2023年河南省许昌市禹州市中考数学一模试卷(含解析）

2023年河南省许昌市禹州市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  南朝宋范晔在后汉书联食传中写道：“将军前在南阳，建此大策，常以为落落难合，有志者事竟成也”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“者”字所在面相对的面上的汉字是(    )

A. 有 B. 事 C. 竟 D. 成

3.  如图，直线，相交于点，于点若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，在中，，平分，为中点，若，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根

7.  古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有个，共有条腿，问有多少个耠子，多少个耧？耠子有一条腿，耧有两条腿设耠子有个，耧有个，则下列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，并分别标有数字，，，若自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域的数字指针指向区域分界线时，重新转动，则两次所得数字之和为偶数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列问题中，变量与之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(    )

A. 圆的面积与圆的半径
B. 汽车匀速行驶时，行驶的距离与行驶的时间
C. 小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度与篮球离开手的时间
D. 三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高
 

10.  如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，，点，分别是边，上的点将沿折叠，使点的对应点落在边上，若则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若二次根式有意义，则可取        填一个即可

12.  不等式组的解集为        ．

13.  我市某电视台招募主持人，甲侯选人的综合专业索质、普通话、才艺展示成绩如表所示．

根据实际需求，该电视台规定综合专业素质、普通话和才艺展示三项测试得分按：：的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为        分

14.  如图，扇形中，，点为延长线上一点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点若，，则图中阴影部分的周长为        ．

15.  如图，矩形中，，，点为矩形对角线，的交点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当点落在矩形的对称轴上时，的长为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．
下面是某同学化简分式的运算过程．
解：原式第步；
第步；
第步；
第步；
第步
上面的运算过程从第        步开始出现错误，请你写出正确完整的解答过程．

17.  本小题分
为庆祝党的二十大胜利召开，某学校开展了一系列学习党史的活动，并开展了党史相关的知识测试为了解七、八年级学生的测试成绩，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
【收集数据】：
从七、八两个年级各随机抽取了名学生的测试成绩百分制如下：
七年级：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
八年级；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
整理、描述数据：
对上述数据进行分段整理如下：

【分析数据】：
两个年级测试成绩的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：
       ，        ．
小明是该校八年级的学生，他本次测试成绩为分，小明说：“因为我的成绩高于我们年级的平均数所以我的成绩高于我们年级一半学生的成绩“请你判断小明的话是否正确，并说明理由．
若测试成绩不少于分记为优秀，请你估计七年级学生本次测试成绩的优秀率，并给七年级的老师提出一条建议．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点在第二象限，点在轴负半轴上，点是的中点且反比例函数的图象经过点．
求反比例函数的解析式．
若点是反比例函数的图象与的交点，求点的坐标．
在的条件下，直接写出的面积．

19.  本小题分
开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，始建于公元年某数学兴趣小组想通过所学的解直角三角形的知识测量该铁塔的高度，他们把“测量开封铁塔的高度”作为一项课题活动，并制订了测量方案，进行了实地测量，测量结果如表．

请你根据以上数据，帮助该小组求出开封铁塔的高度结果保留到参考数据：，，
根据景点介绍开封铁塔的高度为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的建议．

20.  本小题分
为弘扬爱国精神，传承民族文化，某校组织了“诗词里的中国”主题比赛，计划去某超市购买，两种奖品共个，种奖品每个元，种奖品每个元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案只能选择其中一种．
方案一：种奖品每个打九折，种奖品每个打六折．
方案二：，两种奖品均打八折．
设购买种奖品个，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元
请分别写出，与之间的函数关系式．
请你计算该校选择哪种方案支付的费用较少．

21.  本小题分
如图，是的直径，点是上一点不与点，重合，连接，．
请在图中用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点保留作图痕迹，不写作法
如图，在的条件下，过点作的切线，分别交、的延长线于点、，连接、．
求证：；
若，，请求出的长提示：过点作的垂线
 

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知：经过点，点．
求的解析式．
将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，求的解析式．
若点，在上，且，将上方抛物线沿翻折，翻折后得到一个新图象当这个新图象与过点且平行于轴的直线恰好只有个公共点时，请直接写出的取值范围．

23.  本小题分
特例感知：
如图，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边在上方作等边三角形，连接，过点作，过点作，交于点，连接．
试判断和的数量关系，并说明理由．
猜想论证：
将绕点按顺时针方向旋转一定角度，其余操作不变，则和的数量关系是否仍然成立，请仅就图的情形说明理由．
拓展延伸：
将如图所示的绕点按逆时针方向旋转，其余操作不变若，当是直角三角形时，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最大的数是；
故选B．
根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，再进行比较，即可得出答案．
此题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：在原正方体中，与“者”字所在面相对的面上的汉字是“成”，
故选：．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的问题，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
根据垂线的定义可得，根据，根据对顶角的定义，即可得出答案．
本题主要考查了垂线及对顶角，熟练掌握垂线及对顶角的定义进行求解是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、不能合并，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：．
根据单项式乘单项式，积的乘方的性质，合并同类项的法则和平方差公式，对各选项计算后利用排除法求解．
本题考查单项式乘单项式，积的乘方的性质，合并同类项的法则和平方差公式，熟练掌握运算法则是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，平分，，
，，
．
在直角中，
，，，
．
点为的中点，
．
故选：．
根据等腰三角形的性质可得，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，解答该题的突破口在于运用等腰三角形的“三线合一”的性质推知，．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：耠子和耧共有个，
；
耠子和耧共有条腿，
．
根据题意可列出方程组．
故选：．
根据“耠子和耧共有个，共有条腿”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，两次所得数字之和分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，
其中两次所得数字之和为偶数的结果为种，
两次所得数字之和为偶数的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数和两次所得数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】A.圆的面积与圆的半径的函数关系式为，
，
该函数图象的开口应朝上，
变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
B.设汽车的速度为为常数，
则汽车行驶的距离与行驶的时间之间的函数关系式为为常数，
变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
C.小明打篮球投篮时，关于的函数图象是开口朝下的抛物线的一段，且经过轴的正半轴，对称轴在轴右侧，
变量与之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意；
D.设三角形的面积为为常数，
则，
为常数，
变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意．
故选：．
根据每个选项的描述，分别写出两个变量之间的函数关系即可判断．
本题考查了函数的图象，解题关键在于根据每个选项的描述，正确判断出两个变量之间满足的函数关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：过作于，作于，如图：

四边形是菱形，，
，
，
，，
，，
，
，
，，
，即，
，
，
，
将沿折叠，使点的对应点落在边上，
，
，
，
解得，
，
，轴，
，
故选：．
过作于，作于，根据四边形是菱形，，可得，，，又，故EF，由将沿折叠，使点的对应点落在边上，有，从而，，即知，可得
本题考查菱形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用含角的直角三角形三边的关系．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：二次根式有意义，
，
解得：，
则可取答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
直接利用二次根式的定义得出的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：

分．
答：甲候选人的最终成绩为分．
故答案为：．
根据加权平均数公式计算甲的最终成绩即可得出答案．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
弧的长，弧的长，
，，
，
阴影的周长弧的长弧的长．
故答案为：．
由等腰直角三角形的性质求出的长，即可求出的长，由弧长公式求出弧，弧的长，即可求出阴影的周长．
本题考查弧长的计算，等腰直角三角形的性质，关键是掌握弧长的计算公式．
 

15.【答案】或 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，，，
，
，
如图，当落在的垂直平分线上时，
，
将绕点顺时针旋转，
，
当点落在的垂直平分线上时，连接，设的垂直平分线于交于点，
同理可得，
，
四边形是菱形，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
综上所述：的长为或，
故答案为：或．
分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：


；
根据题目中的解答过程可知：从第步开始出现错误，
正确的过程为：原式


．
故答案为：．
根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值可以解答本题；
根据解答过程可知第错误，第一个分式的分子存在变号错误；然后计算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查实数的运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：把七年级名学生的测试成绩从小到大排列为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
所以排在中间的两个数是，，故中位数；
八年级名学生的测试成绩中出现的次数最多，故众数；
故答案为：；；
小明的话错误，理由如下：
因为小明本次测试成绩为分，低于中位数，所以小明的成绩低于我们年级一半学生的成绩；
七年级学生本次测试成绩的优秀率为：；
建议七年级的学生加强学习党史答案不唯一．
根据中位数和众数的定义解答即可；
根据中位数的意义解答即可；
利用样本估计总体即可．
此题考查了用样本估计总体以及众数、中位数的定义，众数是数据中出现次数最多的数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

18.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；
点为斜边的中点，，
点坐标为，
把代入得，，
点的坐标为；
连接，
点坐标为，
，
，
，
，
． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
根据题意求得，把代入反比例函数的解析式即可求得点的坐标；
根据反比例函数系数的几何意义求得，然后利用求得即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，求得的坐标是解题的关键．
 

19.【答案】解：延长交于点，

由题意得：，，，
设，
在中，，
，
，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，

，
开封铁塔的高度约为；
由题意得：，
本次测量结果的误差为；
提出一条减小误差的建议为：多次测量求平均值答案不唯一． 

【解析】延长交于点，根据题意可得：，，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
利用的结论，进行计算可求出本次测量结果的误差，然后再根据多次测量求平均值，可以减小误差，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意得：；
，
与之间的函数关系式为，与之间的函数关系式为；
当时，，
解得，
购买种奖品超过个时，方案二支付费用少；
当时，，
解得，
购买种奖品个时，方案一和方案二支付费用一样多；
当时，，
解得，
购买种奖品少于个时，方案一支付费用少． 

【解析】根据总费用，两种奖品费用之和列出、关于的函数解析式；
根据中解析式分三种情况讨论即可．
本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出函数解析式．
 

21.【答案】解：如图，

证明：连接，

平分，
，
，
，
又是的切线，
，
；
解：过点作于，交于，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
是的直径，，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】根据角平分线的画法求解即可；
连接，由圆周角定理证出，由切线的性质得出，则可得出结论；
过点作于，交于，证出四边形是矩形，得出，求出的长，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
此题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、圆周角定理、三角形的面积等知识，熟记掌握相似三角形的判定与性质、切线的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：抛物线：经过点，点，
，解得，
的解析式为；
，
将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的解析式为，即；
点，，
轴，所在直线为，
抛物线，沿直线翻折后顶点坐标为，
，
，
当时符合题意，
解得，
．

当时，符合题意，

综上所述，或． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
利用平移的规律即可求得；
根据二次函数的顶点求出翻折后新图象的顶点坐标，结合图象求解．
本题考查二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数与方程的关系以及数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】解：，理由如下：
和是等边三角形，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
≌，
；
仍然成立，理由如下：
延长交于点，

和是等边三角形，
，，，
，
，
，，
，
同可知，，
≌，
；
或，
当时，

由可知，，
，
，
；
当，

由可知，≌，
，
，，
，
，
；
当时，情况不存在，
综上所述，的值为或． 

【解析】根据等边三角形的性质和证明≌，进而利用全等三角形的性质解答即可；
延长交于点，根据等边三角形的性质和证明≌，进而利用全等三角形的性质解答即可；
分三种情况，利用中的结论解答即可．
此题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解．