数学（北师大版A卷）——2022-2023学年数学七年级下册期中综合素质测评卷（含解析）

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 2022-2023学年下学期期中考前必刷卷
七年级数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1章、第2章、第3章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】幂的基本运算
【答案】
【详解】解：．A选项考查积的乘方，，正确；
B选项考察同底数幂的除法，，错误；
C选项考察同底数幂的乘法，，错误；
D选项考察幂的加法与幂的乘法，不是同底数幂的乘法运算，错误；
故本题选：A．
2．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，若∠2＝40°，则∠1等于（　　）

A．130° B．135° C．140° D．145°
【考点】平行线的性质
【答案】C
【详解】解：C，考察了平行线的性质和对顶角的概念.看下图，∠2与∠3是同位角，两直线平行，同位角相等，所以∠3=∠2，∠3+∠1=180°等价于∠1+∠2=180°，所以∠1=140°， 故本题选：C．
3

3.科学家发现一种病毒的直径约为0.000000025m，用科学记数法可表示为（　　）
A．0.25×10-10m B．2.5×10﹣9m C．25×10﹣8m D．2.5×10﹣8m
【考点】科学计数法
【答案】B
【详解】解：B. 本题考察了负整数指数幂的应用——科学计数法表示绝对值较小的数，0.000000025的第一个非0数2的前面有9个0，所以0.000000025=2.5×10﹣9 ；故本题选：B．
4．某大剧场地面的一部分为扇形，观众席的座位数（y）与排数（x）之间的关系如下面图象所示：

下列结论：①排数x是自变量；②座位数y是自变量；③y＝47＋3x；④y＝44＋3x，其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】用图像表示变量间的关系
【答案】C
【详解】解：C，座位数随着排数的增加而增加，一般表格第一行是自变量、第二行为因变量，（59-44）÷5=3，y＝44＋3x，所以①②④正确，故本题选：C．
5．下面关于平行线的结论中，不正确的是　　
A．同一平面内不相交的两条直线平行
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．过平面上一点有且仅有一条直线与这条直线平行
D．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
【考点】平行公理
【答案】C
【详解】解：C，平行线的公理1是：过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行，如果点选在这条直线上，没有平行直线的说法，故本题选：C．
6．将一个三角板ABC如下图放置，已知∠ACB=90°，∠DAC=40°，求∠BCE的度数是　　

A．40° B．60° C．45° D．50°
【考点】余角的定义
【答案】
【详解】解：A，∠ACB=90°，∠DAC与∠ACD互余，∠ACD 与∠BCE互余，所以∠DAC=∠BCE，故本题选：A．
7．如图，通过计算大正方形的面积，可以验证的公式是（　　）

A．(a+2b)2=a2+4b2 B．(a+b+b)2=a2+b2+b2+ b2+b2+2ab+3ba
C．(a+2b)2=a2+b2+b2+2ab+2ba D．(a+b+b)2=a2+4b2+4ab
【考点】完全平方公式的几何意义
【答案】D
【详解】解：D，直接求大正方形面积列式为：(a+2b)2或(a+b+b)2,分开求大正方形面积列式为：a2+4b2+4ab，所以(a+2b)2=a2+4b2+4ab， 故本题选：D．
8．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据：
支撑物的高度h（cm）
10
20
30
40
50
60
70
80
小车下滑的时间t（s）
5.23
3.50
2.45
2.03
1.79
1.61
1.50
1.44
下列说法错误的是（　　）
A．当h＝60cm时，t＝1.61s
B．随着h逐渐升高，t逐渐减少
C．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐变快
D．h每增加10cm，t减小1.73s
【考点】用表格表示变量间的关系
【答案】D
【详解】解：D，根据表格，当h＝60cm时，t＝1.61s ，A正确；随着h逐渐升高，t逐渐变小，B正确；木板长度不变，即路程不变，时间变短，所以速度变快，C正确；只有高度从10cm变为20cm时，小车下滑的时间减少了1.73cm，D错误。故本题选：D．
9．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折党，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝37°，则∠2的度数是（　　）

A．106° B．103° C．100° D．97°
【考点】平行线的性质
【答案】
【详解】解：A，翻折前后角度不变，所以∠5=∠6，因为AF//CD∥BE、AD//BC，所以∠1=∠3=∠4=∠6=∠5=37°，所以∠2=180°，故本题选：A．
10．如图，大正方形与小正方形的面积之差是72，则阴影部分的面积是（　　）．

A．24 B．36 C．42 D．48
【考点】整式乘法
【答案】B
【详解】解：B，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，大正方形与小正方形的面积之差是a²-b²=72，阴影部分的面积表示为：，故本题选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11.计算：　 　．
【考点】积的乘方
【答案】-3
【详解】解析： ．
12．已知a＋b＝4，a－b＝-5，则代数式a2－b2的值是　 　．
【考点】平方差公式
【答案】-20
【详解】解析：(a＋b)( a－b)= a2－b2，所以a2－b2=4×(-5)=-20.
13．在边长为5m的正方形铅皮中间挖去一个面积至少是4m2的小正方形，则剩下的四方框形铅皮的面积y（m2）与小正方形边长x（m）之间的函数关系式是　 　，
【考点】用关系式表示数量间的关系
【答案】y=25-x²（2＜x＜5）
【详解】解析：剩下的面积等于大正方形的面积—小正方形的面积，小正方形面积要大于4，所以2＜x＜5，所以y关于x的关系式是y=5²-x²（x＞2）．
14．如图,一个含有30°角的直角三角尺的两个顶点分别放在一个长方形的一组对边上.若∠1=25°,则∠2=________°. 

【考点】平行线的性质
【答案】115
【详解】解析：考察了平行线的性质与余角定义，如图，∠1与∠3互余，∠2与∠3是同旁内角互补，所以∠1+∠3=90°，∠2+∠3=180°，所以．

15.两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少60°，这两个角是________．
【考点】平行的性质、方程
【答案】30°、30°或60°、120°
【详解】解析：如下图所示，若两个角的两边分别平行说明这两个角要么相等，要么互补。设其中一个角为x，另一个角就是3x-60：①当两个角相等时，列式x=3x-60得x=30，此时两个角是30°、30°；②当两个角互补时，列式x+3x-60=180得x=60，此时两个角是60°、120°

三．解答题（共12小题，满分75分）
16．（6分）计算：
（1）； （2）．
【考点】（1）零指数幂、负整数指数幂；（2）幂的混合运算
【答案】（1）；（2）
【详解】解析：（1）零指数幂1分，负指数幂1分，结果1分；

17.（6分）应用完全平方公式和平方差公式计算：
（1）； （2）699×701+1.
【考点】完全平方公式、平方差公式
【答案】（1）；（2）4900
【详解】解析：

18．（5分）先化简，再求值：，其中，．
【考点】整式得混合运算
【答案】
【详解】解析：

将，代入得
19．（5分）尺规作图：△ABC中，请用直尺和圆规，过点C作直线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法．）
．
【考点】尺规作图——作一个角等于已知角
【详解】解析：利用同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行，作一个角等于已知角。
或
如图CP即为所作直线．
（分值：一个弧一分、一条直线1分、全对满分）

20.（5分）如图，∠B =∠C，GE∥CD，试说明GE∥AB
【考点】平行的判定
【详解】解析：∵∠B =∠C，∴AB∥CD
依据：内错角相等，两直线平行；…………….3分
∵GE∥CD，∴GE∥AB；
依据：平行于同一条直线的两条直线平行.…………….5分

21．（5分）如图是小明从学校到家里行进的路程s(米)与时间t(分)的图象，观察图象，回答下列问题：
（1）自变量是 ，因变量是 ；
（2）①学校离小明家 米，②小明用了 分钟到家；
（3）小明前10分钟和后10分钟那一段走的快？（不写过程只写答案）．

【考点】用图像表示变量间的关系
【答案】（1）时间t（1分），路程S（1分）；
（2）1000（1分），20（1分）；
（3）答：小明后10分钟走的快。（1分）
22．（5分）如下图，是一个工业“三角形加强筋”的结构图，整个结构由两块长3x cm、宽2y cm、厚1cm的长方形钢板和一块底面为直角三角形、厚5cm的三棱柱钢块组成，钢块的底面直角三角形的直角边长分别是x-3y和x+y，求制造这个“三角形加强筋”所需要的钢材体积。

【考点】整式混合运算
【答案】2xy+5x²-15y² cm³
【详解】解析：列式：2·3x·2y+5(x-3y)(x+y).…………….2分
计算：=12xy+5(x²-2xy-3y²).………….........….3分
=12xy+5x²-10xy-15y²
=2xy+5x²-15y²（cm³）
答：制造这个“三角形加强筋”所需要的钢材2xy+5x²-15y²cm³.………….........….5分
23.（6分）图①是一个长为2a，宽为2b的长方形铁皮，沿图①中虚线用剪刀把它均分成四块大小形状完全相同的小长方形，然后按图②的形状拼成一个“回”字形零部件，中间镂空（阴影部分）．
（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1： （只列式，不化简）
方法2： （只列式，不化简）
（2）观察图②，写出代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：________ ；

（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若xy=﹣3，x﹣y=﹣4，求(x+y)²的值。
【考点】完全平方公式
【答案】（1），；（2）；（3）4.
【详解】解析：由题意可知长正方形的长为a，宽为b，所以大正方形的边长为a+b，阴影部分小正方形的边长为a-b．
（1）或，
方法1：（1分）；方法1：（1分）；
（2）（1分）；
（3）(x﹣y)²=16……………….1分
(x+y)²=(x﹣y)²+4xy……………2分
(x+y)²=16+4×(-3)=4………… 3分
24．（7分）为了了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表
汽车行驶时间x（h）
0
1
2
3
…
x
油箱剩余油量y
100
93
86
79
…

（1）根据上表的数据，请写出y与x的之间的关系式：　 　；
（2）如果汽车油箱中剩余油量为37L，则汽车行驶了多少小时？
（3）如果该种汽车油箱只装了48L汽油，汽车以100km/h的速度在一条全长650公里的高速公路上匀速行驶，请问它在中途不加油的情况下能从高速公路起点开到高速公路终点吗？为什么？
【考点】用表格表示数量间的关系，根据表格列关系式
【答案】（1）y＝100﹣7x（3分）；（2）9小时（2分）；（3）能
【分析】（1）由表格可知，开始油箱中的油为100L，每行驶1小时，油量减少7L，据此可得x与y的关系式；
（2）求汽车油箱中剩余油量为37L，则汽车行使了多少小时即是求当y＝37时x的值；
（3）先求出汽车以100km/h的速度在一条全长650公里的高速公路上匀速行驶需要的时间，乘以7求出用油量，再与48L比较大小即可判断．
【详解】解析：（1）一开始汽油总量为100，每行驶1小时，使用汽油7L，所以y＝100﹣7x；（3分）
（2）令y=37，解方程100-7x=37………….4分
得x=9………….5分．
（3）∵650÷100=6.5h………….6分
6.5×7=45.5升，45.5＜48
∴能从高速公路起点开到高速公路终点……...7分．
25. （7分）如图，AD∥BC，AE∥CD，∠ADB=∠FEC，EA平分∠CEF，∠C =75°.
（1）求证：AE∥CD； （2）求∠EFD的度数．


【考点】平行的条件；平行线的性质
【详解】解析：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE（两直线平行，内错角相等）………….1分
∵∠ADB=∠FEC，∴∠DBE=∠FEC………….2分
∴AE∥CD（同位角相等，两直线平行）………….3分．
（2）∵AE∥CD，∴∠AEB=∠DCE（两直线平行，同位角相等）………….4分
∵EA平分∠CEF，∠C =75°
∴∠AEB=∠AEF=75°（同位角相等，两直线平行）………….5分．
又∵AE∥CD，∴∠AEF+∠EFD=180°（两直线平行，同旁内角互补）………….6分
∴∠EFD=105°………….………….7分
26．（8分）阅读材料：把形如x2+bx+c的二次三项式写成(x+p)(x+q)两个一次二项式的过程叫做因式分解，因式分解的过程就是整式乘法运算的逆向运用，即x2+(p+q)x+pq＝(x+p)(x+q)．
例如：① x2+6x+8＝x2+(4+2) x+4×2＝(x+4)(x+2)；
② x2﹣5x+6＝x2+[(﹣3)+(﹣2)] x+(﹣3)×(﹣2)＝(x﹣3)(x﹣2)；
③ x2+3x﹣4＝x2+[4+(﹣1)] x+4×(﹣1)＝(x+4)(x﹣1)；
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，对二次三项式x2+8x+15进行因式分解：
x2+8x+15＝x2+(3+ ) x+3× ＝(x+3)(x+ )；
（2）根据材料内容，已知a2+8a +12＝m，a +6＝n，请用只含m、n的式子表示a；
（3）已知2x+y＝6，x+2y＝3，求2x2+5xy+2y2﹣2的值是多少？
【考点】整式乘法的灵活运用
【分析】（1）观察材料中二次三项式的常数项与因式分解后两个一次项因式中的常数项的关系，可求值；
（3）已知的式子可以变形成a2+8a +12＝(a +6) (a +2)，再将m、n整体代入求值．
（3）通过（1）、（2）问的解题思路，不难发现2x2+5xy+2y2＝(2x+y )(x+2y)，再进行代入求解即可．
【详解】解析：（1）x2+8x+15＝x2+(3+ 5 ) x+3× 5 ＝(x+3)(x+ 5 )；（3分）
（2）a2+8a +12＝(a +6) (a +2)=n(a +2) ………….4分
m= n(a +2)，a +2=，…………….6分
（3）2x2+5xy+2y2﹣2＝(2x+y )(x+2y) ﹣2＝6×3-2=16…………….8分．
27.（10分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：
【感知】（1）①∠DCE=30°时，∠ACB的度数为　 ；②∠ACB=135°时，∠DCE的度数为　 ；
【探究】（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
【应用】（3）现按照这种折叠方式，用这样两块直角三角尺的木板制作一个画平行线的工具，需要满足两个三角尺存在一组边互相平行，若∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．

主图 备用图
【考点】平行线的判定；角的计算．
【分析】（1）①首先计算出∠DCB的度数，再用∠ACD+∠DCB即可；②首先计算出∠DCB的度数，再计算出∠DCE即可；
（2）根据（1）中的计算结果可得∠ACB+∠DCE=180°，再根据图中的角的和差关系进行推理；
（3）根据平行线的判定方法可得．
【解析】解：（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，
∴∠DCB=90°﹣30°=60°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，
故答案为：150°；（1分）
②∵∠ACB=135°，∠ACD=90°，
∴∠DCB=135°﹣90°=45°，
∴∠DCE=90°﹣45°=45°；（1分）

（2）∠ACB+∠DCE=180°，
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，………….3分
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；………….5分
（3）存在，
当∠ACE=30°时，AD∥BC，………….6分
当∠ACE=∠E=45°时，AC∥BE，………….7分
当∠ACE=120°时，AD∥CE，………….8分
当∠ACE=135°时，BE∥CD，………….9分
当∠ACE=165°时，BE∥AD．………….10分