2023年中考数学二轮复习必会几何模型剖析--4.4 “托勒密”模型（与圆有关的模型）（精品课件）

这是一份2023年中考数学二轮复习必会几何模型剖析--4.4 “托勒密”模型（与圆有关的模型）（精品课件），共14页。PPT课件主要包含了∴AC5，∴代入可得，代入可得等内容，欢迎下载使用。

1.托勒密定理原文∶圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.翻译：在四边形ABCD中,若A,B,C,D四点共圆,则AC·BD=AB·CD+AD·BC.
证明：在线段BD上取点E,使得∠BAE=∠CAD,易证△AEB∽△ADC,∴AB:AC=BE:CD,即AC·BE=AB·CD，当∠BAE=∠CAD时,可得:∠BAC=∠EAD，易证△ABC∽△AED,∴AD:AC=DE:CB,即AC·DE=AD·BC，∴AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC, ∴AC·BD=AB·CD+AD·BC.
证明:如图1,在平面中取点E使得∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠ACD,易证△ABE∽△ACD,AB:AC=BE:CD,即AC·BE=AB·CD①,连接DE,如图2，∵AB:AC=AE:AD,∴AB:AE=AC:AD,又∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE，∵△ABC∽△AED,∴AD:AC=DE:BC,即AC·DE=AD·BC②,将①+②得：AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC，∴AC·BD≤AC(BE+DE)=AB·CD+AD·BC即AC·BD≤AB·CD+AD·BC,当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号.
2.推广(托勒密不等式):对于任意凸四边形ABCD,有AC·BD≤AB·CD+AD·BC
3.托勒密定理在中考题中的应用(1)当△ABC是等边三角形时,如图1,当点D在弧AC上时,根据托勒密定理有：DB·AC=AD·BC+AB·CD,又等边△ABC有AB=AC=BC,故有结论：DB=DA+DC.
证明：在BD上取点E使得DE=DA,易证△AEB∽△ADC，△AED∽△ABC,利用对应边成比例.可得：DB=DA+DC.
如图2,当点D在弧BC上时,结论：DA=DB+DC.
【小结】虽然看似不同,但根据等边的旋转对称性,图1和图2并无区别.
【分析】关于托勒密定理的简单探究.(1)由∠BAC=120º可得∠BDC=60º,∵AD平分∠BAC,BD=CD,∴BD=CD, 即△BCD是等边三角形.∴AD=AB+AC.(2)过点B作BE⊥AD于点E,易证△BED∽△BAC, ∴DE:AC=BD:BC,即DE·BC=AC·BD,易证△BEA∽△BDC, ∴AE:DC=AB:BC,即AE·BC=AB·CD.∴DE·BC+AE·BC=AC·BD+AB·CD,∴AD·BC=AB·CD+AC·BD. 若∠BAC=90º,则∠BDC=90º,∵BD=CD,∴△BCD是等腰直角三角形,即√2AD=AB+AC.∴BD:CD:BC=1:1:√2.(3)CD=BD=4,根据托勒密定理,可得5AD=4AB+4AC,【说明】托勒密定理在解题不可直接使用,用前需证明.
2.(1)方法选择如图1,四边形ABCD内接于⊙0,AB=BC=AC,求证:BD=AD+CD.小颖认为可用截长法证明:在DB上截取DM=AD,连接AM…,小军认为可用补短法证明:延长CD至点N,使得DN=AD…,请你选择一种方法证明.(2)类比探究【探究1】如图2,四边形ABCD内接于⊙0,连接AC,BD,BC是⊙0的直径,AB=AC.求线段AD,BD,CD之间的数量关系,并证明该结论.【探究2】如图3,四边形ABCD是OO的内接四边形,连接AC,BD.若BC是OO的直径,ABC=30º,求线段AD,BD,CD之间的等量关系.(3)拓展猜想如图4,四边形ABCD是OO的内接四边形,连接AC,BD.若BC是OO的直径,BC:AC:AB=a:b:c,求线段AD,BD,CD之间的等量关系式.
【分析】材料探究,不妨按照材料思路探究.
按小军的思路：延长CD至点N使得DN=DA,易证△ABD≌△CAN,BD=CN,∵CN=CD+DN=CD+DA,∴BD=AD+CD.
(1)按小颖的思路:在DB上截取DM=DA,则△ADM是正三角形, 易证△AMB≌△ADC(SAS), ∴MB=DC,∴BD=DM+BM=AD+CD.
(2)在BD上取点E使得BE=CD,易证△ABE≌△ACD,且△ADE是等腰直角三角形,∴可得BD=CD+√2AD
(3)根据∠ABC=30º可得AC:AB:BC=1:√3:2, 由托勒密定理可知：BD=√3CD+2AD.
(4)由托勒密定理可知：b·BD=a·AD+c·CD.
3.数学课上,老师出示了问题：如图1,AC,BD是四边形ABCD的对角线,若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60º,则线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?小明展示了一种正确的思路：如图2,延长CB到E,使BE=CD,连接AE,证得△ABE≌△ADC,易证△ACE是等边三角形,故AC=OE,∴AC=BC+CD；小亮展示了另一种正确的思路：如图3,将△ABC绕着点A逆时针旋转60º,使AB与AD重合,易证△ACF是等边三角形,∴AC=CF,∴AC=BC+CD.
在此基础上,同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图4,如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60º”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45º”,其它条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小颖提出的问题,请你写出结论,并给出证明.
【分析】分析出共圆,是使用托勒密定理的前提. (1)结论：√2AC=BC+CD.证明：过点B作BE⊥AC于点E, 易证△BEC∽△BAD,△BEA∽△BCD.
(2)小华提出：如图5,如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60º”改为“∠CB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”,其它条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小华提出的问题,请你写出结论,不用证明.
(2)考虑∠ACB=∠ADB,∴A、B、C、D四点共圆,过点A作AH⊥BD交BD于H点，csα=BH:BA=0.5BD:BA, ∴AB:AD:BD=1:1:2csα,∴2csa·AC=BC+CD.
【分析】先得到四点共圆.
(1)根据AC+BC=√2CD,代入数据可得：CD=3.
(2)连接AC,由(1)中结论可知√2CD=AC+BC,
∵AB=13,BC=12,
【拓展规律】(3)如图4,∠ACB=∠ADB=90º,AD=BD,若AC=m,BC=n(m＜n),求CD的长.(用含m,n的代数式表示)
(3)根据∠ACB=∠ADB=90º,可得A,B,C,D四点共圆,
∴AD·BC=AC·BD+CD·AB，