第13讲 三元一次方程组与用二元一次方程组解决问题（核心考点讲与练)-七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第13讲三元一次方程组与用二元一次方程组解决问题
（核心考点讲与练)

一．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
二．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
三．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
四．三元一次方程组的应用
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．
（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．
声

一．解三元一次方程组（共7小题）
1．（2020秋•光明区期末）解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　）
A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③
【分析】观察发现：第三个方程不含z，故前两个方程相加消去z，可将三元一次方程组转化为二元一次方程组来求解．
【解答】解：解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为①+②．
故选：A．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
2．（2021春•漳平市月考）已知，则x+y+z的值 　2021　．
【分析】方程组三个方程相加求出所求即可．
【解答】解：，
①+②+③得：3x+3y+3z＝6063，
则x+y+z＝2021．
故答案为：2021．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．（2021春•鲤城区校级月考）如果方程组的解使代数式k+x+y+z＝10，则k的值为（　　）
A．8 B．﹣8 C．1 D．﹣1
【分析】把三个方程相加求出x+y+z的值，然后再代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：，
①+②+③得：
2x+2y+2z＝18，
∴x+y+z＝9，
∵k+x+y+z＝10，
∴k+9＝10，
∴k＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解方程中整体的思想是解题的关键．
4．（2021春•道外区期末）方程组的解是 　　．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：3x+3z＝9，即x+z＝3④，
③﹣④得：4z＝4，
解得：z＝1，
把z＝1代入④得：x+1＝3，
解得：x＝2，
把z＝1代入②得：2y+3＝1，
解得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
故答案为．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．（2021春•朝阳区校级月考）小铃观察三元一次方程组各个未知数的系数特点，先用②﹣①，得3x+y＝2，记为④，消掉未知数z，那么下一步应完成的是　③﹣①　，得到　8x+2y＝6　，记为⑤，由④⑤可解得x，y的值，通过代入x，y的值求出未知数z的值，完成这个三元一次方程组的求解．
【分析】利用解三元一次方程组的基本思想﹣消元的思想，判断即可得到结果．
【解答】解：，
②﹣①，得3x+y＝2④，
③﹣①，得8x+2y＝6⑤，
由④⑤得到二元一次方程组，
解得，
把代入①得，z＝1，
所以原方程组的解为，
故答案为③﹣①，8x+2y＝6．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
6．（2021春•朝阳区校级月考）阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程3x+y＝11的一组“好解”；是方程组的一组“好解”．
（1）求方程x+2y＝5的所有“好解”；
（2）关于x，y，k的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由．
【分析】（1）分别计算y＝0、1、2对应的x的值得到方程x+2y＝5的“好解”；
（2）先利用加减消元法得到k＝6﹣2y，x＝9+y，则利用x、y、k为非负整数得到y＝0、1、2、3，然后计算出对应的x、k的值，从而得到方程组的“好解”．
【解答】解：（1）当y＝0时，x＝5；
当y＝1时，x+2＝5，解得x＝3；
当y＝2时，x+4＝5，解得x＝1，
所以方程x+2y＝5的所有“好解”为或或；
（2）有．
，
②﹣①得4y+2k＝12，则k＝6﹣2y，
①×3﹣②得2x﹣2y＝18，则x＝9+y，
∵x、y、k为非负整数，
∴6﹣2y≥0，解得y≤3，
∴y＝0、1、2，3，
当y＝0时，x＝9，k＝6；当y＝1，x＝10，k＝4；当y＝2时，x＝11，k＝2，当y＝3时，x＝12，k＝0，
∴关于x，y，k的方程组的“好解”为或或或．
【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用代入法或加减法，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后解二元一次方程组．
7．（2021春•龙山县期末）方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】②×3+③得出9x+10z＝25④，由①和④组成一个二元一次方程组，求出方程组的解，再把代入②求出y即可．
【解答】解：，
②×3+③，得9x+10z＝25④，
由①和④组成一个二元一次方程组：，
解得：，
把代入②，得10+y﹣2＝9，
解得：y＝1，
所以方程组的解是，
故选：B．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
二．二元一次方程的应用（共5小题）
8．（2022•大渡口区模拟）某食品店推出两款袋装营养早餐配料，甲种每袋装有10克花生，10克芝麻，10克核桃；乙种每袋装有20克花生，5克芝麻，5克核桃．甲、乙两款袋装营养早餐配料每袋成本价分别为袋中花生、芝麻、核桃的成本价之和．已知花生每克成本价0.02元，甲款营养早餐配料的售价为2.6元，利润率为30%，乙款营养早餐配料每袋利润率为20%．若这两款袋装营养早餐配料的销售利润率达到24%，则该公司销售甲、乙两款袋装营养早餐配料的数量之比是 　13：30　．
【分析】根据两款营养早餐的利润率及配料组成，可求出两款早餐的成本价及售价，设该公司销售甲款袋装营养早餐配料x袋，销售乙款袋装营养早餐配料y袋，根据这两款袋装营养早餐配料的销售利润率达到24%，即可得出关于x，y的二元一次方程组，化简后即可得出结论．
【解答】解：甲款营养早餐的成本价为2.6÷（1+30%）＝2（元）
1克芝麻和1克核桃的成本价之和为（2﹣0.02×10）÷10＝0.18（元），
乙款营养早餐的成本价为0.02×20+0.18×5＝1.3（元），
乙款营养早餐的售价为1.3×（1+20%）＝1.56（元）．
设该公司销售甲款袋装营养早餐配料x袋，销售乙款袋装营养早餐配料y袋，
依题意得：×100%＝24%，
化简得：30x＝13y，
∴x：y＝13：30．
故答案为：13：30．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
9．（2021秋•广南县期末）如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是﹣20、64，动点M从点A出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？


【分析】设动点M、N运动的速度分别是每秒x、y个单位长度，根据M行驶的路程+N行驶的路程＝AB的长度可列出二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：设动点M、N运动的速度分别是每秒x、y个单位长度，
∵点A、B表示的数分别是﹣20、64，
∴线段AB长为84，
∴由题意得，，
解得，
∴动点M每秒运动5个单位长度，动点N每秒运动2个单位长度．
【点评】本题属于二元一次方程组的应用﹣行程问题，解题关键是找全题干中的有用信息，找到等量关系．
10．（2021秋•九龙坡区校级期末）为了欢庆2022年春节，汪老师购买了一条18米长的彩带来装饰房间，用剪刀剪了a次，把彩带剪成了一段5米长、一段7米长和若干段相同长度（长度为整数）的彩带，则a的所有可能取值的和为（　　）
A．11 B．12 C．14 D．16
【分析】设用剪刀剪出了（a﹣1）段长度为x米（长度为整数）的彩带，根据总长度为18米长列出方程，然后求a的取值．
【解答】解：设用剪刀剪出了（a﹣1）段长度为x米（长度为整数）的彩带，
根据题意，得5+7+（a﹣1）x＝18．
整理，得x＝．
因为6≥x＞0且x为整数，
所以a的值可以为：2或3或4或7．
所以2+3+4+7＝16．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题时，需要注意，剪刀剪了a次时，彩带被剪成了（a+1）段．
11．（2021秋•同安区期末）有四个大小完全相同的小长方形和两个大小完全相同的大长方形按如图所示的位置摆放．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．求a、b满足的关系式（用含m，n的式子表示），写出推导过程．

【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意由大长方形的长度相等列出方程求出x﹣y的值，即为长与宽的差．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：m+y﹣x＝n+x﹣y，
即2x﹣2y＝m﹣n，
整理得：x﹣y＝．
答：小长方形的长与宽的差是．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程，注意整体思想的运用．
12．（2021秋•辛集市期末）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了．
②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 　2或6　元．
【分析】（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．根据买钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元建立方程，求出其解即可；
（2）①根据第一问的结论设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支，求出方程的解不是整数则说明算错了；
②设单价为21元的钢笔为z支，单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支，签字笔的单价为a元，根据条件建立方程求出其解就可以得出结论．
【解答】解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．由题意得：
30x+45（x+4）＝1755，
解得：x＝21，
∴毛笔的单价为：x+4＝25．
答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元．

（2）①设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支．根据题意，得
21y+25（105﹣y）＝2447．
解之得：y＝44.5 （不符合题意）．
∴陈老师肯定搞错了．
②设单价为21元的钢笔为z支，签字笔的单价为a元，则根据题意，得
21z+25（105﹣z）＝2447﹣a．
∴4z＝178+a，
∵a、z都是整数，
∴178+a应被4整除，
∴a为偶数，又因为a为小于10元的整数，
∴a可能为2、4、6、8．
当a＝2时，4z＝180，z＝45，符合题意；
当a＝4时，4z＝182，z＝45.5，不符合题意；
当a＝6时，4z＝184，z＝46，符合题意；
当a＝8时，4z＝186，z＝46.5，不符合题意．
所以签字笔的单价可能2元或6元．
故答案为：2元或6元．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次方程解实际问题的运用及二元一次不定方程的运用，在解答时根据题意等量关系建立方程是关键．
三．二元一次方程组的应用（共7小题）
13．（2021秋•莲湖区期末）某年级为了奖励知识竞赛的优胜者，年级组派李老师去超市买钢笔和笔记本作为奖品．该超市某品牌的笔记本每本a元，钢笔每支b元．若购买4本笔记本和2支钢笔，需70元；若购买3本笔记本和1支钢笔，则需45元．求a、b的值．
【分析】利用总价＝单价×数量，结合“若购买4本笔记本和2支钢笔，需70元；若购买3本笔记本和1支钢笔，需45元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意得：，
解得：．
答：a的值为10，b的值为15．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14．（2021秋•礼泉县期末）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低30cm，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高50cm，则每块墙砖的截面面积是（　　）

A．400cm2 B．600cm2 C．800cm2 D．900cm2
【分析】设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，观察图形，根据长方形墙砖长宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每块墙砖的截面面积．
【解答】解：设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：，
解得：，
∴xy＝45×20＝900，
∴每块墙砖的截面面积是900cm2．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．（2021秋•延庆区期末）幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．
x


4
0

﹣1
y

请将﹣4，﹣3，﹣2，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0．则x+y的值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．﹣3 D．0
【分析】根据同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0，可求出右上角、第二行的最后一个及右下角的数字，结合斜对角线及第三行的3个数相加都得0，即可得出关于x，y的二元一次方程组，再将两方程相加即可求出x+y的值．
【解答】解：∵同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0，
∴右上角的数字为0﹣0﹣（﹣1）＝1，第二行最右边的数字为0﹣0﹣4＝﹣4，
∴右下角的数字为0﹣1﹣（﹣4）＝3．
依题意得：，
①+②得：x+y+5＝0，
∴x+y＝﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16．（2021秋•宿松县期末）把1～9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则xy的值为（　　）

A．9 B．1 C．8 D．﹣8
【分析】由题意列出方程组，解方程组即可得出答案．
【解答】解：依题意得，
，
解得：，
∴xy＝19＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程组是解题的关键．
17．（2021秋•泗县期末）在当地农业技术部门指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的利润（利润＝收入﹣支出）为12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年的利润比去年多11400元．请计算：
（1）今年的利润是 　23400　元；
（2）列方程组计算小明家今年种植菠萝的收入和支出．
【分析】（1）利用今年的利润＝去年的利润+11400，即可求出结论；
（2）设小明家去年种植菠萝的收入为x元，支出是y元，利用利润＝收入﹣支出，结合小明家去年及今年种植菠萝的利润，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（1+20%）x，（1﹣10%）y中即可求出小明家今年种植菠萝的收入和支出．
【解答】解：（1）12000+11400＝23400（元）．
故答案为：23400．
（2）设小明家去年种植菠萝的收入为x元，支出是y元，
依题意得：，
解得：，
∴（1+20%）x＝（1+20%）×42000＝50400，（1﹣10%）y＝（1﹣10%）×30000＝27000．
答：小明家今年种植菠萝的收入为50400元，支出是27000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．（2021秋•郎溪县期末）明明妈妈在超市购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如表：

购买商品A的数量（个）
购买商品B的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
6
5
1030
第二次购物
9
8
1040
第三次购物
3
7
1010
（1）求出商品A、B的标价；
（2）若商品A、B的折扣相同，问该超市是打几折出售这两种商品的？
【分析】（1）由第二次购物的数量远对于其它两次且总费用相差不大可得出第二次购物商品A，B同时打折，设商品A的标价为x元、商品B的标价为y元，利用总价＝单价×数量，结合第一、三两次购物购买两种商品的数量及总费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该超市是打m折出售这两种商品的，利用总价＝单价×数量×折扣率，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意可知：第二次购物商品A，B同时打折．
设商品A的标价为x元、商品B的标价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：商品A的标价为80元、商品B的标价为110元．
（2）设该超市是打m折出售这两种商品的，
依题意得：（9×80+8×110）×＝1040，
解得：m＝6.5．
答：该超市是打6.5折出售这两种商品的．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
19．（2021秋•雁塔区校级期末）某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产7天，则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了5天，则乙组比甲组多生产200个产品；求两组每天各生产多少个产品？
【分析】设甲、乙两组每天个各生产x、y个产品，则根据若甲组先生产1天，然后两组又一起生产了7天，则两组产量一样多．若甲组先生产了300个产品，然后两组同时生产5天，则乙组比甲组多生产200个产品两个关系列方程组求解．
【解答】解：设甲、乙两组每天个各生产x、y个产品，根据题意得：
，
解得：，
答：甲组每天生产700个产品，乙组每天生产800个产品．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，关键是理清两个相等关系列方程组．
四．三元一次方程组的应用（共7小题）
20．（2020•龙沙区一模）甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为a、b、c，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是（　　）
A．甲的工作效率最高 B．丙的工作效率最高
C．c＝3a D．b：c＝3：2
【分析】由“甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量”列出方程组，可求解．
【解答】解：∵甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，
∴，
解得：，
∴b：c＝3：2，
故选：D．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找到正确的等量关系是本题的关键．
21．（2021•安徽模拟）某超市在促销活动中准备了三种小礼品共16件，16件礼品的总价为50元，三种小礼品的单价分别为2元/件、4元/件和10元/件，每种小礼品至少准备1件．已知价格为2元的小礼品a件．
（1）请用含a的代数式分别表示准备的另外两种小礼品的件数；
（2）如果准备单价为2元的小礼品的数量正好是单价为4元的小礼品的2倍，分别求出准备的三种单价小礼品的件数．
【分析】（1）根据所买数量之和为16，总价钱为50列出方程组，把m当成已知数，求得另外两种食品的件数即可；
（2）根据单价为2元的小礼品的数量正好是单价为4元的小礼品的2倍，列方程求解即可．
【解答】解：（1）设价格为4元的小礼品b件，价格为10元的小礼品c件，
由题意得：．
解得：b＝，c＝，
答：价格为4元的小礼品件，价格为10元的小礼品件；

（2）由题意得：a＝2×，
解得：a＝10，
则b＝＝5，c＝＝1，
答：价格为2元的小礼品10件，价格为4元的小礼，5件，价格为10元的小礼品1件．
【点评】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用；根据商品的总数量及总价钱得到相应的等量关系是解决本题的关键；判断出相应的整数解是解决本题的难点．
22．（2021春•西乡塘区期末）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组
解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3
把x＝1代入②得：y＝0
所以方程组的解为
（2）已知，求x+y+z的值．
解：（2）①+②得：10x+10y+10z＝40③
③÷4得x+y+z＝4
[类比迁移]
（1）直接写出方程组的解．
（2）若，求x+y+z的值．
[实际应用]打折前，买36件A商品，12件B商品用了960元．打折后，买45件A商品，15件B商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？
【分析】（1）把②代入①中即可求出答案；
（2）用①﹣②即可得出答案；
[实际应用]设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，由题意可得关于x，y的二元一次方程，变形可得45x+15y＝1200，用原价减现价即可得少花钱数．
【解答】解：（1），把②代入①中，得：
3×2+4＝2a，解得：a＝5，
把a＝5代入②中，得b＝3，
∴方程组的解为．
（2），①﹣②得：4x+4y+4z＝4，
∴x+y+z＝1．
[实际应用]设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，
根据题意得：36x+12y＝960，
两边同时乘以，得：45x+15y＝1200，
1200﹣1100＝100（元），
答：比不打折少花了100元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法、应用，三元一次方程组，根据题意类比迁移，找准等量关系是重点．
23．（2022•渝中区校级开学）为满足人们对同零食种类的需求，某超市对A、B、C三种零食进行混装，推出了甲、乙两种盒装大礼包，每盒甲装有2个A，3个B，3个C，每盒乙装有8个A，4个B，4个C，每种盒装大礼包的成本是盒中所有A、B、C的成本之和，已知每盒甲礼包的成本是每个A成本的11倍，每盒乙的利润率为25%，每盒乙的售价比每盒甲的售价高25%．11月该超市销售这两种礼包的盒数之比为5：8，总销售额为12600元，则11月超市销售甲种礼包获得的利润为 　1125　元．
【分析】设A，B，C三种零食的成本分别为x元、y元、z元，根据甲盒中所有A、B、C的成本之和是1个A的成本的11倍可得y+z＝3x，可得甲盒、乙盒成本，根据题意可求出甲盒、乙盒的售价，进而可得答案．
【解答】解：设A，B，C三种零食的成本分别为x元、y元、z元，甲盒销售a盒，乙盒销售b盒，
∵甲盒中所有A，B，C三种零食的成本之和是1个A成本的11倍，
∴甲盒成本为2x+3y+3z＝11x，
∴y+z＝3x，
∵乙盒成本为8x+4y+4z＝8x+4 （y+z）＝20x，
∵每盒乙的利润率为25%，
∴乙盒售价为20x （1+25%）＝25x，
∵每盒乙的售价比每盒甲的售价高25%，
∴甲盒售价为＝16x，
∵销售这两种礼包的盒数之比为5：8，
∴b＝a，
∵两种盒装零食的总销售额为12600元，
∴16xa+25xb＝12600，
∴16xa+xa＝12600，
∴ax＝225，11ax＝2475，
∵甲种盒装零食的成本是2475元，
∴11月超市销售甲种礼包的利润为2475×＝1125（元）．
故答案为：1125．
【点评】本题考查一元一次方程和整式乘法的应用，熟练掌握一元一次方程的解法，运用整体代入的思想是解题关键．
24．（2021秋•万州区期末）2021三峡美食文化节暨万州烤鱼节，众多商家企业携带农副土特产、特色美食、扶贫产品等参展销售．某厂家把生产的米花糖、麻花、桃片糕都按照100克一小袋包装（分别记为A、B、C），厂家推出了甲、乙两种礼盒，甲礼盒里装了2个A、1个B、1个C；乙礼盒里装了3个A、3个B、3个C，每个礼盒的总成本由盒中所有A、B、C糕点的成本之和再加上包装盒的制作成本组成．每个包装盒的制作成本与l个A的成本相同，甲礼盒的总成本是1个A的成本的15倍，每盒乙的利润率为25%，每盒甲的售价比每盒乙的售价低64%．该厂家在活动期间，通过礼盒方式销售的A、B、C的数量之比为4：3：3，则厂家销售这两种礼盒的总利润率为 　23.2%　．
【分析】解此题的重点在于依题意列方程，具体方法为，可设A、B、C的成本分别为x、y、z，包装成本则为x，可根据甲礼盒的总成本是1个A的成本的15倍的条件列出方程，求出甲、乙的成本分别为15x和40x，再根据每盒乙的利润为25%以及每盒甲的售价比每盒乙的售价低64%的条件可求出甲、乙的售价，最后再根据通过礼盒形式销售的A、B、C的数量之比为4：3：3可求出甲、乙礼盒的售出数量比例，结合售价、成本、售出数量比例等已知条件可得总利润．
【解答】解：设A、B、C的成本分别为x、y、z，
由于每个包装盒的制作成本与1个A的成本相同，
则由甲礼盒的总成本是1个A的成本的15倍可得：2x+y+z+x＝15x，
整理可得y+z＝12x，
则乙礼盒的成本为3x+3y+3z+x＝4x+3（y+z）＝4x+3×12x＝40x，
由每盒乙的利润为25%可得乙售价为40x（1+25%）＝50x，
由每盒甲的售价比每盒乙的售价低64%可得甲售价为50x（1﹣64%）＝18x，
设厂家在活动期间售出甲乙礼盒各m、n盒，
则A的销售数量为2m+3n盒，B的销售数量为m+3n盒，C的销售数量为m+3n盒，
因为活动期间销售的A、B、C的数量之比为4：3：3，
可得：＝，
整理得：m＝n，
厂家的总利润为：＝
＝
＝
＝23.2%．
答：厂家销售这两种礼盒的总利润为23.2%．
故答案为：23.2%．
【点评】本题考查一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解．
25．（2021秋•渝中区校级期末）新春佳节享团圆，吉祥如意在虎年！新年将至，某超市第一周销售吉祥、如意、团圆三种年货礼包的数量之比为3：1：4，吉祥、如意、团圆三种年货礼包的单价之比为1：5：2．第二周由于人工成本的增加，超市管理人员把如意礼包的单价在第一周的基础上上调20%，吉祥、团圆礼包的单价保持不变，预计第二周三种年货礼包的销售总额比第一周有所增加，其中团圆礼包增加的销售额占第二周总销售额的，如意礼包和团圆礼包的销售额之比是3：4，三种礼包的数量之和比第一周增加，则团圆礼包第一周与第二周的数量之比为 　4：5　．
【分析】设某超市第一周销售吉祥、如意、团圆三种年货礼包的数量为3a，a，4a，三种年货礼包的单价为b，5b，2b，则第一周销售额可得；设第二周如意年货礼包的销售数量为y，由于第二周礼包的单价在第一周的基础上上调20%，所以第二周礼包的单价为6y，销售额为6by，则团圆礼包第二周销售额为8by．利用已知条件列出方程求解即可．
【解答】解：设某超巿第一周销售吉祥、如意、团圆三种年货礼包的数量为3a，a，4a，三种年货礼包的单价为b，5b，2b，
则第二周三种年货的售价为：b，5b×1.2＝6b，2b；
设第二周三种年货的销量分别为x，y，z，
∵如意礼包和团圆礼包的销售额之比是3：4，
∴6by：2bz＝3：4，
∴z＝4y，
∴第二周团圆包增加的销售额为：2b×4y﹣2b×4a＝8b（y﹣a）．
∵团圆礼包增加的销售额占第二周总销售额，
∴b（x+14y）×＝8b（y﹣a），
∴x＝82y﹣96a，
∵三种礼包的数量之和比第一周增加，
∴x+y+z＝（3a+a+4a）×（1+），
∴82y﹣96a+y+4y＝a，
∴y：a＝5：4，
∴团圆礼包第一周与第二周的数量之比为4a：4y＝a：y＝4：5，
故答案为：4：5．
【点评】本题考查三元一次方程的应用；理解题意，能够通过所给的量之间的关系列出正确的方程是解题的关键．
26．（2021春•奉化区校级期末）为了推动我市消费市场快速回暖，加快消费水平复苏和振兴，市人民政府决定，举办“春暖瓯越•温享生活”消费券多次投放活动，每期消费券共可减68元，共5张，其中A型1张，B型2张，C型2张，如下表：
A型
B型
C型
满168元减38元
满50元减10元
满20元减5元
在此次活动中，小明父母领到多期消费券．
（1）若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，已知她用了3张A型消费券，5张B型的消费券，则用了　7　张C型的消费券．
（2）若小明父母使用消费券共减了230元．
①若他们用12张三种不同类型的消费券消费，已知C型比A型的消费券多1张，请求出他们用这三种不同类型的消费券各多少张？
②若他们共领到6期消费券（部分未使用），用A，B，C型中的两种不同类型的消费券消费，直接写出他们使用哪两种消费券各多少张．
【分析】（1）根据小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，列出算式计算即可求解；
（2）①设A型消费券x张，B型消费券y张，C型消费券z张，根据等量关系列出方程组计算即可求解；
②6期消费券有A型6张，B型12张，C型12张，找到用A，B，C型中的两种不同类型的消费券消费共减了230元的情况即可求解．
【解答】解：（1）（199﹣38×3﹣5×10）÷5＝7（张）．
故用了7张C型的消费券．
故答案为：7；
（2）①设A型消费券x张，B型消费券y张，C型消费券z张，依题意有
，
解得．
故A型消费券5张，B型消费券1张，C型消费券6张；
②6期消费券有A型6张，B型12张，C型12张，
∵38×5+10×4＝230（元），
38×5+5×8＝230（元），
∴A型消费券5张，B型消费券4张或A型消费券5张，C型消费券8张．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．

分层提分

题组A 基础过关练

一．选择题（共7小题）
1．（2021春•梁平区期末）三元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】此题是选择题不用硬求，可以将A、B、C、D四个选项分别代入三元一次方程组，看是否成立．
【解答】解：A、将A选项代入方程组得，2×1≠3×3≠6×5，故A选项错误；
B、将B选项代入方程组得，2×6≠3×3≠6×2，故B选项错误；
C、将C选项代入方程组得，2×6＝3×4＝6×2，6+2×4+2＝16．满足方程，故C选项正确；
D、将D选项代入方程组得，2×4≠3×5≠6×6，故D选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查三元一次方程解的定义和解法，解三元一次方程首先要消元，然后再对方程移项、系数化为1，求出x或y，从而求出方程组的解，此题是选择题，可以把选项代入求解，这样做题比较简单．
2．（2020春•射洪市期末）方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
③﹣①得：y＝﹣5，
把y＝﹣5代入②得：z＝﹣11，
把z＝﹣11代入①得：x＝﹣7，
则方程组的解为，
故选：C．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．（2020春•文登区期中）设＝＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设已知等式等于k，表示出x，y，z，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：设＝＝＝k，得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，
则原式＝＝．
故选：C．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2021春•邗江区期末）一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【分析】首先设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得y+2z＝7，又由x，y，z是非负整数，即可求得答案．
【解答】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得：
，
解得：y+2z＝7，
y＝7﹣2z，
∵x，y，z都是小于9的正整数，
当z＝1时，y＝5，x＝3；
当z＝2时，y＝3，x＝4；
当z＝3时，y＝1，x＝5
当z＝4时，y＝﹣1（不符合题意，舍去）
∴租房方案有3种．
故选：B．
【点评】此题考查了三元一次不定方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程组，然后根据x，y，z是整数求解，注意分类讨论思想的应用．
5．（2021•高阳县模拟）小华和小红到同一家鲜花店购买百合花与玫瑰花，他们购买的数量如下表所示，小华一共花的钱比小红少8元，下列说法正确的是（　　）

百合花
玫瑰花
小华
6支
5支
小红
8支
3支
A．2支百合花比2支玫瑰花多8元
B．2支百合花比2支玫瑰花少8元
C．14支百合花比8支玫瑰花多8元
D．14支百合花比8支玫瑰花少8元
【分析】设每支百合花x元，每支玫瑰花y元，根据总价＝单价×购买数量结合小华一共花的钱比小红少8元，即可得出关于x、y的二元一次方程，整理后即可得出结论．
【解答】解：设每支百合花x元，每支玫瑰花y元，
根据题意得：8x+3y﹣（6x+5y）＝8，
整理得：2x﹣2y＝8，
∴2支百合花比2支玫瑰花多8元．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
6．（2021秋•郫都区校级月考）某人善于理财，她以两种方式共储蓄1000元．一种储蓄的年利率为3%，另一种储蓄的年利率为4%，一年后本息和为1035元（不考虑利息税），则两种储蓄的存款分别为（　　）
A．400元，600元 B．500元，500元
C．300元，700元 D．800元，200元
【分析】设年利率为3%的储蓄存了x元，年利率为4%的储蓄存了y元，根据“两种储蓄共存了1000元，且一年后本息和为1035元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出两种储蓄的存款金额．
【解答】解：设年利率为3%的储蓄存了x元，年利率为4%的储蓄存了y元，
依题意得：，
解得：．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（2021•香坊区校级开学）将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形改变拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3m的小正方形，则每个小长方形的面积为（　　）

A．120m2 B．135m2 C．108m2 D．96m2
【分析】设每个小长方形的长为xm，宽为ym，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出小长方形的长和宽，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每个小长方形的面积．
【解答】解：设每个小长方形的长为xm，宽为ym，
依题意得：，
解得：，
∴每个小长方形的面积＝15×9＝135（m2）．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
8．（2020春•崇川区校级期末）已知xyz≠0，从方程组中求出x：y：z＝　2：7：5　．
【分析】根据方程组系数的特点，先消去未知数y，得出x与z的关系，再得出y与z的关系，最后求比值．
【解答】解：
①+②得5x﹣2z＝0，解得x＝z，
将x＝z代入②得y＝z，
∴x：y：z＝2：7：5．
故答案为：2：7：5．
【点评】本题考查了解三元一次方程组．关键是把其中一个未知数当作已知数，求另外两个未知数与这个未知数的关系．
9．（2021秋•巴南区期末）某商场销售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价20元，售价28元；乙种商品每件售价45元，利润率为50%．该商场准备用3040元购进甲、乙两种商品若干件，则将购回的商品全部出售后的最大利润是　1516元　．
【分析】根据商品利润率＝×100%，可求每件甲种商品利润率．由于乙种商品利润率高，依此即可求得最大利润．
【解答】解：设甲种商品的利润率是x%，则
20×x%＝28﹣20
x＝40%，
∵乙种商品每件售价45元，利润率为50%，
∴乙种商品利润率高，
∵乙商品的进价：45÷（1+0.5）＝30（元）
∴3040÷30＝101.10，
∴购进100件乙商品，（3040﹣100×30）÷20＝2（件）购进2件甲商品时，利润最大．
利润为：100×（45﹣30）+2×（28﹣20）＝1516（元）
故答案是：1516元．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
10．（2020春•盐都区期末）已知方程组，则a+b+c＝　2　．
【分析】方程组三方程相加即可求出所求．
【解答】解：，
①+②+③得：2（a+b+c）＝4，
则a+b+c＝2，
故答案为：2
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
11．（2021春•巩义市期末）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x﹣y＝　6　．

【分析】根据图中各行、各列上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程，化简后即可得出（x﹣y）的值．
【解答】解：依题意得：x﹣2+0＝﹣2+y+6，
∴x﹣y＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
12．（2021秋•崂山区期末）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每间每天60元，两人间每间每天50元，一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费1100元，则三人间客房租了 　10　间．
【分析】设两人间客房租了x间，三人间客房租了y间，根据旅游团的人数及一天花去住宿费的金额，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设两人间客房租了x间，三人间客房租了y间，
依题意得：，
解得：，
∴三人间客房租了10间．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13．（2021秋•细河区期末）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于 　75　cm．

【分析】设桌子的高度为xcm，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大ycm，根据图中两种放置的方式，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设桌子的高度为xcm，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大ycm，
依题意得：，
解得：．
故答案为：75．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14．（2021春•涪城区校级期末）有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共300元；若购买甲4件、乙9件、丙1件，共420元，现在购买甲1件、乙2件，共需　120　元．
【分析】设购买甲、乙、丙各一件分别需要x，y，z元，列出方程组，消去z后，得到x+2y的值，即购买甲1件、乙2件共的需钱数．
【解答】解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，根据题意得，
，
②﹣①得，x+2y＝120，
即现在购买甲1件、乙2件，共需120元．
故答案为：120．
【点评】本题考查了三元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程组，再整体求解．
三．解答题（共8小题）
15．（2020秋•文昌期末）某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间，大宿舍每间可住10人，小宿舍每间可住8人，该校420名住宿生恰好住满这50间宿舍．求大、小宿舍各有多少间．
【分析】设大宿舍有x间，小宿舍有y间，根据题意列出方程组即可解得答案．
【解答】解：设大宿舍有x间，小宿舍有y间，根据题意得：
，
解得，
答：大宿舍有10间，小宿舍有40间．
【点评】本题考查一次方程（组）的应用，解题的关键是找出等量关系列方程（组）．
16．（2021秋•长清区期末）某学校为了增强学生体质开展“阳光大课间活动”，鼓励学生加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和键子作为活动器材，已知购买2根跳绳和5个键子共需32元；购买4根跳绳和3个键子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个键子分别需要多少元？
（2）为了更好地开展好这个活动，该班需要购买18根跳绳和22个键子，请求出该班这次活动，购买的跳绳和键子共花费多少钱？
【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，利用总价＝单价×数量，结合“购买2根跳绳和5个键子共需32元；购买4根跳绳和3个键子共需36元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元．
（2）6×18+4×22
＝108+88
＝196（元）．
答：该班这次活动，购买的跳绳和键子共花费196元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17．（2021春•虹口区校级期末）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得3x﹣2z＝5④，
③×2得2x+2z＝10⑤，
④+⑤得5x＝15，
解得x＝3，
将x＝3代入③得3+z＝5，
解得z＝2，
将x＝3代入②得6﹣y＝4，
解得y＝2，
∴方程组的解为．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．（2021春•孝南区月考）解方程组：．
【分析】根据加减消元法解方程组即可．
【解答】解：，
①+②得：2a+3b＝18④，
②+③得：4a+b＝16⑤，
则，
解得：，
把a＝3，b＝4代入①得：c＝5，
所以方程组的解为：．
【点评】本题考查解三元一次方程组，解答本题的关键是明确解三元一次方程组的方法，利用消元的思想解答．
19．（2021秋•淮北月考）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示．（假设每辆车均满载）
车型
甲
乙
丙
运载量（吨/辆）
5
8
10
运费（元/辆）
450
600
700
解答下列问题：
（1）安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 　4　辆可将全部物资一次运完；
（2）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车各需多少辆？
（3）若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各需多少辆？此时总运费为多少元？
【分析】（1）设丙型车m辆可将全部物资一次运完，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设甲、乙型车各需a辆，b辆，根据物资共120吨，运费共9600元列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（3）设三种型号的车各需x辆，y辆，z辆，根据总辆数14和总吨数列出方程组，根据x，y，z都为正整数确定出值，进而求出总运费即可．
【解答】解：（1）设丙型车x辆可将全部物资一次运完，
根据题意得：5×8+8×5+10m＝120，
解得：m＝4，
则丙型车4辆可将全部物资一次运完；
故答案为：4；
（2）设甲、乙型车各需a辆，b辆，
根据题意得：，
解得：，
则甲、乙型车各需8辆，10辆；
（3）设三种型号的车各需x辆，y辆，z辆，
根据题意得：，
消去x得：3y+5z＝50，
∵x，y，z取正整数，
∴x＝2，y＝5，z＝7，
此时总运费为450×2+600×5+700×7＝900+3000+4900＝8800（元），
则三种型号的车各需2辆，5辆，7辆，此时总运费为8800元．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
20．（2021秋•双牌县期末）解诗谜：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，试求风的速度．
【分析】设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，根据顺风4分钟飞跃1000里及逆风4分钟走了600里，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可．
【解答】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，
依题意，得：，
解得：．
答：风的速度为50里/分钟．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．（2021•宁波模拟）司机小李驾车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，1小时后，看到里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过1小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位数，这三块里程碑上的数各是多少？
【分析】设第一次他看到的两位数的个位数为x，十位数为y，汽车行驶的速度为v，
【解答】解：设第一次他看到的两位数的个位数为x，十位数为y，汽车行驶的速度为v，
依题意得：，
解得：x＝6y．
又∵x，y均为1～9内的自然数，
∴x＝6，y＝1，
∴10y+x＝16，10x+y＝61，100y+x＝106．
答：第一块里程碑上的数为16，第二块里程碑上的数为61，第三块里程碑上的数为106．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
22．（2017春•青神县期末）当x＝1时，代数式ax2+bx+c的值0；当x＝﹣1时，代数式ax2+bx+c的值是﹣2；当x＝2时，代数式ax2+bx+c的值7；求当x＝﹣3时，代数式的值．
【分析】由题意得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组求出a，b，c的值，然后再将x＝﹣3代入代数式求值．
【解答】解：由题意可得：，
①+②，得：a+c＝﹣1④，
②×2+③，得：2a+c＝1⑤，
⑤﹣④，得：a＝2，
将a＝2代入①，得：2+c＝﹣1，
解得：c＝﹣3，
将a＝2，c＝﹣3代入①，得：
2+b﹣3＝0，
解得b＝1，
∴代数式为2x2+x﹣3，
当x＝﹣3时，
2x2+x﹣3
＝2×（﹣3）2+（﹣3）﹣3
＝18﹣3﹣3
＝12．
【点评】本题考查代数式求值，解三元一次方程组，根据题意列出方程组并掌握解三元一次方程组的步骤是解题关键．

题组B 能力提升练
一．选择题（共4小题）
1．三元一次方程组，消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】①﹣③得出4x+3y＝2，②+①×4得出23x+17y＝11，再得出答案即可．
【解答】解：，
①﹣③，得4x+3y＝2④，
②+①×4，得23x+17y＝11⑤，
由④和⑤组成方程组，
故选：B．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法消元是解此题的关键．
2．（2021秋•瑶海区期末）在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的情况下（注：每种方案中都有三种奖品），共有多少种购买方案（　　）
A．12种 B．13种 C．14种 D．15种
【分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数＝260；C种奖品个数为3或4个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．
【解答】解：设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，
当C种奖品个数为3个时，
根据题意得10m+20n+30×3＝260，
整理得m+2n＝17，
∵m、n都是正整数，0＜2n＜17，
∴n＝1，2，3，4，5，6，7，8；
当C种奖品个数为4个时，
根据题意得10m+20n+30×4＝260，
整理得m+2n＝14，
∵m、n都是正整数，0＜2n＜14，
∴n＝1，2，3，4，5，6；
∴有8+6＝14种购买方案．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．要注意题中未知数的取值必须符合实际意义．
3．（2021秋•苏家屯区期末）如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的周长为（　　）

A．2cm B．6cm C．12cm D．16cm
【分析】设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，由图示可得等量关系：①1个长＝3个宽，②一个长+一个宽＝8cm，列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，
由题意得：，
解得：，
则每块小长方形地砖的周长为2（x+y）＝2×（6+2）＝16（cm），
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是（　　）
A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟
【分析】设同向行驶的相邻两车的距离及车、小王的速度为未知数，等量关系为：6×车速﹣6×小王的速度＝同向行驶的相邻两车的距离；3×车速+3×小王的速度＝同向行驶的相邻两车的距离；把相关数值代入可得同向行驶的相邻两车的距离及车的速度关系式，相除可得所求时间．
【解答】解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米．
每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则6x﹣6y＝s．①
每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3x+3y＝s．②
由①，②可得s＝4x，所以．
即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用；根据追及问题和相遇问题得到两个等量关系是解决本题的关键；设出所需的多个未知数是解决本题的突破点．
二．填空题（共7小题）
5．（2020秋•邛崃市期末）当x＝﹣2时，代数式ax2+bx+c的值是5；当x＝﹣1时，代数式ax2+bx+c的值是0；当x＝1时，代数式ax2+bx+c的值是﹣4；则当x＝2时，代数式ax2+bx+c的值是　﹣3　．
【分析】根据题意列出三元一次方程组可得a、b、c的值，进而可得当x＝2时，代数式ax2+bx+c的值．
【解答】解：根据题意，得
，
解得，
∴当x＝2时，代数式ax2+bx+c的值为：
1×22+（﹣2）×2+（﹣3）＝4﹣4﹣3＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，解决本题的关键是根据题意得到方程组．
6．（2021秋•九龙坡区校级期末）俗话说“过了腊八就是年”某食品公司为迎合不同顾客的需求，在腊八节前夕推出了甲、乙、丙三种杂粮礼盒．已知甲种礼盒与乙种礼盒的成本之比为1：2，售价之比为12：25，其中卖出一盒乙礼盒的利润率为25%，卖出一盒丙礼盒的利润率为37.5%，当售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数之比为5：4：3时，公司得到的总利润率为30%，则当售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数之比为10：5：1时，该公司得到的总利润率为 　25%　．
【分析】设甲种礼盒与乙种礼盒的成本分别为a元，2a元，售价分别为12b元，25b元，求出卖出一盒甲礼盒的利润率，设甲种礼盒每盒x元，乙种礼盒每盒x元，丙种礼盒每盒y元，售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数分别为5m盒、4m盒、3m盒，由利润列方程得到y＝x．设售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数分别为10n盒、5n盒、n盒，列代数式计算即可得到答案．
【解答】解：设甲种礼盒与乙种礼盒的成本分别为a元，2a元，售价分别为12b元，25b元，
∵×100%＝25%，整理得，a＝10b，
∴×100%＝20%，
∴卖出一盒甲礼盒的利润率为20%．
设甲种礼盒每盒x元，乙种礼盒每盒x元，丙种礼盒每盒y元，售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数分别为5m盒、4m盒、3m盒，
则＝30%，
整理得，y＝x，
设售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数分别为10n盒、5n盒、n盒，
则＝25%，
故答案为：25%．
【点评】本题考查了整式的计算，一元一次方程的实际应用，根据给出的已知条件设出未知数得到方程是解题的关键．
7．（2021秋•渝北区期末）某地区有序推进疫苗接种工作，构筑新冠免疫“防护墙”．12月某天，某地区甲、乙、丙三个新冠疫苗接种点均配备了A，B，C三类疫苗，A，B，C三类疫苗每件盒数是定值．甲接种点配备A类、B类、C类疫苗分别为10件、30件、40件，乙接种点配备A类、B类、C类疫苗分别为20件、30件、20件，且甲接种点和乙接种点配备疫苗的总盒数相同．若三类疫苗每件盒数之和为95盒，且各类疫苗每件盒数均是不大于50盒的整数，C与B两类疫苗每件盒数之差大于4盒．则丙接种点分别配备A类、B类、C类疫苗分别为20件、10件、40件的总盒数为 　2200　盒．
【分析】设A类疫苗每件盒数x盒，B类疫苗每件盒数y盒，C类疫苗每件盒数z盒，由题意可得，，整理得，x＝2z，y+3z＝95，根据题意可得x≤50，y≤50，z≤50，z﹣y＞4，将z可能的取值代入解答即可．
【解答】解：设A类疫苗每件盒数x盒，B类疫苗每件盒数y盒，C类疫苗每件盒数z盒，
由题意可得，，
整理得，x＝2z，y+3z＝95①，
∵各类疫苗每件盒数均是不大于50盒的整数，C与B两类疫苗每件盒数之差大于4盒，
∴x≤50，y≤50，z≤50，z﹣y＞4，
当z﹣y＝5时，代入①中，则z＝25，
此时y＝20，x＝50；
当z﹣y＝6时，z不是整数；
当z﹣y＝9时，y＝21，x＝52，不合题意；
∴丙接种点分配的盒数为：20×50+10×20+40×25＝2200（盒）．
故答案为：2200．
【点评】本题主要考查三元一次方程的应用，此题数量关系较复杂，得出三元一次方程组，并根据题干中限制条件得出x，y，z的值是解题关键．
8．（2021秋•开州区期末）2021年11月2日，重庆市九龙坡区、长寿区分别新增1例新冠本土确诊．当疫情出现后，各级政府及有关部门高度重视，坚决阻断疫情传播．开州区赵家工业园区一家民营公司为了防疫需要，引进一条口罩生产线生产口罩，该产品有三种型号，通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售（三种型号的成本相同）．经过一个月的经营后，发现C型产品的销量占总销量的，且市三种型号的总利润率为35%．第二个月，公司决定对A型产品进行升级，升级后A型产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B型、C型产品的销量和成本均不变，且三种产品在第二个月成本基础上分别加价20%，30%，50%出售，则第二个月的总利润率为 　36%　．
【分析】由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号口罩原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意列出方程组，解得；第二个季度A产品成本为（1+25%）a＝a，B、C的成本仍为a，A产品销量为（1+20%）x＝x，B产品销量为y，C产品销量为z，则可表示第二个月的总利润率．
【解答】解：由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，
设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，
由题意得：，
解得：，
第二个季度A产品的成本提高了25%，成本为：（1+25%）a＝a，B、C的成本仍为a，
A产品销量为（1+20%）x＝x，B产品销量为y，C产品销量为z，
∴第二个季度的总利润率为：＝＝＝36%，
故答案为：36%．
【点评】本题考查了利用三元一次方程组解实际问题，正确理解题意，设出未知数列出方程组是解题的关键．
9．（2021秋•荣昌区期末）某奶茶店出售冰柠檬、双皮奶、芒果冻三种奶茶，每种奶茶包整数杯出售，星期五时该奶茶店冰柠檬、双皮奶、芒果冻三种奶茶的售价均为整数，且芒果冻的售价是其余两款奶茶售价之和的3倍，同时芒果冻的售价不小于27元且小于39元，当天三种奶茶售出数量之比为3：2：1．星期六时该奶茶店把部分奶茶涨价销售，其中冰柠檬售价不变，双皮奶售价为星期五的2倍，芒果冻售价比星期五上升了，星期六冰柠檬与芒果冻销量之比4：5，双皮奶比星期五销量减少20%，奶茶店结算发现，星期五的总销售额比星期六冰柠檬和芒果冻的销售额多517元，星期五三种奶茶的总销售量与星期六三种奶茶总销售量之差大于88杯且小于116杯，这两天芒果冻的总销售额为 　2025　元．
【分析】设星期五时冰柠檬、双皮奶、芒果冻三种奶茶的售价分别为x，y，z元，销售量分别为a，b，c杯，根据题意得：，星期六时，冰柠檬、双皮奶、芒果冻三种奶茶的售价分别为x，2y，z元，销售量分别为a′，b′，c′杯，根据题意得：，根据星期五的总销售额比星期六冰柠檬和芒果冻的销售额多517元，以及x，y的范围求得x，y以及z的值，根据星期五三种奶茶的总销售量与星期六三种奶茶总销售量之差大于88杯且小于116杯，根据a，b，c，a′，b′，c′之间的关系求得c，c′的值，进而求得两天芒果冻的总销售额．
【解答】解：设星期五时冰柠檬、双皮奶、芒果冻三种奶茶的售价分别为x，y，z元，销售量分别为a，b，c杯，
根据题意得：，
则9≤x+y＜13，a＝3c，b＝2c，
则a+b+c＝6c，
星期六时，冰柠檬、双皮奶、芒果冻三种奶茶的售价分别为x，2y，4/3z元，销售量分别为a′，b′，c′杯，
根据题意得：，
则a′＝c′，b′＝b＝c，
∵星期五的总销售额比星期六冰柠檬和芒果冻的销售额多517元，
∴ax+by+cz﹣（a′x+c′z ）＝517，
∴ax+by+cz＝3cx+2cy+3c（x+y）＝c（6x+5y），
a′x+c′z＝c′x+c′•3（x+y）＝c′（6x+5y），
∴ax+by+cz﹣（a′x+c′z ）
＝c（6x+5y）﹣c′（6x+5y）
＝（6x+5y） （c﹣c′），
即517＝（6x+5y） （c﹣c′），
∵x+y＜13，y＞0，x＞0，
∴0＜x＜13，
∵9≤x+y＜13，
∴45＜5x+5y＜65，
∴0＜6x+5y＜78，
∵571＝1l×47＝1×517，
∴，
∴y＝，
∵x，y均为正整数，
∴或，
∵9≤x+y＜13，
∴，
则z＝3（ x+y）＝27，
∵星期五三种奶茶的总销售量与星期六三种奶茶总销售量之差大于88杯且小于116杯，
∴88＜|（a+b+c）﹣（a+by+c）|＜116，
∵a+b+c＝6c，a′+b′+c′＝c′+c，
∴c﹣c′＝11，
∴（a+b+c）﹣（a′+b′+c′）＝+c′，
即88＜+c′＜116，
化简得：23＜c′＜39，
∵c＝c′+11是整数，
∴c′是5的倍数，
则c′＝25，30，35，
∴c＝31，35，39，
又∵a′+b′+c′＝c′+c＞0，且为整数，
则，
∴cz+c′＝35×27+×27×30＝2025，
∴两天芒果冻的总销售额为2025元，
故答案为：2025．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，整除，理清题中数量关系是解题的关键．
10．（2018秋•沙坪坝区校级期末）“驴友”小明分三次从M地出发沿着不同的线路（A线，B线，C线）去N地．在每条线路上行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登这三种．他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等．B线、C线路程相等，都比A线路程多32%，A线总时间等于C线总时间的，他用了3小时穿越丛林、2小时涉水行走和2小时攀登走完A线，在B线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比A线上升了20%，50%，50%，若他用了x小时穿越丛林、y小时涉水行走和z小时攀登走完C线，且x，y，z都为正整数，则＝　　．
【分析】因为他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等，所以可以假设涉水行走的速度为3nkm/h与攀登的速度为2nkm/h，穿越丛林的速度为mkm/h．由题意：，可得m＝5n，5x+3y+2z＝33 ①，x+y+z＝14 ②，由①②消去z得到：3x+y＝5，求出整数解即可解决问题．
【解答】解：∵他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等，
∴可以假设涉水行走的速度为3nkm/h与攀登的速度为2nkm/h，穿越丛林的速度为mkm/h．
由题意：，
可得m＝5n，5x+3y+2z＝33 ①
∵x+y+z＝14 ②，
由①②消去z得到：3x+y＝5，
∵x，y是正整数，
∴x＝1，y＝2，z＝11，
∴＝＝，
故答案为．
【点评】本题考查三元一次方程组，解题的关键是理解题意，学会利用参数方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
11．（2018秋•南岸区校级期末）由菜鸟网络打造的一个仓库有相同数量的工人和机器人，均为x名（其中x＞5），平时每天都只工作8小时，每名机器人每小时加工包裹（分、拣、包装一体化）的数量是每名工人每小时加工包裹数量的2倍．随着“春节”临近，人工短缺，寄年货的包裹增多，公司决定再增加2名机器人，且将机器人每天工作时间延长至12小时，并对每名机器人进行升级改造，让现在每名机器人每小时加工包裹的数量在原有基础上增加x个，结果现在所有机器人每天加工包裹的数量是所有工人平时每天加工包裹数量的6倍，则该仓库平时一天加工　864　个包裹．
【分析】设工人每小时加工y个包裹，则改造前机器人每小时加工2y个包裹，改造后机器人每小时加工（2y+x）个包裹，依题意，得：12（x+2）（2y+x）＝6×8xy，推出x2+4y﹣2xy+2x＝0，可得y＝＝＝+＝+＝+3+，根据x是大于5的整数，y是整数，推出x＝6，y＝6，有由此即可解决问题．
【解答】解：设工人每小时加工y个包裹，则改造前机器人每小时加工2y个包裹，改造后机器人每小时加工（2y+x）个包裹，
依题意，得：12（x+2）（2y+x）＝6×8xy，
∴x2+4y﹣2xy+2x＝0，
∴y＝＝＝+＝+＝+3+，
∵x是大于5的整数，y是整数，
∴x＝6，y＝6，
∴该仓库平时一天加工6×6×8+6×12×8＝864（个），
故答案为864．
【点评】本题考查二元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会求二元一次方程方程的整数解，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共6小题）
12．（2021•饶平县校级模拟）已知方程组的解满足方程x+y＝10，求k．
【分析】根据题意，由x+y＝10和2x+y＝8，求出x、y的值，然后把x、y的值代入3kx+2y＝6k，即可求出k的值．
【解答】解：∵x+y＝10①，2x+y＝8②，
由①﹣②得：x＝﹣2，y＝12，
把x、y的值代入3kx+2y＝6k得：﹣6k+24＝6k，
解得k＝2．
【点评】本题考查三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
13．（2020春•仁寿县校级期末）解方程组．
【分析】先将三元一次方程化为二元一次方程组，再化为一元一次方程即可解答本题．
【解答】解：
①+②，得
4x+8z＝12④
②×2+③，得
8x+9z＝17⑤
④×2﹣⑤，得
7z＝7
解得，z＝1，
将z＝1代入④，得
x＝1，
将x＝1，z＝1代入①，得
y＝2．
故原方程组的解是．
【点评】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是明确消元的数学思想，会解三元一次方程组．
14．（2022春•秀英区校级月考）2022北京冬奥会已于19日圆满结束，北京冬（残）奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”引起广大网友的喜爱．王老师想要购买两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需150元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元．求两种纪念品的单价．
【分析】设“冰墩墩”的单价为x元，“雪容融”的单价为y元，由题意：购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需150元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元．二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设“冰墩墩”的单价为x元，“雪容融”的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：“冰墩墩”的单价为55元，“雪容融”的单价为40元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
15．（2022•大渡口区模拟）阅读：一个两位数，若它刚好等于它各位数字之和的整数倍，我们称这个两位数为本原数；把一个本原数的十位数字、个位数字交换后得到一个新的两位数，我们称这个新的两位数为本原数的奇异数．
（1）一本原数刚好是组成它的两个数字之和的4倍．请写出符合条件的所有本原数；
（2）一本原数刚好等于组成它的数字之和的3倍，它的奇异数刚好是两个数字之和的k倍．请问k的值是多少？
（3）一个本原数刚好等于组成它的数字之和的m倍，它的奇异数刚好是这个数的数字之和的n倍，试说明m和n的关系．
【分析】（1）设本原数的十位数字为x，个位数字为y，由题意：一本原数刚好是组成它的两个数字之和的4倍，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
（2）设本原数的十位数字为m，个位数字为n，由题意：一本原数刚好等于组成它的数字之和的3倍，它的奇异数刚好是两个数字之和的k倍，分别列出二元一次方程和一元一次方程，求出二元一次方程的正整数解，即可解决问题；
（3）设本原数的十位数字为a，个位数字为b，由题意：一个本原数刚好等于组成它的数字之和的m倍，它的奇异数刚好是这个数的数字之和的n倍，列出二元一次方程组，即可解决问题．
【解答】解：（1）设本原数的十位数字为x，个位数字为y，
由题意得：10x+y＝4（x+y），
整理得：y＝2x，
∵x、y为正整数，且x＜10，y＜10，
∴或或或，
∴符合条件的所有本原数为12或24或36或48；
（2）设本原数的十位数字为m，个位数字为n，
由题意得：10m+n＝3（m+n），
整理得：n＝m，
∵m、n为正整数，且m＜10，n＜10，
∴，
∴本原数为27，
∵本原数的奇异数刚好是两个数字之和的k倍，
∴k（2+7）＝72，
∴k＝8，
即k的值是8；
（3）m+n＝11，理由如下：
设本原数的十位数字为a，个位数字为b，
由题意得：，
①+②得：（a+b）（m+n）＝11（a+b），
∴m+n＝11．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程和一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
16．（2021春•思明区校级月考）宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，菜杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售．打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅．
（1）若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值；
（2）当销售总收入为16760元时，
①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮；
②若杨梅大户留下b（b＞0）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值．
【分析】（1）根据收入共8600元，可得出一元一次方程，解出即可；
（2）①设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y 篮，根据等量关系可得出方程组，解出即可；
②设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，根据等量关系可得出关于m和n的方程组，根据n为正整数，可以求出b的大致范围以及b为9的倍数，从而得到b的值．
【解答】解：（1）由题意，得 160a+270a＝8600，
解得：a＝20，
答：a的值为20．
（2）①设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y 篮，
由题意，得，
解得：，
答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮．
②设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，
则，
解这个关于m和n的方程组，可得：
，
∵n为正整数，
∴＞0，且b应为9的倍数，
解得：，
又∵b＞0，
∴b的值为9或18．
答：b的值为9或18．
【点评】本题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解，难度一般．
17．（2021秋•沈河区期末）某商店从某公司批发部购100件A种商品，80件B种商品，共花去2800元．在商店零售时，每件A种商品加价15%，每件B种商品加价10%，这样全部卖出后共收入3140元，问A、B两种商品买入时的单价各为多少元？
【分析】设A商品买入时的单价为x元，B商品买入时的单价为y元，根据购100件A种商品，80件B种商品，共花去2800元，加价之后卖出后共收入3140元，据此列方程组求解．
【解答】解：设A商品买入时的单价为x元，B商品买入时的单价为y元，
由题意得，，
解得：．
答：A商品买入时的单价为12元，B商品买入时的单价为20元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．