第十七章勾股定理【知识梳理】——2022-2023学年人教版数学八年级下册单元综合复习

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【学习目标】1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.4. 掌握两点间的距离公式，并能应用.
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
在直角三角形中才可以运用
2.勾股定理的应用条件
3.勾股定理表达式的常见变形： a2＝c2－b2, b2＝c2－a2，
【本章主要知识梳理与讲解】
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
满足a 2 +b 2=c 2 的三个正整数，称为勾股数.
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
题型一 与直角三角形的有关计算和证明
例1．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在BC上，且CD＝2BD，∠ADC＝60°，CE⊥AD，垂足为E，连接BE.(1)求证：EB＝EC；(2)求∠ACB的度数．
(1)证明：∵CE⊥AD，∠ADC＝60°，∴∠DCE＝30°，∴CD＝2DE，∵CD＝2BD，∴DE＝BD，∴∠EBD＝∠BED＝30°＝∠DCE，∴EB＝EC；
(2)解：∵∠ABE＝45°－30°＝15°，∴∠BAE＝∠BED－∠ABE＝30°－15°＝15°，∴EB＝EA，又∵EB＝EC，∴EA＝EC，∴∠ACE＝45°，∴∠ACD＝30°＋45°＝75°.
题型二 与直角三角形有关的多解题
例2．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______________．
1．已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1 800平方米，则斜边长为(　　)A．80米　　 B．30米　　 C．90米　　 D．120米
2．以下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是(　　)A．4 cm,8 cm,7 cm　 B．2 cm,2 cm,2 cmC．2 cm,2 cm,4 cm D．13 cm,12 cm,5 cm
3．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是(　　)A．25　 B．14 C．7　 D．7或25
4．小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则AB＝ 米．
5．直角三角形两直角边的长分别为6 cm和8 cm，则斜边上的高长为 .6．已知一个三角形三边满足(a＋b)2－c2＝2ab，则这个三角形是 三角形．
7．在△ABC中，若AC2＋AB2＝BC2，则∠B＋∠C＝ °.
8．如图，等腰△ABC的底边BC的长为16，底边上的高AD的长为6，则腰AB的长为 .
9．我方侦察员小王在距离公路400 m的A处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，敌方汽车从C处行驶10 s后到达B处，测得AB＝500 m，若AC⊥BC，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
10．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路程．
11．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，且AG平分∠BAF.(1)证明：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．
(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠C＝90°.因为将△ADE沿AE对折至△AFE，所以AD＝AF，DE＝FE，∠D＝∠AFE＝90°.所以AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.又因为AG平分∠BAF，所以∠BAG＝∠FAG.所以△ABG≌△AFG(ASA)．
(2)解：因为△ABG≌△AFG，所以BG＝FG.设BG＝FG＝x，则GC＝6－x.因为E为CD的中点，所以CE＝EF＝DE＝3.所以EG＝3＋x.所以在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.所以BG＝2.　　
1.(2021·滨州)在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为( )A．3 B．4 C．5 D．2.4
5．(2021·江西月考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以B为圆心，BC为半径画弧，交线段AB于点D，以A为圆心，AD为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD.(1)若∠A＝25°，求∠ACD的度数；(2)若BC＝2.5，CE＝2，求AD的长．
5．(2021·江西月考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以B为圆心，BC为半径画弧，交线段AB于点D，以A为圆心，AD为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD.(1)若∠A＝25°，求∠ACD的度数；
5．(2021·江西月考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以B为圆心，BC为半径画弧，交线段AB于点D，以A为圆心，AD为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD.(2)若BC＝2.5，CE＝2，求AD的长．
解： (2)∵∠ACB＝90°，BC＝2.5，CE＝2，∴BD＝BC＝2.5，AC＝AD＋2，∴AB＝AD＋2.5，由勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2，即(AD＋2.5)2＝(AD＋2)2＋2.52，解得：AD＝4.
1．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )A．10 B．8 C．6或10 D．8或102．已知直角三角形的两条边长为3和4，则第三边的长为_________________．
失分点专练：用勾股定理时未讨论而漏解