江苏七年级数学下学期期中精选50题（提升版）-七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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江苏七年级数学下学期期中精选50题（提升版）

一．选择题（共6小题）
1．（2021•饶平县校级模拟）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（　　）

A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
【分析】设AB＝x，AD＝y，根据题意列出方程x2+y2＝17，2（x+y）＝10，利用完全平方公式即可求出xy的值．
【解答】解：设AB＝x，AD＝y，
∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2
∴x2+y2＝17，
∵矩形ABCD的周长是10cm
∴2（x+y）＝10，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴25＝17+2xy，
∴xy＝4，
∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，
故选：B．
【点评】本题考查正方形与矩形的性质，解题的关键是设AB＝x，AD＝y，利用完全平方公式求出xy的值．
2．（2021春•西塞山区期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　）

A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A
【分析】利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论．
【解答】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．
C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
3．（2021春•亭湖区校级期中）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图所示叠放，使BC∥DE，∠BAD的度数为（　　）

A．60° B．45° C．30° D．15°
【分析】由平行线的性质与三角形内角和定理作答．
【解答】解：如图，AD交BC于点F，

∵DE∥BC，
∴∠AFC＝∠D＝90°，
∴∠AFB＝180°﹣∠AFC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质与三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握平行线的性质与三角形内角和定理．
4．（2020秋•海陵区期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，不能用它们搭成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm
C．3cm，4cm，5cm D．5cm，6cm，7cm
【分析】用三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边进行判断．
【解答】解：∵三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边，
∴组成三角形的线段需满足两条线段的和大于第三条线段，
A、1cm+2cm＝3cm，不能搭成三角形，故A符合题意，
B、2cm+3cm＞4cm，3cm﹣2cm＜4cm，能搭成三角形，故B不符合题意，
C、3cm+4cm＞5cm，4cm﹣3cm＜5cm，能搭成三角形，故C不符合题意，
D、5cm+6cm＞7cm，6cm﹣5cm＜7cm，能搭成三角形，故C不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查构成三角形的条件，关键是掌握两边之和大于第三边，两边只差小于第三边．
5．（2021春•吴江区期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，∠CEG＝2∠DCB，且∠DFB＝∠CGE．下列结论：①EG∥BC，②CG⊥EG，③∠ADC＝∠GCD，④CA平分∠BCG．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①正确．利用平行线的性质证明即可；
②正确．首先证明∠CBF＝∠CBA，∠BCF＝∠BCA，再利用三角形的外角的性质解决问题即可；
③正确．利用同角的余角相等得到∠ECG＝∠ABC，再根据直角三角形的性质可得；
④错误．假设AC平分∠BCG，再得到与图形不符的结论即可解决问题．
【解答】解：①∵CD平分∠ACB，
∴∠BCA＝2∠DCB，
∵∠CEG＝2∠DCB，
∴∠CEG＝∠BCA，
∴EG∥BC，故①正确；
②∵△ABC的角平分线CD、BE相交于F，
∴∠CBF＝∠CBA，∠BCF＝∠BCA，
∵∠A＝90°，
∴∠CBA+∠BCA＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝45°，即∠DFB＝45°，
∵∠DFB＝∠CGE，
∴∠CGE＝90°，即CG⊥EG．故②正确；
③∵CG⊥EG，
∴∠G＝90°，
∴∠GCE+∠CEG＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠BCA+∠ABC＝90°，
∵∠CEG＝∠ACB，
∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠ADC＝∠ABC+∠DCB，∠GCD＝∠ECG+∠ACD，∠ACD＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠GCD，故③正确；
④假设CA平分∠BCG，则∠ECG＝∠ECB＝∠CEG，
∴∠ECG＝∠CEG＝45°，显然不符合题意，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（2021春•常熟市期中）如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（　　）

A．3 B． C． D．6
【分析】由△ABC的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．
【解答】解：∵S△ABC＝BC•hBC＝AC•hAC＝18，
∴S△ABC＝（BD+CD）•hBC＝（AE+CE）•hAC＝18，
∵AE＝CE＝AC，S△AEB＝AE•hAC，S△BCE＝EC•hAC，
∴S△AEB＝S△CEB＝S△ABC＝×18＝9，
即S△AEF+S△ABF＝9①，
同理：∵BD＝2CD，BD+CD＝BC，
∴BD＝BC，S△ABD＝BD•hBC，
∴S△ABD＝S△ABC＝×18＝12，
即S△BDF+S△ABF＝12②，
①﹣②得：S△BDF﹣SAEF＝（S△BDF+S△ABF）﹣（S△AEF+S△ABF）＝12﹣9＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换．
二．填空题（共28小题）
7．（2021秋•长沙期末）随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.00000000034m，用科学记数法表示是　3.4×10﹣10　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000000034＝3.4×10﹣10，
故答案为：3.4×10﹣10
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8．（2021春•栾城区期末）已知3m＝8，3n＝2，则3m+n＝　16　．
【分析】逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解．
【解答】解：∵3m＝8，3n＝2，
∴3m+n＝3m•3n＝8×2＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟记同底数幂相乘，底数不变指数相加并灵活运用是解题的关键．
9．（2021秋•玉州区期末）若am＝2，an＝3，则a3m+2n＝　72　．
【分析】利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形，进而求出答案．
【解答】解：∵am＝2，an＝3，
∴a3m+2n
＝（am）3×（an）2
＝23×32
＝72．
故答案为：72．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．
10．（2021春•镇江期中）（﹣0.25）100×4101＝　4　．
【分析】先转化为指数都是100的幂的乘法，再逆运用积的乘方的性质进行计算即可求解．
【解答】解：（﹣0.25）100×4101
＝（﹣0.25）100×4100×4
＝（﹣0.25×4）100×4
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了积的乘方的性质，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键，转化为同指数的幂相乘是逆运用性质的前提．
11．（2020•高青县二模）若am＝8，an＝2，则am﹣2n的值是　2　．
【分析】同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．逆用同底数幂的除法法则以及积的乘方法则，即可得到结果．
【解答】解：∵am＝8，an＝2，
∴am﹣2n＝am÷a2n＝am÷（an）2＝8÷22＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法法则以及积的乘方法则，解决问题的关键是逆用这两个法则．
12．（2021春•鼓楼区期中）计算：（2x+1）（x﹣3）的结果是　2x2﹣5x﹣3　．
【分析】利用多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，计算即可．
【解答】解：原式＝2x2﹣6x+x﹣3
＝2x2﹣5x﹣3．
故答案是：2x2﹣5x﹣3．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．熟练掌握法则是解题的关键，注意不要漏项，漏字母，有同类项的要合并同类项．
13．（2021春•吴江区期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝18，ab＝12，则阴影部分的面积为　144　．
【分析】将阴影部分的面积表示为两个正方形的面积之和减去△ABD和△BFG的面积，再利用配方法将多项式变形后，整体代入即可求解．
【解答】解：阴影部分的面积为：
S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABD﹣S△BFG
＝
＝
＝
＝
＝．
∵a+b＝18，ab＝12，
∴阴影部分的面积为：＝144．
∴阴影部分的面积为 144．
故答案为：144．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，正方形，等腰直角三角形，三角形的面积，利用配方法将多项式变形，利用整体代入的思想求值是解题的关键．
14．（2021秋•抚远市期末）若x2+kx+25是完全平方式，那么k的值是　±10　．
【分析】根据完全平方公式，即可解答．
【解答】解：∵x2+kx+25是完全平方式，
∴k＝±2×5＝±10，
故答案为：±10．
【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
15．（2021春•安丘市期末）若多项式x2﹣（k+1）x+9是完全平方式，则k＝　5或﹣7　．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【解答】解：∵多项式x2﹣（k+1）x+9是完全平方式，
∴k+1＝±6，
解得：k＝5或﹣7，
故答案为：5或﹣7．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．（2020秋•江汉区期末）将两张边长分别为6和5的正方形纸片按图1和图2的两种方式放置在长方形ABCD内，长方形ABCD内未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中的阴影面积为S1，图2中的阴影面积为S2，当AD﹣AB＝3时，S2﹣S1的值是　15　．

【分析】根据题意和图形，可以分别表示出S2和S1，然后作差，再根据AD﹣AB＝3，即可解答本题．
【解答】解：设AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，
则S1＝6（AB﹣6）+（CD﹣5）（BC﹣6）＝6（x﹣6）+（x﹣5）（y﹣6），
S2＝6（BC﹣6）+（BC﹣5）（CD﹣6）＝6（y﹣6）+（y﹣5）（x﹣6），
∴S2﹣S1
＝6（y﹣6）+（y﹣5）（x﹣6）﹣6（x﹣6）﹣（x﹣5）（y﹣6）
＝6y﹣36+xy﹣6y﹣5x+30﹣6x+36﹣xy+6x+5y﹣30
＝5y﹣5x
＝5（y﹣x），
∵AD﹣AB＝3，
∴y﹣x＝3，
∴原式＝5×3＝15，
故答案为：15．

【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
17．（2021秋•龙凤区期中）两位同学将同一个二次三项式进行因式分解时，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4），则原多项式因式分解的正确结果是：　（x﹣3）2　．
【分析】根据两位同学的结果确定出原多项式，分解即可．
【解答】解：根据题意得：（x﹣1）（x﹣9）＝x2﹣10x+9，（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8，
原多项式为x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
故答案为：（x﹣3）2．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（2021春•姑苏区期中）已知a+b＝，ab＝，并满足a＞b，则a2﹣b2＝　　．
【分析】将a+b＝两边平方，运用完全平方公式展开，求出，再利用公式求出（a﹣b）2．
【解答】解：∵a+b＝，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
＝
＝，
∵a＞b，
∴a﹣b＝，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题综合运用完全平方公式和平方差公式解决问题，熟练掌握公式是关键．
19．（2020秋•奉化区校级期末）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝　110　°．

【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，可以得到∠2的度数，本题得以解决．
【解答】解：由折叠的性质可得，∠1＝∠3，
∵∠1＝55°，
∴∠1＝∠3＝55°，
∵长方形纸片的两条长边平行，
∴∠2＝∠1+∠3，
∴∠2＝110°，
故答案为：110．

【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（2021秋•黄冈期中）如图，以AD为高的三角形共有 　6　个．

【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故答案为：6
【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．
21．（2021春•静安区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t＝　1.5s或5s或9s　，△APE的面积等于6．

【分析】分为3种情况讨论：当点P在AC上时：当点P在BC上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可．
【解答】解：如图1，当点P在AC上，
∵△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，
∴CE＝4，AP＝2t．
∵△APE的面积等于6，
∴S△APE＝AP•CE＝×2t×4＝6，
∴t＝1.5；
如图2，当点P在线段CE上，
∵E是DC的中点，
∴BE＝CE＝4．
∴PE＝4﹣（t﹣3）＝7﹣t，
∴S＝EP•AC＝•（7﹣t）×6＝6，
∴t＝5，
如图3，当P在线段BE上，
同理：PE＝t﹣3﹣4＝t﹣7，
∴S＝EP•AC＝•（t﹣7）×6＝6，
∴t＝9，
综上所述，t的值为1.5或5或9；
故答案为：1.5或5或9．



【点评】本题考查了直角三角形的性质的运用及动点运动问题，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．
22．（2021秋•邗江区期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC是特异三角形，∠A＝36°，∠B为钝角，则符合条件的∠B度数为 　108°，126°，132°　．
【分析】分四种情况：①当AB＝BD＝DC时，②当AD＝AB，DB＝DC时，③当AD＝DB，DC＝CB④当AB＝BD，AD＝DC时，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质分别求解即可．
【解答】解：如图，当AB＝BD＝DC时，

∵∠A＝36°，
∴∠ADB＝36°，
∴∠C+∠DBC＝36°，
∴∠C＝18°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C
＝180°﹣36°﹣18°
＝126°；
如图，当AD＝AB，DB＝DC时，

∵∠A＝36°，
∴∠ADB＝72°，
∴∠C＝36°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C
＝180°﹣36°﹣36°
＝108°；
如图，当AD＝DB，DC＝CB，

∵∠A＝36°，
∴∠CDB＝∠CBD＝72°，
∴∠ABC＝72°+36°＝108°，
如图，当AB＝BD，AD＝DC时，

则∠BAD＝∠BDA，∠DAC＝∠C，
∴∠C+∠DAC＝∠ADB＝∠BAD，
∵∠BAC＝36°，
∴∠BAD+∠DAC＝36°，
∴∠C+∠C+∠C＝36°，
∴∠C＝12°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣36°﹣12°＝132°，
综上，符合条件的∠B度数为：108°、126°、132°，
故答案为：108°、126°、132°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，运用分类讨论的思想是解题的关键．
23．（2021春•姑苏区校级期中）在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动（不与点G重合），过点D作DE∥AC交AB于点E，∠EDB的角平分线所在直线交AB于点H，交射线AG于点F，则∠B与∠AFD之间的数量关系是　∠AFD＝90°﹣∠B　．

【分析】利用角平分线的定义可得∠BAF＝∠BAC，∠HDB＝∠EDB，由于DE∥AC，则∠EDB＝∠C，可得∠HDB＝∠C；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AHF＝∠B+∠HDB，在△AHF中，利用三角形的内角和定理列出关系式后整理即可得出结论．
【解答】解：∵AG平分∠BAC，
∴∠HAF＝∠BAC．
∵DH平分∠EDB，
∴∠HDB＝∠EDB．
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C．
∴∠HDB＝∠C．
∵∠AHF为△HDB的外角，
∴∠AHF＝∠B+∠HDB．
在△AHF中，由三角形的内角和定理可得：
∠BAF+∠AHF+∠AFD＝180°．
∴∠BAC+∠B+∠HDB+∠AFD＝180°．
∴∠BAC+∠B+∠C+∠AFD＝180°．
∵在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC+∠C＝90°﹣∠B．
∴90°﹣∠B+∠B+∠AFD＝180°．
∴∠B+∠AFD＝90°．
∴∠AFD＝90°﹣∠B．
故答案为：∠AFD＝90°﹣∠B．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及其推论，角平分线的定义，平行线的性质．充分利用三角形的内角和等于180°是解题的关键．
24．（2021春•亭湖区校级期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝45°；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是　①②③　（填序号）．

【分析】根据角平分线的性质，垂直的性质及三角形内角和定理依次判断求解．
【解答】解：∵EG∥BC，且CG⊥EG于G，
∴∠BCG+∠G＝180°，
∵∠G＝90°，
∴∠BCG＝180°﹣∠G＝90°，
∵∠GEC+∠GCE＝90°，∠BCA+∠GCE＝90°，
∴∠GEC＝∠BCA，
∵CD平分∠BCA，
∴∠GEC＝∠BCA＝2∠DCB，
∴①正确．
∵CD，BE平分∠BCA，∠ABC，
∴∠BFD＝∠BCF+∠CBF＝（∠BCA+∠ABC）＝45°，
∴②正确．
∵∠GCE+∠ACB＝90°，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠GCE＝∠ABC，
∵∠GCD＝∠GCE+∠ACD＝∠ABC+∠ACD，
∠ADC＝∠ABC+∠BCD，
∴∠ADC＝∠GCD，
∴③正确．
∵∠GCE+∠ACB＝90°，
∴∠GCE与∠ACB互余，
∴④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查平行线的性质与三角形内角和及外角定理，解题关键是熟练掌握以上性质及定理．
25．（2021秋•黄石期末）如图，△ABC的内角∠ABC的平分线BP与外角∠ACD的平分线CP交于点P，连接AP，若∠BPC＝46°，则∠CAP＝　44　°．

【分析】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，由角平分线的定义可得∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，从而可得PF＝PM，根据三角形的外角性质得∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，由三角形的内角和性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．
【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，如图所示：

设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝46°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣46°）﹣（x°﹣46°）＝92°，
∴∠CAF＝88°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝44°．
故答案为：44．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解决问题的关键．
26．（2021•汉台区一模）若正多边形的一个外角等于36°，那么这个正多边形的边数是　10　．
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
【解答】解：正多边形的一个外角等于36°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷36°＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．
27．（2021春•江都区期中）如图，直线m与∠AOB的一边射线OB相交，∠3＝120°，向上平移直线m得到直线n，与∠AOB的另一边射线OA相交，则∠2﹣∠1＝　60°　．

【分析】作OC∥m，如图，利用平移的性质得到m∥n，则判断OC∥n，根据平行线的性质得∠1＝∠OBC＝30°，∠2+∠AOC＝180°，从而得到∠2+∠3的度数．
【解答】解：作OC∥m，如图，
∵直线m向上平移直线m得到直线n，
∴m∥n，
∴OC∥n，
∴∠1＝∠BOC，∠2+∠AOC＝180°，∠AOC＝∠3﹣∠1，
∴∠2+∠3﹣∠1＝180°，
∴∠2﹣∠1＝180°﹣120°＝60°，
故答案为：60°．

【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
28．（2021春•龙湖区期末）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为 　6　cm2．

【分析】利用平移的性质求出阴影部分矩形的长，宽即可解决问题．
【解答】解：由题意，阴影部分是矩形，长为5﹣2＝3（cm），宽为3﹣1＝2（cm），
∴阴影部分的面积＝2×3＝6（cm2），
故答案为6．
【点评】本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
29．（2021春•仪征市期末）如图，将△ABE向右平移3cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是　22　cm．

【分析】根据平移的性质可得DF＝AE，然后判断出四边形ABFD的周长＝△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵△ABE向右平移3cm得到△DCF，
∴DF＝AE，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+DF+AD+EF
＝AB+BE+AE+AD+EF
＝△ABE的周长+AD+EF．
∵平移距离为3cm，
∴AD＝EF＝3cm，
∵△ABE的周长是16cm，
∴四边形ABFD的周长＝16+3+3＝22cm．
故答案为：22．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
30．（2021春•鼓楼区期中）如图是A型卡片（边长为a的正方形）、B型卡片（长为a、宽为b的长方形）、C型卡片（边长为b的正方形）．现有4张A卡片，11张B卡片，7张C卡片，选用它们无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是　①③④　．（只填序号）
①可拼成边长为a+2b的正方形；
②可拼成边长为2a+3b的正方形；
③可拼成长、宽分别为2a+4b、2a+b的长方形；
④用所有卡片可拼成一个大长方形．

【分析】①②③利用完全平方公式和多项式乘多项式法则求出要拼成的图形的面积，各项系数即为各型号卡片的个数．
④所有卡片面积和为4a2+11ab+7b2，将此多项式因式分解即可．
【解答】①（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，要用A型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片4张，
所以可拼成边长为a+2b的正方形．
②（2a+3b）2＝4a2+12ab+9b2，要用A型卡片4张，B型卡片12张，C型卡片9张，
因为B型卡片只有11张，C型卡片只有7张，
所以不能拼成边长为2a+3b的正方形．
③（2a+4b）（2a+b）＝4a2+2ab+8ab+4b2＝4a2+10ab+4b2，
可得A型卡片4张，B型卡片10张，C型卡片4张，
所以可拼成长、宽分别为2a+4b、2a+b的长方形．
④所有卡片面积和为4a2+11ab+7b2＝（4a+7b）（a+b）．
所以所有卡片可拼长长为（4a+7b），宽为（a+b）的长方形．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了整式乘法、分解因式与几何图形之间的联系，解题时注意利用数形结合和熟记公式是解题的关键．
31．（2021秋•如皋市期中）小丽在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+＝　2　．
【分析】根据平方差公式解决此题．
【解答】解：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+
＝
＝×
＝
＝
＝
＝
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
32．（2021春•玄武区校级期中）若（2x﹣3）x+3﹣1＝0，则x＝　﹣3或2或1　．
【分析】根据任何非零数的零次幂等于1以及﹣1的偶次幂为1计算即可．
【解答】解：∵（2x﹣3）x+3﹣1＝0，
∴（2x﹣3）x+3＝1，
①当x+3＝0，即x＝﹣3时，（﹣9）0＝1；
②当2x﹣3＝1，即x＝2时，15＝1；
③当2x﹣3＝﹣1，即x＝1时，（﹣1）4＝1；
故答案为﹣3或2或1．
【点评】本题主要考查了零次幂和﹣1的偶次幂，熟记相关定义是解答本题的关键．
33．（2021春•奉化区校级期末）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动　30或110　秒，两灯的光束互相平行．

【分析】设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据2t＝1•（30+t），可得 t＝30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110．
【解答】解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD，
∴2t＝1•（30+t），
解得 t＝30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN＝180°，
∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝110，
综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行．


【点评】本题考查平行线的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
34．（2021春•邗江区期中）已知△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数为　10°、50°、130°　．

【分析】分三种情况讨论：①当CE⊥BC时，②当CE⊥AB于F时，③当CE⊥AC时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：①如图1，当CE⊥BC时，

∵∠A＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝80°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠CBE＝ABC＝40°，
∴∠BEC＝90°﹣40°＝50°；
②如图2，当CE⊥AB于F时，

∵∠ABE＝∠ABC＝40°，
∴∠BEC＝90°+40°＝130°；
③如图3，当CE⊥AC时，

∵∠CBE＝40°，∠ACB＝40°，
∴∠BEC＝180°﹣40°﹣40°﹣90°＝10°．
综上所述，∠BEC的度数为10°、50°、130°．
故答案为：10°、50°、130°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的画出图形是解题的关键．
三．解答题（共16小题）
35．（2021春•莱山区期末）若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2x•23＝32，求x的值；
（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；
（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答】解：（1）∵2x•23＝32，
∴2x+3＝25，
∴x+3＝5，
∴x＝2；
（2）∵2÷8x•16x＝25，
∴2÷23x•24x＝25，
∴21﹣3x+4x＝25，
∴1+x＝5，
∴x＝4；
（3）∵x＝5m﹣2，
∴5m＝x+2，
∵y＝3﹣25m，
∴y＝3﹣（5m）2，
∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确计算的前提．
36．（2021春•邗江区期中）已知（ax）y＝a6，（ax）2÷ay＝a3
（1）求xy和2x﹣y的值；
（2）求4x2+y2的值．
【分析】（1）利用积的乘方和同底数幂的除法，即可解答；
（2）利用完全平方公式，即可解答．
【解答】解：（1）∵（ax）y＝a6，（ax）2÷ay＝a3
∴axy＝a6，a2x÷ay＝a2x﹣y＝a3，
∴xy＝6，2x﹣y＝3．
（2）4x2+y2＝（2x﹣y）2+4xy＝32+4×6＝9+24＝33．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，以及完全平方公式，解决本题的关键是熟记相关公式．
37．（2020春•高港区期中）（1）已知am＝2，an＝3，求①am+n的值；②a3m﹣2n的值
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可；
（2）把各个数字化为以2为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可．
【解答】解：（1）①am+n＝am•an
＝2×3＝6；
②a3m﹣2n＝a3m÷a2n
＝（am）3÷（an）2
＝23÷32
＝；
（2）∵2×8x×16＝223
∴2×（23）x×24＝223，
∴2×23x×24＝223，
∴1+3x+4＝23，
解得：x＝6．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则以及除法法则．
38．（2021秋•常宁市期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab　；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝，则x﹣y＝　±4　；
（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．

【分析】（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，将x+y＝5，x•y＝代入计算即可得出答案；
（3）将等式（2019﹣m）+（m﹣2020）＝﹣1两边平方，再根据已知条件及完全平方公式变形可得答案．
【解答】解：（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∵x+y＝5，x•y＝，
∴52﹣（x﹣y）2＝4×，
∴（x﹣y）2＝16
∴x﹣y＝±4，
故答案为：±4；
（3））∵（2019﹣m）+（m﹣2020）＝﹣1，
∴[（2019﹣m）+（m﹣2020）]2＝1，
∴（2019﹣m）2+2（2019﹣m）（m﹣2020）+（m﹣2020）2＝1，
∵（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，
∴2（2019﹣m）（m﹣2020）＝1﹣15＝﹣14；
∴（2019﹣m）（m﹣2020）＝﹣7．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式并数形结合是解题的关键．
39．（2021春•镇江期中）把完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1；所以（a+b）2＝9，2ab＝2：所以a2+b2+2ab＝9，
2ab＝2；得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若2m+n＝3，mn＝1，则2m﹣n＝　±1　；
②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝　13　．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝4，两正方形的面积和S1+S2＝12，求图中阴影部分面积．

【分析】（1）根据完全平方公式的变形为xy＝代入计算即可；
（2）①根据（2m﹣n）2＝（2m+n）2﹣8mn，再代入计算即可；
②换元后，依据（2）①的做法即可求出答案；
（3）将题意转化为：已知x2+y2＝12，x+y＝4，求xy的值，依据上述方法进行解答即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝6，
∴（x+y）2＝36，
即x2+2xy+y2＝36，
又∵x2+y2＝20，
∴20+2xy＝36，
∴xy＝8；
（2）①∵2m+n＝3，mn＝1，
∴（2m﹣n）2＝（2m+n）2﹣8mn
＝32﹣1＝1，
∴2m﹣n＝±1，
②设A＝4﹣m，B＝5﹣m，
则A•B＝6，A﹣B＝﹣1，
∴A2+B2＝（A﹣B）2+2AB
＝1+12
＝13，
即（4﹣m）2+（5﹣m）2＝13；
故答案为：①±1，②13；
（3）设AC＝x，BC＝y，则S1＝x2，S2＝y2，
∵S1+S2＝12，
∴x2+y2＝12，
又∵AB＝4＝x+y，
∴S阴影＝xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]
＝（42﹣12）
＝2，
答：图中阴影部分面积为2．
【点评】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，掌握多项式乘多项式的计算方法以及完全平方公式的结构特征是解决问题的前提．
40．（2021春•南京期中）探究活动：

（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是　a2﹣b2　（写成两数平方差的形式）；
（2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是　（a+b）（a﹣b）　（写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　．
知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：
（4）计算：（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）；
（Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）．
【分析】（1）图①的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2；
（2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b）可表示面积；
（3）由（1）（2）所表示的面积相等，可得等式；
（4）应用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），所以面积为（a+b）（a﹣b）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）（2）可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c]
＝（a+b）2﹣（2c）2
＝a2+2ab+b2﹣4c2；
（Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）
＝[b+（2a﹣3c）][b﹣（2a﹣3c）]
＝b2﹣（2a﹣3c）2
＝b2﹣4a2+12ac﹣9c2．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
41．（2021秋•南召县期末）先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m2+m﹣2＝0．
【分析】先算乘方，再算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝4m2﹣1﹣（m2﹣2m+1）+8m3÷（﹣8m）
＝4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2
＝2m2+2m﹣2
＝2（m2+m）﹣2，
∵m2+m﹣2＝0，
∴m2+m＝2，
当m2+m＝2时，原式＝2×2﹣2＝2．
【点评】本题考查整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
42．（2021•大庆模拟）先化简，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）+（x﹣3）（x﹣1），其中x＝3．
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘多项式算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）+（x﹣3）（x﹣1）
＝x2﹣2x+1+x2﹣4+x2﹣x﹣3x+3
＝3x2﹣6x，
当x＝3时，原式＝3×32﹣6×3＝27﹣18＝9．
【点评】本题考查了整式的混合运算与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
43．（2021春•秦淮区校级期中）先化简，再求值：（3a﹣2b）（2a+3b）﹣（3a+2b）2﹣a（a﹣2b），其中|a+|+|b+1|＝0．
【分析】先根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，完全平方公式算乘法，再合并同类项，求出a、b的值，再求出答案即可．
【解答】解：原式＝6a2+9ab﹣4ab﹣6b2﹣（9a2+12ab+4b2）﹣a2+2ab
＝6a2+9ab﹣4ab﹣6b2﹣a2﹣6ab﹣2b2﹣a2+2ab
＝ab﹣8b2，
∵|a+|+|b+1|＝0，
∴a+＝0，b+1＝0，
解得：a＝﹣，b＝﹣1，
当a＝﹣，b＝﹣1时，原式＝﹣（﹣1）﹣8×（﹣1）2＝﹣7．
【点评】本题考查了绝对值的非负性，整式的混合运算与求值等知识点，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
44．（2021春•玄武区期中）把下列各式分解因式：
（1）ax3﹣16ax；
（2）（2x﹣3y）2﹣2x（2x﹣3y）+x2；
（3）（m2+1）2﹣4m2．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式即可；
（2）利用完全平方公式，再化简即可；
（3）先利用平方差公式，再利用完全平方公式．
【解答】解：（1）原式＝ax（x2﹣16）＝ax（x+4）（x﹣4）；
（2）原式＝（2x﹣3y﹣x）2＝（x﹣3y）2；
（3）原式＝（m2+1+2m）（m2+1﹣2m）＝（m+1）2（m﹣1）2．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
45．（2021春•奉化区校级期末）因式分解：
（1）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2；
（2）16a2b﹣16a3﹣4ab2；
（3）（x2﹣4x）2+8（x2﹣4x）+16．
【分析】（1）用平方差公式分解．
（2）先提公因式，再用公式．
（3）用完全平方公式分解．
【解答】解：（1）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2
＝（5a+5b）2﹣（3a﹣3b）2．
＝（5a+5b+3a﹣3b）[5a+5b﹣（3a﹣3b）]
＝（8a+2b）（2a+8b）．
＝4（4a+b）（a+4b）．
（2）16a²b﹣16a3﹣4ab2
＝﹣4a（4a²﹣4ab+b²）
＝﹣4a（2a﹣b）²
（3）原式＝（x2﹣4x+4）2
＝[（x﹣2）2]2
＝（x﹣2）4
【点评】本题考查综合方法因式分解，数学平方差和完全平方公式是求解本题的关键．
46．（2021春•广陵区校级期中）阅读材料并回答问题：如图，有足够多的边长为a的小正方形卡片（A类）、长为a宽为b的长方形卡片（B类）以及边长为b的大正方形卡片（C类），发现利用图①中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．

（1）取图①中卡片若干张（A、B、C三种卡片都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虚框Ⅰ中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝　2a2+5ab+2b2　．
（2）取图①中卡片若干张（A、B、C三种卡片都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．
①你的图中需要A类、B类、C类卡片共 　12　张．
②根据图形，可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为 　（a+2b）（a+3b）　．
（3）试在虚框Ⅱ中画出一个几何图形，结合面积表示，把多项式b2﹣3ab+2a2因式分解．

【分析】（1）根据长方形的长和宽得出每个图形的个数，然后再根据图②的提示拼出长方形，把每个图形的面积都加起来即是长方形的面积；
（2）①根据a2+5ab+6b2可得出A类、B类、C类的个数；
②由长方形的面积公式即可得出结论；
（3）根据多项式b2﹣3ab+2a2可确定A类、B类、C类的个数，然后把它们拼成一个长方形，再由长方形的面积公式即可因式分解．
【解答】解：（1）拼出一个长为2b+a，宽为2a+b的长方形需要A类图形2个，B类图形5个，C类图形2个，
拼出的长方形如下：

根据图象可知，
长方形的面积为2a2+5ab+2b2，
∴（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为2a2+5ab+2b2；
（2）①由a2+5ab+6b2可得需要A类、B类、C类图形共1+5+6＝12个，
故答案为12；
②∵一个A类图形，5个B类图形，6个C类图形可拼如下图形，

由图象可知，长方形的面积可表示为（a+2b）（a+3b），
∴a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b），
故答案为（a+2b）（a+3b）；
（3）根据b2﹣3ab+2a2可知需要A类图象2个，B类图形3个，C类图形一个，
拼出的图形如下：

由图象可知b2﹣3ab+2a2＝（b﹣a）（b﹣2a）．
【点评】本题主要考查整式的乘法运算和因式分解的应用，关键是要牢记多项式乘以多项式的法则，理解因式分解的概念．
47．（2021春•仪征市期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）判断28，50是否为“神秘数”？如果是，请写成两个连续偶数平方差的形式；
（2）观察上式，猜想“神秘数”是4的倍数吗？并说明理由．
【分析】（1）结合新定义，直接可以判断28是“神秘数”，可以设50是“神秘数”，根据新定义，列出方程，无整数解，即可否定；
（2）利用新定义，列出“神秘数”的表达式，因式分解，即可解决．
【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，
∴28是“神秘数”，
设50＝（2k+2）2﹣（2k）2，
∴8k+4＝50，
∴k＝，
∴2k不是整数，
故50不是“神秘数”，
即28是“神秘数”，且28＝82﹣62，
50不是“神秘数”；
（2）“神秘数”是4的倍数，理由如下：
∵（2k+2）2﹣（2k）2＝8k+4＝4（2k+1），
∵2k+1是奇数，
∴4（2k+1）是4的倍数，
故“神秘数”是4的倍数．
【点评】本题考查了因式分解的应用，理解新定义的原理是解决本题的关键．
48．（2021春•常熟市期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．
（1）由图1可得乘法公式　（a+b）2＝a2+2ab+b2　；
（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　；
（3）利用（2）中的结论解决以下问题：
已知a+b+c＝13，ab+bc+ac＝52，求a2+b2+c2的值；
（4）如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD，BF，若m+n＝12，mn＝24，求图3中阴影部分的面积．

【分析】（1）用两种方法表示同一个图形面积即可．
（2）用两种方法表示图中正方形面积即可．
（3）找到三个代数式的关系，整体代换求值．
（4）先表示阴影部分面积，再求值．
【解答】（1）解：图1正方形的面积可以表示为：a2+2ab+b2．
又可以表示为：（a+b）2．
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）图2中正方形的面积可以表示为：（a+b+c）2．
还可以表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（3）由（2）知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc
＝169﹣2（ab+ac+bc）
＝169﹣104
＝65．
（4）S阴影＝m2+n2﹣n（m+n）
＝m2+n2﹣mn
＝[（m+n）2﹣3mn]
＝（122﹣72）
＝36．
【点评】本题考查用面积表示代数恒等式，用两种不同方法表示同一个图形面积是求解本题的关键．
49．（2020秋•饶平县校级期末）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
【分析】（1）先根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可；
（2）先根据幂的乘方法则将原式化为x2n的幂的形式然后代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵m+4n﹣3＝0
∴m+4n＝3
原式＝2m•24n
＝2m+4n
＝23
＝8．
（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，
＝43﹣2×42，
＝32，
【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法．运用整体代入法是解题的关键．
50．（2021春•玄武区期中）观察下列各式：
（x﹣1）÷（x﹣1）＝1；
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1．
根据上面各式的规律可得（　xn+1﹣1　）÷（x﹣1）＝xn+xn﹣1+…+x+1；利用规律完成下列问题：
（1）52021+52020+52019+…+51+1＝　　；
（2）求（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）的值．
【分析】根据各式规律即可确定出所求；
（1）仿照题目中规律，将x＝5，n＝2021代入后再等式变形即可；
（2）将x＝﹣3，n＝20代入题目中发现的规律，再等式变形计算即可求出答案．
【解答】解：由题意得：xn+1﹣1；
（1）将x＝5，n＝2021代入得：
（52022﹣1）÷（5﹣1）＝52021+52020+52019+…+51+1，
∴52021+52020+52019+…+51+1＝＝．
（2）将x＝﹣3，n＝20代入得：
[（﹣3）21﹣1]÷（﹣3﹣1）＝（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）+1，
∴（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）
＝＝．
【点评】本题主要考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题