数学（江苏苏州B卷）——2022-2023学年数学八年级下册期中综合素质测评卷（含解析）

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2022-2023学年八年级下学期期中考前必刷卷
数学·全解全析
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列说法正确的是   （　　）
A．了解长江丰都段的水质情况，适合用全面调查
B．“经过三个点能够画一个圆”是必然事件
C．甲乙两班某次数学成绩的方差分别为=217、=135，则乙班的成绩较为整齐
D．某种彩票中奖的概率是 ，老王买101张该种彩票一定会中奖
【答案】C
【分析】A、调查的数据较多通常采用抽样调查；B、必然事件是指一定会发生的事件；C、理解方差的概念即可；D、根据概率的意义可解答．
【详解】解：A选项中，了解长江丰都段的水质情况，适合用抽样调查，故该选项中说法不符合题意；
B选项中，“经过不在同一直线上的三个点能够画一个圆”是必然事件，故该选项中说法不符合题意；
C选项中，甲乙两班某次数学成绩的方差分别为S甲2=217、S乙2=135，则乙班的成绩较为整齐，故该选项中说法符合题意；
D选项中，某种彩票中奖的概率是，老王买101张该种彩票不一定会中奖，故该选项中说法不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了全面调查和抽样调查，以及确定圆的条件、随机事件、概率的意义和方差的相关知识，理解其概念是解题的关键．
3．下列分式中是最简分式的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用最简分式的意义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式最简分式；由此逐一分析探讨得出答案即可．
【详解】A．，故A不是最简分式；
B．，故B不是最简分式；
C．分子分母没有非零次的公因式，所以C是最简分式；
D．，故D不是最简分式．
故选：C．
【点睛】本题考查了最简分式的意义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可．
4．反比例函数的图象位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由反比例函数中，则 可得反比例函数的图象在第四象限，从而可得答案．
【详解】解：反比例函数的图象位于第四象限，
故选：D
【点睛】本题考查的是反比例函数图象与性质，掌握“反比例函数图象的分布”是解本题的关键．
5．如图菱形的顶点在上，过点B的切线交的延长线于点D．若的半径为2，则的长为（    ）

A．3 B． C． D．4
【答案】C
【分析】连接OB，根据切线的性质，菱形的性质，得到OA=AB=OB=2，∠DBO=90°，解直角三角形即可
【详解】如图，连接OB，

∵DB是圆的切线，
∴∠DBO=90°，
∵四边形OABC是菱形，圆的半径为2，
∴OA=AB=OB=2，
∴∠AOB=60°，
∴tan60°=，
∴DB =tan60°×OB=，
故选C．
【点睛】本题考查了圆的切线，菱形的性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握切线的性质，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．
6．已知关于x的方程有增根，则a的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．﹣5
【答案】D
【分析】首先最简公分母为0，求出增根，化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【详解】解：∵方程有增根，
∴x﹣5＝0，
∴x＝5，
，
去分母得：x＝3（x﹣5）﹣a，
x＝3x﹣15﹣a，
把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟知分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值是解本题的关键．
7．下列命题正确的是（  ）
A．正方形有4条对称轴 B．矩形的对角线互相垂直且相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．菱形的对角线相等
【答案】A
【分析】分别根据正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、正方形有四条对称轴，此选项正确；
B、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，此选项错误；
C、平行四边形的对角线互相平分，不一定垂直，此选项错误；
D、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，此选项错误，
故选：A.
【点睛】本题考查了平行四边形性质、正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质，熟练掌握它们的性质是解答的关键．
8．若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出，的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：当时，，解得：；
当时，，解得：．
．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出，的值是解题的关键．
9．如图，AD是△ABC的高线，BD＝CD，点E是AD上一点，BE＝BC，将△ABE沿BE所在直线折叠，点A落在点A′位置上，连接AA'，BA′，EA′与AC相交于点H，BA′与AC相交于点F．小夏依据上述条件，写出下列四个结论：①∠EBC＝60°；②∠BFC＝60°；③∠EA′A＝60°；④∠A′HA＝60°.以上结论中，正确的是（　　）

A．① B．③④ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【分析】连接EC，设AD与BA'相交于点O，如图，由线段垂直平分线的性质可证△BEC是等边三角形，进一步可得∠EBC＝∠BEC＝∠BCE＝60°，∠BED＝∠CED＝30°，进而可判断①；由折叠的性质可得∠AEB＝∠BEA'＝150°，继而可得∠AEA'＝60°，于是可证△AEA'是等边三角形，进而可判断③；由“SSS”可证△ABE≌△ACE，可得∠BAD＝∠DAC＝∠BA'E，进一步由三角形的外角性质可得∠EOA'+∠CAD＝∠BFC＝60°，进而可判断②；由∠A'HA＝∠AEA'+∠EAH＞60°，可对④进行判断．
【详解】解：连接EC，设AD与BA'相交于点O，如图，
∵BD＝CD，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴BE＝EC，
∵BE＝BC，∴BE＝EC＝BC，
∴△BEC是等边三角形，且ED⊥BC，
∴∠EBC＝∠BEC＝∠BCE＝60°，∠BED＝∠CED＝30°，故结论①正确；
∴∠AEB＝150°，
∵将△ABE沿BE所在直线折叠，点A落在点A′位置，
∴∠AEB＝∠BEA'＝150°，AE＝A'E，∠BAD＝∠BA'E，
∴∠AEA'＝60°，
∴△AEA'是等边三角形，∴∠EA'A＝60°，故结论③正确；

∵AB＝AC，BE＝EC，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SSS），
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BA'E，
∵∠AEA'＝∠EOA'+∠EA'O＝60°，
∴∠EOA'+∠CAD＝∠BFC＝60°，故结论②正确；
∵∠A'HA＝∠AEA'+∠EAH＞60°，∴结论④错误.
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的外角性质和线段垂直平分线的性质等知识，有一定的难度，熟练掌握全等三角形和等边三角形的判定和性质是解题的关键.
10．如图所示，有一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为20cm，则∠1等于（ ）

A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】B
【详解】试题分析：AB的长等于菱形较长的对角线的长，连接短的对角线，两条对角线互相垂直平分，由已知数据得对角线的一半分别是10，10，菱形边长是20，根据直角三角形性质，可知∠1等于60º，故选B．
考点：1．菱形性质；2．直角三角形性质．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如果在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，那么这两个三角形全等，这个事件是_____事件．（填“随机”“不可能”或“必然”）
【答案】随机
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】如果在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，那么这两个三角形全等，这个事件是随机事件．
故答案为：随机.
【点睛】本题主要考查了事件的定义，熟练掌握事件的区分方法是解决本题的关键.
12．当x＝____时，分式的值为0．
【答案】0
【分析】根据“当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0”求解即可．
【详解】解：当时，且，
∴当，分式的值为0．
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
13．如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：
①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；
②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；
③作射线OC．
则∠AOC的大小为_________．

【答案】20°．
【详解】根据画图的方法可知：OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=40°÷2=20°．
故答案是：20°．
14．如图，A、B是双曲线上两点，A、B两点的横坐标分别为1、2，线段的延长线交x轴于点C，若的面积为6，求_____．

【答案】4
【分析】作轴于D，轴于E，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，则，，，由轴于D，轴于E，得到，则，得到，然后根据三角形面积公式计算k的值．
【详解】解：作轴于D，轴于E，如图，

∵A、B两点的横坐标分别为1、2，
∴，，
∴，，，，
∴，，
∵轴于D，轴于E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为6，
∴，
∴．
故答案为：4
【点睛】此题考查了反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
15．已知正比例函数 与反比例函数图像的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为____________．
【答案】（1，1）．
【分析】根据反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，即可求解．
【详解】解：∵根据反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点（﹣1，﹣1）关于原点对称，
∴该点的坐标为（1，1）．
故答案为（1，1）
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称是解题的关键．
16．如果一个四位数的百位数字和千位数字的差恰好是个位数字与十位数字的差的两倍，则这个四位数称作“凤中数”．例如：，∵，∴2456是“凤中数”．若一个“凤中数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，且满足（），记，当是整数时，则满足条件的的最大值为______．
【答案】
【分析】根据“凤中数”的定义可得，代入，通过变形可得，当是整数时，是24的倍数，分情况计算，最后比较大小即可．
【详解】解：由“凤中数”的定义可知，
，



，
是整数，一定是整数，
是24的倍数，
是24的倍数，
，
，，
当时，，满足是24的倍数，
可得，，此时，，
；
当时，，满足是24的倍数，
可得，，则，
当时，，，
当时，，不合题意，
当时，，；
当时，则或，满足是24的倍数，
当时，，与矛盾，不合题意，
当时，，，
可得，，；
综上可知，满足条件的的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义运算，因式分解的应用，整式的加减运算等，有一定难度，解题的关键是通过是整数推出是24的倍数．
17．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF=60°，BE=2cm，FD=3cm，则平行四边形ABCD的面积为________________

【答案】12cm2
【分析】由已知可求得∠C=120°；进而求得∠B=60°，在直角三角形ABE中求得AB的长，同理求得AD的长，求平行四边形ABCD的面积即可．
【详解】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=60°，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠C=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D，
∴∠B=∠D=60°，
∴∠BAE=∠FAD=30°，
∵直角三角形ABE中，∠B=60°，BE=2cm
∴AB=4cm
∴CD=4cm
∵直角三角形AFD中，∠D=60°，FD=3cm
∴AD=6cm
∴AF=
∴S▱ABCD=CD•AF=4×3=12cm2．
故答案为：12cm2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理的相关知识，解答关键是应用数形结合思想解答问题．
18．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠COE=________度．

【答案】75
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE=∠AEC=45°，求得∠CAB=60°，得到∠B=30°，根据直角三角形的性质得到CO=BO=AO=AB，得到△AOC是等边三角形，∠OCB=∠B=30°，于是得到结论．
【详解】解：∵∠ACB=90°，CE=AC，
∴∠CAE=∠AEC=45°，
∵∠BAE=15°，
∴∠CAB=60°，
∴∠B=30°，
∵∠ACB=90°，O为AB的中点，
∴CO=BO=AO=AB，
∴△AOC是等边三角形，∠OCB=∠B=30°，
∴AC=OC=CE，
∴∠COE=∠CEO=×（180°-30°）=75°，
故答案为：75．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤.）
19．（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算求解即可得到答案；
（2）根据二次根式的性质和平方差公式、完全平方公式进行计算即可.
【详解】解：（1）


（2）



【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，以及完全平方公式和平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20．计算：
(1)分解因式：；
(2)解分式方程：
【答案】(1)x（x-2）2；
(2)x=1．

【分析】（1）原式提取公因式x，再利用完全平方公式分解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
（1）
解：（1）原式=x（x2-4x+4）
=x（x-2）2
（2）
解：去分母得：2x-3=x-2，
解得：x=1，
检验：把x=1代入得：2（x-2）≠0，
∴分式方程的解为：x=1．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握分式方程的解法及因式分解的方法是解本题的关键．
21．化简并求值：
(1)化简：；
(2)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)
(2)化简结果，代数式的值为：．

【分析】（1）先把分式转化为乘法，再约分即可；
（2）先计算括号内的分式的加减运算，再约分得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】（1）解：

．
（2）解：


；
当时，
原式．
【点睛】本题考查的是分式的除法运算，分式的化简求值，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
22．为了进一步落实国家“双减”要求．某校准备利用下午课后延时服务时间，开设“阳光球类系列课程”，现决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五大球类课程，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．

根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题：
(1)m＝______，n＝______；
(2)补全上图中的条形统计图；
(3)若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．
【答案】(1)100；5
(2)补全条形统计图见解析
(3)该校约有400名学生喜爱打乒乓球

【分析】（1）根据篮球的人数和占所占的百分比求出总人数，再用排球的人数除以总人数即可求出n的值；
（2）用总人数减去其它项目的人数，即可求出足球的人数，从而补全统计图；
（3）用全校总人数乘以样本中喜爱打乒乓球占的分数数，计算即可．
【详解】（1）由题意m＝30÷30%＝100，排球占＝5%，
∴n＝5，
故答案为100，5．
（2）解：足球＝100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35人，条形图如图所示，

（3）解：2000×＝400，
答：该校约有400名学生喜爱打乒乓球．
【点睛】本师考查条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．

（1）在图中作出关于轴对称的图形；点的坐标为______；
（2）判断的形状并说明理由；
（3）在图中找一点，使，．
【答案】（1）见解析，；（2）是直角三角形，理由见解析；（3）见解析
【分析】（1）先描出点B、C关于y轴对称的点，然后依次连线即可，最后根据图像求出点的坐标即可；
（2）根据勾股定理逆定理可直接进行求解；
（3）根据勾股定理可直接进行求解．
【详解】解：（1）如图，即为所求作的图形，点，
故答案为；
（2）是直角三角形，理由如下：
由勾股定理得，，，
∴，
∴是直角三角形；
（3）如图点即为所求，
．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换及勾股定理及其逆定理，熟练掌握平面直角坐标系中图形的变换及勾股定理及其逆定理是解题的关键．
24．如图，点和点是反比例函数图像上的两点，一次函数的图像经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足．

(1)求；
(2)已知点在线段上，当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据一次函数解析式求得点的坐标，得到的长度，结合点的坐标和三角形面积求出的面积，进而求出的面积，由反比例函数系数的几何意义求得的值；
（2）利用待定系数法确定直线函数关系式，求出点的坐标，根据正切的定义列出求出的关系，解方程组得到答案．
【详解】（1）解：由一次函数得，点的坐标为，
∵点的坐标是，
∴，
∵，
∴，
∵点是反比例函数图像上的点，
∴，即，
∴．
（2）解：如图所示，

由（1）知，反比例函数解析式是，把点的坐标为代入得，
∴，解得，，
∴点的坐标为，将其代入，得到，解得，，
∴直线的解析式是：，
令，则，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，，设，则，
∵，
∴，即，
∴，整理得，，
解方程组，得或，
∵点在第一象限，
∴．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、解直角三角形的应用，要灵活掌握待定系数法确定函数关系式，函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式．
25．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．

【答案】见解析
【分析】根据菱形的性质得出，，再利用角的等量代换得出，接着由角边角判定，最后由全等的性质即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是菱形，E，F是对角线AC上两点，
∴，．
∵，
∴，
即．
在和中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练地掌握这些性质和判定定理，并能从题中找到合适的条件进行证明．
26．如图，△ABC 是等边三角形，D 为 AC 上一点连接 BD，旋转△BCD，使点 B 落在 BC上方的点 E 处，点 C 落在 BC 上的点 F 处，点 D 落在点 C 处，连接 AE．
求证：四边形 ABFE 是平行四边形．

【答案】详见解析.
【分析】由题意△ABC、△AED、△DCF是等边三角形，可以推知同位角∠CFD＝∠ABC，内错角∠CFD＝∠AED．所以利用平行的线的判定定理可以证得四边形ABFE的对边相互平行．
【详解】证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB，∠ACB＝60°
∵将 AC 绕点 E 旋转
∴DF＝DC，DE＝DA
∴△DFC 是等边三角形，
∴DF＝CD＝CF，∠DCF＝∠EFC＝60°，
∴EF＝AC＝BC，
∴△ABC、△AED、△DCF 均为等边三角形，
∴∠CFD＝∠ABC＝∠DEA＝60°，
∴AB∥EF，BF∥AE，
∴四边形 ABFE 是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及平行四边形的判定定理
27．已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于第一象限内的P（，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）写出点P关于原点的对称点P'的坐标；
（3）求∠P'AO的正弦值．

【答案】(1) 反比例函数的表达式为y=，一次函数的表达式为y=﹣2x+9；(2) （-，﹣8）；(3)．
【分析】（1）根据P（，8），可得反比例函数解析式，根据P（，8），Q（4，1）两点可得一次函数解析式；
（2）根据中心对称的性质，可得点P关于原点的对称点P'的坐标；
（3）过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D，构造直角三角形，依据P'D以及AP'的长，即可得到∠P'AO的正弦值．
【详解】解：（1）∵点P在反比例函数的图象上，
∴把点P（，8）代入y=可得：k2=4，
∴反比例函数的表达式为y=，
∴Q （4，1）．
把P（，8），Q （4，1）分别代入y=k1x+b中，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为y=﹣2x+9；       
（2）点P关于原点的对称点P'的坐标为（-，﹣8）；
（3）过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D．
∵P′（-，﹣8），
∴OD=，P′D=8，
∵点A在y=﹣2x+9的图象上，
∴点A（，0），即OA=，
∴DA=5，
∴P′A=，
∴sin∠P′AD=，
∴sin∠P′AO=．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；解直角三角形．
28．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）求证：EM=BN．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：
（1）先证四边形PMAN是矩形，再证PM=PN；
（2）用ASA证明△EPM≌△BPN.
试题解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，
∴四边形PMAN是矩形，
∵PM=PN，∴四边形PMAN是正方形；
（2）证明：∵四边形PMAN是正方形，∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠EPB=90°，∴∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°，∴∠MPE=∠NPB，
在△EPM和△BPN中，
，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM=BN．