已知水的密度为ρ，闸门右侧水位高为h，水对闸门的压力作用点等效在距离O点h高度处，试求杆AB对闸门的作用力。

【解答】解：由题意可知，闸门右侧水位高为h，则水对闸门产生压强的深度可以看做，
闸门受到水的平均压强为p＝ρg，
闸门受到水压强的受力面积S＝ah，
由p＝可得，闸门受到水的压力F＝pS＝ρg×ah＝ρgah2，
设杆对闸门的作用力为F杆，将闸门看做以O为支点的杠杆，如下图所示：

图中，闸门受到水的压力的力臂LF＝，
在直角三角形AOC中，∠AOC＝60°，杆对闸门作用力的力臂L杆＝AOcosθ＝hcos60°＝h，
由杠杆的平衡条件可得：F杆×L杆＝F×LF，即F杆×h＝ρgah2×，
则杆AB对闸门的作用力F杆＝ρgah2。
答：杆AB对闸门的作用力为ρgah2。
21．（2019•鸠江区校级自主招生）有人设计了一种新型伸缩拉杆秤。结构如图，秤杆的一端固定一配重物并悬一挂钩，秤杆外面套有内外两个套筒，套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在的位置（设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置）。秤杆与内层套筒上刻有质量刻度。空载（挂钩上不挂物体，且套筒未拉出）时，用手提起秤纽，杆秤恰好平衡。当物体挂在挂钩上时，往外移动内外套筒可使杆秤平衡，从内外套筒左端的位置可以读得两个读数，将这两个读数相加，即可得到待测物体的质量。已知秤杆和两个套筒的长度均为L＝16cm，套筒可移出的最大距离为L1＝14cm，秤纽到挂钩的距离为d＝2cm，两个套筒的质量均为m＝0.1kg。取重力加速度g＝10N/kg。求：

（1）当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩M。
（2）该秤的量程m0。
（3）秤杆与内层套筒上的质量刻度是否均匀，如果均匀，1cm的长度分别表示多少质量。
（4）若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为1kg处杆秤恰好平衡，则该物体实际质量m1多大。
【解答】解析：
（1）套筒不拉出时杆恰平衡，两套筒相对秤纽的力矩与所求力矩相等，
则M＝2 mg（﹣d）＝2×0.1kg×10N/kg×（﹣2×10﹣2m）＝0.12 N•m；
（2）根据力矩平衡可得：m0gd＝mgL1+mg×2L1，
即：m0×10N/kg×2×10﹣2m＝0.1kg×10N/kg×14×10﹣2m+0.1kg×10N/kg×2×14×10﹣2m，
解出m0＝2.1kg；
（3）设内套筒向右移动长度x1，外套筒相对内套筒向右移动长度x2，
力矩平衡mxgd＝mgx1+mg（x1+x2），
①若只移动内套筒，则x2＝0，
mxgd＝2mgx1，
mx＝＝＝，故秤杆刻度均匀，1cm长度表示0.1kg，
②若只移动外套筒，则x1＝0，
mxgd＝mgx2，mx＝＝＝，
故内层套筒刻度均匀，1cm长度表示0.05kg；
（4）由（3）问可知，内层套筒的左端在读数为1kg处对应刻度x′＝0.1m，
外筒丢失后，内套筒离左端秤纽距离x′﹣d＝0.1m﹣2×10﹣2m＝0.08m，
则m1gd+M＝mg（x′﹣d+），
解出m1＝0.2 kg。
答：（1）当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩M为0.12N•m。
（2）该秤的量程m0为2.1 kg。
（3）秤杆与内层套筒上的质量刻度是否均匀，如果均匀，1cm的长度分别表示0.1kg和0.05kg。
（4）若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为1kg处杆秤恰好平衡，则该物体实际质量m1为0.2 kg。
六．解答题（共3小题）
22．（2018•柯桥区校级自主招生）如图所示，质量m＝2.0kg的小铁块静止于水平导轨AB的A端，导轨及支架ABCD总质量M＝4.0kg，形状及尺寸已在图中注明，该支架只可以绕着过D点的转动轴在图示竖直平面内转动。为简便起见，可将导轨及支架ABCD所受的重力看作集中作用于图中的O点。现用一沿导轨的拉力F通过细线拉铁块，假定铁块启动后立即以0.1m/s的速度匀速运动，此时拉力F＝10N。
（1）铁块运动时所受摩擦力多大？
（2）铁块对导轨的摩擦力的力臂多大？
（3）从铁块运动时起，导轨（及支架）能保持静止的最长时间是多少？（g＝10N/kg）

【解答】解：（1）铁块启动后匀速运动，此时拉力就等于铁块运动时所受摩擦力，
用f表示铁块所受摩擦力，f＝F＝10N。
（2）铁块对导轨的摩擦力作用线沿着导轨AB，所求力臂即为D到AB的距离。用L表示该力臂，L＝0.8m。
（3）支架的重力与其力臂的乘积G支架×L支架＝4.0kg×10N/kg×0.10m＝4N•m，
因力的作用是相互的，则导轨受到摩擦力的大小f′＝f＝10N，方向水平向右，导轨所受摩擦力与其力臂的乘积f′×Lf′＝10N×0.8m＝8N•m，
因f′×Lf′＞G支架×L支架，则支架有顺时针转动的趋势，要支架保持平衡，铁块对导轨的压力应让导轨有逆时针转动的趋势，所以铁块一定在支点左侧，
设当铁块运动到E点时，支架刚好开始转动，此时过E点的竖直线在D点左侧，距D点为x，
根据杠杆平衡条件可得：f′×Lf′＝G支架×L支架+G铁x，
则8N•m＝4N•m+2.0kg×10N/kg•x，
解得x＝0.2m，则s＝5s；
答：（1）铁块运动时所受摩擦力为10N；
（2）铁块对导轨的摩擦力的力臂为0.8m；
（3）从铁块运动时起，导轨（及支架）能保持静止的最长时间是5s。
23．（2019•永春县自主招生）如图所示，画出使杠杆平衡最小力的示意图，要求保留作图痕迹。

【解答】解：根据此杠杆的形状可知，从左端点O（支点）到此杠杆的最右端距离最大，这是最长的动力臂；根据杠杆的平衡条件，动力臂越长越省力，所以最小力作用在杠杆的最右端，动力的方向垂直于该力臂向上。如图所示：

24．（2014•温州校级自主招生）如图所示，一重为G＝100N的均匀厚长钢板借助于一圆柱形铁桶将其一端向上抬起，圆柱形铁桶半径为R＝0.5m，厚长钢板AO的O端用铰链固定于地面，AO长为5R，各处摩擦均不计，现用通过圆柱形桶圆心的水平向左的推力F使圆柱体水平向左缓慢移动。
（1）当厚钢板与地面夹角θ＝30°时，厚钢板受圆柱形桶的支持力N为多少？
（2）当圆柱形桶使厚钢板与地面的夹角θ从30°变为60°的过程中，推力F做的功W为多少？（已知sin30°＝cos60°＝0.5；sin60°＝cos30°＝0.866；tan15°＝0.268）

【解答】解：（1）厚钢板的重力、圆柱形桶对厚钢板的支持力和力臂的示意图如下：

当厚钢板与地面夹角θ＝30°时，则重力的力臂LG＝OAcosθ＝×5R×cos30°＝×5R×0.866＝×5×0.5m×0.866＝1.0825m，
支持力力臂LN＝＝≈1.866m，
根据杠杆平衡条件得：NLN＝GLG，
所以，N＝＝≈58N。
（2）当圆柱形桶使厚钢板与地面的夹角为30°时，由上图可知：钢板的重心高度h1＝OAsinθ＝×5R×sin30°＝×5R×＝×5×0.5m×＝0.625m，
当圆柱形桶使厚钢板与地面的夹角为60°时，由上图可知：钢板的重心高度h2＝OAsinθ＝×5R×sin60°＝×5R×0.866＝×5×0.5m×0.866＝1.0825m，
所以，△h＝h2﹣h1＝1.0825m﹣0.625m＝0.4575m，
F做的功W＝Fs＝Gh＝100N×0.4575m＝45.75J。
答：（1）当厚钢板与地面夹角θ＝30°时，厚钢板受圆柱形桶的支持力N为58N。
（2）当圆柱形桶使厚钢板与地面的夹角θ从30°变为60°的过程中，推力F做的功W为45.75J。
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，