第12讲 二元一次方程组与解法（核心考点讲与练)-七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第12讲二元一次方程组与解法（核心考点讲与练)

一．二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
二．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
三．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
四．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
五．同解方程组
同解方程组定义：如果两个方程组的解相同，那么这两个方程组就是同解方程组．
关于两个方程组同解的问题，要知道两个方程组四个二元一次方程都有同一组公共解，即随便把其中两个方程联立成方程组，解仍然相同．

一．二元一次方程组的定义（共3小题）
1．（2020春•潍坊期中）在方程组，，，， 中，是二元一次方程组的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2021春•灌云县期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列方程组，其中是二元一次方程组的有　 　（填序号）
①②③④．
二．二元一次方程组的解（共6小题）
4．（2021秋•高新区期末）在下列各组数中，是方程组的解的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021秋•烈山区期末）已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2021春•广陵区校级月考）若是二元一次方程组的解，求（a+3b）（5a﹣b）的值．
7．（2021春•淮阴区期末）已知是二元一次方程组的解，则代数式m+6n的值为 　 　．
8．（2021秋•高新区期末）若方程组的解满足x＝2y，求m的值．





9．（2021春•饶平县校级期末）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）．
（1）求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）；
（2）若方程组的解x、y满足x+y＞5，求k的取值范围；
（3）若（4x+2）2y＝1，直接写出k的值；
（4）若k≤1，设m＝2x﹣3y，且m为正整数，求m的值．












三．解二元一次方程组（共7小题）
10．（2021秋•薛城区期末）由方程组消去m，可得x与y的关系式是（　　）
A．2x﹣5y＝5 B．2x+5y＝﹣1 C．﹣2x+5y＝5 D．4x﹣y＝13
11．（2021•仪征市一模）已知实数a、b满足2021a+2020b＝3，2a+b＝1，则的值为 　 　．
12．（2021秋•高新区期末）解方程（组）：
（1）＝1；
（2）．





13．（2021秋•甘州区校级期末）解方程组
（1）
（2）





14．（2021春•海陵区期末）在等式y＝ax2+bx+1中，当x＝﹣1时，y＝6；当x＝2时，y＝11．
（1）求a，b的值；
（2）当x＝﹣3时，求y的值．






15．（2021春•宿城区校级月考）解下列方程组：
（1）用代入法解方程组：；
（2）用加减法解方程组：；
（3）．





16．（2021春•天宁区校级月考）定义运算“*”，规定x*y＝ax2+by，其中a，b为常数，且3*2＝6，4*1＝7，则5*3＝　 　．
四．由实际问题抽象出二元一次方程组（共7小题）
17．（2021•通辽）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为 　 　．
18．（2021•襄州区模拟）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
19．（2021春•扬州期末）某班同学参加运土劳动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每一人挑两筐．已知全班共用箩筐56只，扁担36根．设男生x人，女生y人，则可得方程组 　 　．
20．（2021•崇川区二模）4月23日是世界读书日．甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1本，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量．设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，则可列方程组为　 　．
21．（2017秋•佛山期末）某文具店，甲种笔记本标价每本8元，乙种笔记本标价每本5元
（1）两种笔记本各销售了多少？
（2）所得销售款可能是660元吗？为什么？










22．（2021春•宿城区校级月考）某校去年原计划招收初一新生1000人，实际招到初一新生1240人，其中男生超20%，女生超30%，设该校去年计划招收男生x人，招收女生y人，则依据题意列出方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
23．（2021春•江都区期中）如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，列出关于x、y的二元一次方程组 　 　．
五．同解方程组（共2小题）
24．（2017秋•雁塔区校级期末）已知方程组与有相同的解，则m＝　 　，n＝　 　．
25．（2019春•大丰区期末）已知关于x、y的方程组和的解相同，求a、b值．









分层提分

题组A 基础过关练
一．选择题（共6小题）
1．（2021秋•莲湖区期末）一个两位数，十位数字比个位数字大4；将这个两位数的十位数字与个位数字对调后，比原数减少了36，求原两位数．若设原两位数十位数字是x，个位数字是y，则列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021秋•成都期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？如果设有x人，该物品值y元，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021秋•城固县期末）关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（　　）
A．3x﹣x﹣5＝83 B．3x+x﹣5＝8 C．3x+x+5＝8 D．3x﹣x+5＝8
4．（2021春•鲤城区校级月考）从方程中得出x与y的关系式为（　　）
A．y＝2x B．y﹣2x＝2 C．y+3＝2x D．y﹣2x＝3
5．（2021春•长兴县月考）用加减法解方程组时，方程①+②得（　　）
A．2y＝2 B．x﹣2y＝﹣2 C．3x＝6 D．x+y＝6
6．（2021春•卧龙区校级月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5）
B．要消去y，可以将①×5+②×2
C．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
D．要消去y，可以将①×5+②×3
二．填空题（共10小题）
7．（2021春•鼓楼区校级期中）写出一个二元一次方程组 　 　，使它的解是．
8．（2021秋•大东区期末）某校八年某班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表：
捐款（元）
1
2
3
4
人数
6

7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列二元一次方程组为 　 　．
9．（2021•綦江区校级三模）《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客来到此店中，一房七客多七客，一房九客一房空”，大致意思是：若一个房间住7个客人，则剩余7个客人没有房间住，若一个房间住9个客人，则剩余1个房间没有客人住；设客人有x人，客房有y间，则可列方程组 　 　．
10．（2021春•同安区月考）现在有两批给边疆战士端午节慰问礼物货物，第一批360吨，用5节火车车厢和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车车厢和16辆汽车正好装完．由题目中“正好装完”的含义是 　 　．
11．（2021秋•新会区校级期中）方程无解，则实数k的值为 　 　．
12．（2021秋•芗城区校级期中）关于x、y的方程组的解也是方程x+y＝5的解，则m的值为 　 　．
13．（2021春•伊通县期末）某公司要购买办公桌，A型办公桌每张500元，B型办公桌每张300元，购买10张办公桌共花费4200元．设购买A型办公桌x张，购买B型办公桌y张，则根据题意可列方程组为 　 　．
14．（2021春•天河区期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则含x，y的多项式A可以是 　 　（写出一个即可）．
15．（2021春•江都区校级期末）若，则x与y之间的关系为 　 　．
16．（2021春•平谷区校级期中）已知|x﹣2y+1|+（x+2y﹣3）2＝0，则x+y的值是　 　．
三．解答题（共7小题）
17．（2020秋•高明区校级期末）如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？
解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米
题中的两个相等关系：
（1）小长方形的长+　 　＝大长方形的宽
可列方程为：　 　；
（2）小长方形的长＝　 　，
可列方程为：　 　．








18．（2021春•饶平县校级月考）甲、乙两位同学解同一个关于x，y的二元一次方程组，甲同学把方程①抄错，求得解为，乙同学把方程②抄错，求得解为，根据上述信息，你能求出原方程组的解吗？如果能，请解方程组；如果不能，请说明理由．






19．若方程组和的解相同，求a、b的值．





20．（2021春•漳平市月考）已知是方程组的解，求代数式（a+b）（a﹣b）的值．




21．（2021春•丰台区校级期末）若方程组的解满足x﹣y＝5，求m的值．






22．（2022•碑林区校级开学）解方程组：．





23．（2021春•江源区期末）解方程组：．






题组B 能力提升练
一．选择题（共6小题）
1．（2021秋•郑州期末）已知是关于x，y的方程组的解，则（a+b）（a﹣b）的值为（　　）
A． B． C．16 D．﹣16
2．（2021秋•重庆期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中，正确的有（　　）
①； ②；
③3x+（100﹣x）＝100； ④y+3（100﹣y）＝100．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2021春•昭通期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当a＝0时，方程组的解也是方程2x+y＝4的一个解；
②当x﹣2y＞7时，a＞0；
③不论a取什么实数，2x+y的值始终不变；
④若a＝1，则x2+4y＝0．
以上四种说法中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021春•平凉期末）已知方程组与方程组的解相同，则a，b的值分别为（　　）
A． B． C． D．
5．（2021春•高密市期末）若（3x﹣y+5）2+|2x﹣y+3|＝0，则x+y的值为（　　）
A．2 B．﹣3 C．﹣1 D．3
6．（2020春•南丹县期末）解方程组，用加减法消去y，需要（　　）
A．①×2﹣② B．①×3﹣②×2 C．①×2+② D．①×3+②×2
二．填空题（共6小题）
7．（2021秋•天府新区期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+2y＝1的解，则k的值为 　 　．
8．（2021春•秀洲区校级月考）若关于x，y的方程组的解是正整数，则整数m的值为 　 　．
9．（2021秋•朝阳区校级期中）“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六；问人数、鸡价各几何？”（《九章算术》），题目的大意是：有几个人共同出钱买鸡，每人出九枚铜钱，则多了11枚钱；每人出六枚铜钱，则少了16枚铜钱，那么有几个人共同买鸡？鸡的价钱是多少？设有x人，则根据题意列出方程 　 　．



10．（2021春•江源区期末）如图，在长方形ABCD中放入6个相同的小长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长为a，宽为b，则可得方程组 　 　．

11．（2021春•永定区校级期末）对于有理数x，y，定义新运算“※”：x※y＝ax+by+1，a，b为常数，若3※5＝15，4※7＝28，则5※9＝　 　．
12．（2021春•宿城区校级月考）若（5x+2y﹣12）2+|3x+2y﹣6|＝0，则2x+y＝　 　．
三．解答题（共12小题）
13．（2021春•卧龙区校级月考）已知方程组的解和方程组的解相同，求（2a+b）2021的值．



14．（2021春•朝阳区校级月考）如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3…方程组n

（1）将方程组1的解填入图中；
（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入图中；
（3）若方程组的解是．求a，b的值，并判断该方程组及方程组的解是否属于上述集合．

15．（2020秋•林甸县期末）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得，试求原方程组的解．







16．（2021春•邗江区期中）已知关于x、y的方程组
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）若该方程组的解也是方程x+y＝6的解，求m的值．






17．（2021春•通许县期末）对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定，如．若x、y同时满足．求x，y的值．








18．（2021春•新蔡县期末）已知关于x、y的方程组，a为常数．
（1）求方程组的解；
（2）若方程组的解x＞y＞0，求a的取值范围．






19．（2021春•松桃县期末）解关于x y的方程组时，甲正确解出，乙因把c抄错了，误解为，求a、b、c的值．





20．（2017春•东海县校级期中）先阅读，然后解方程组．
解方程组时，可由①得x﹣y＝1③，然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”．
请用这样的方法解方程组．







21．（2017春•平南县月考）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③，把①代入③得2×3+y＝5．
解得y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得x＝4，所以原方程组的解为
请你运用以上方法解决下列问题：
（1）模仿小红的方法解方程组
（2）已知x，y满足方程组，求2x2+y2+xy的值．





22．（2021春•前郭县期末）已知，关于x，y的方程组的解满足x＜y＜0．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|a|﹣|a+3|．




23．（2017秋•越秀区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组．
（1）若该方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是多少？
（2）若y＜0，且m≤n，试求x的最小值．




24．（2016春•港南区期中）先阅读材料，然后解方程组：
材料：解方程组
在本题中，先将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2．
把y＝2代入①得x＝2，所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组．