初中数学苏科版九年级下册5.1 二次函数课时练习

这是一份初中数学苏科版九年级下册5.1 二次函数课时练习，共53页。试卷主要包含了已知抛物线y＝mx2﹣mx+1等内容，欢迎下载使用。
2023年春九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》解答题专题训练（附答案）
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝+bx﹣1与x轴交于点A和点B（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，已知tan∠CAB＝．
（1）求顶点P和点B的坐标；
（2）将抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线与y轴交于点M，求点M的坐标和△APM的面积；
（3）在（2）的条件下，如果点N在原抛物线的对称轴上，当△PMN与△ABC相似时，求点N的坐标．
2．已知抛物线y＝mx2﹣mx+1．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当抛物线与x轴两交点的距离是4时，求抛物线的顶点坐标；
（3）如果抛物线与x轴仅有一个公共点A，过点（0，3）作直线l平行于x轴，在对称轴右侧的抛物线上任取一点P，过点P向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在点D，使得△PDE是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点P的横坐标．
3．如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
（1）直接写出点B的坐标（ 　 　，　 　）和直线BC的解析式 　 　；
（2）点D是抛物线对称轴上一点，点E为抛物线上一点，若以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求点E的横坐标；
（3）如图2，直线l∥BC，直线l交抛物线于点M、N，直线AM交y轴于点P，直线AN交y轴于点Q，点P、Q的纵坐标为yP，yQ，求证：yP+yQ的值为定值．


4．如图，已知点A（﹣4，0），点B（﹣2，﹣1），直线y＝2x+b过点B，交y轴于点C，抛物线y＝ax2+x+c经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ACD＝，求点D的坐标；
（3）平面内任意一点P，与点O距离始终为2，连接PA，PC．直接写出PA+PC的最小值．

5．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积最大；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝﹣x﹣1与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D（5，﹣6），已知P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标．

7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点D是抛物线上位于直线BC上方的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，BD，若∠ABD＝∠ACB，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线AD平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

8．如图，二次函数y＝ax2+4的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝1．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图，直线y＝﹣x+3分别交x，y轴于点B，C，经过点B，C的抛物线y＝ax2+2x+c与x轴的另一交点为点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接AP，交BC于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）若点F在x轴上，点G在抛物线的对称轴上，以点B，C，F，G为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标．

10．如图，已知抛物线y＝（x﹣t）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），直线y＝﹣x+3与x轴和y轴分别交于C，D两点．

（1）若抛物线经过点D，且A点的坐标是（3，0），求抛物线的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，点P是在直线DC下方二次函数图象上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，△CDP的面积最大，并求出最大面积；
（3）当1≤x≤3时，抛物线对应的函数有最小值3，求t的值．


11．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D（1，4），点E是抛物线BD段上一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接ED，EA，过点A作AF∥DE交y轴于点F，连接DF交AE于G，若△EDG与△AFG的面积相等，求点E的坐标；
（3）如图2，点P是线段CD上一点，连接PE，始终满足PE∥x轴，过点E作EQ∥y轴交线段BC于点Q，连接PQ，若△CPQ和△EPQ的面积相等，求证：∠CQP＝∠EQP．

12．如图，抛物线C：y＝ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D．
（1）求a的值及顶点D的坐标；
（2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线C1的表达式；
（3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标．

13．抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PB+PC最小，求出P点坐标；
（3）在线段AC上找一点M，使△AOM∽△ABC，请你直接写出点M的坐标；
（4）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

14．综合与探究
如图，抛物线与y轴交于点A（0，8），与x轴交于点B（6，0），C，过点A作AD∥x轴与抛物线交于另一点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AB，点P为AB上一个动点，由点A以每秒1个单位长度的速度沿AB运动（不与点B重合），运动时间为t，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ与t的函数关系式；
（3）点M是y轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M，N，使得以B，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

15．如图，直线y＝x+m与x轴交于点A，与抛物线y＝ax2+bx+c交于抛物线的顶点C（1，4），抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点是点B（3，0），点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的一个动点．
（1）m＝　 　；点A的坐标是 　 　；抛物线的解析式是 　 　；
（2）如图2，若点P在第一象限，当S△ACP：S△ABP＝1：1时，求出点P的坐标；
（3）如图3，CP所在直线交x轴于点D，当△ACD是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

16．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，过点O的抛物线交x轴的正半轴于点A，直线y＝x与抛物线交于点B，且点B的横坐标为5．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点C在第一象限的抛物线上，连接OC，AC，设点C的横坐标为t，△OAC的面积为S，求S与t的函数解析式；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CD⊥AC，交第二象限的抛物线于点D，连接AD，分别交OC和y轴于E，F两点，过点E作EG∥y轴，连接CG并延长，交y轴于点H，连接DH，FG．若∠OCD＝2∠AOC，DH∥FG，求线段DH的长．

17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过点P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时P点坐标；
（3）将该抛物线向右平移个单位得到新抛物线y′，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图1，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上第四象限内的一个动点，连接PA交BC于点N．
（1）求直线BC的解析式；
（2）当PN＝AN时，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，过点P作PD⊥x轴于点D，连接CD，再将y轴右侧的抛物线沿直线CD翻折，交y轴于点H，求点H的坐标．

19．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2﹣5x+c经过A、B、C三点，D为y轴上一动点，过点D作y轴的垂线与直线AB交于点E，与抛物线交于点F、G两点（F在G的左侧）．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）在点D运动的过程中，若O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，试求点D的坐标；
（3）如图2，当点D运动到点B上时（即B与D重合），有一点M在线段AB的上方且∠AMB＝135°，连接MG，请直接写出线段MG的最小值．

20．抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于C点．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，设M是抛物线上的一点，若∠MAB＝45°，求M点的坐标；
（3）如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，过P点作PF⊥BC，交BC于F点，△PEF的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标；若不存在，说明理由．


参考答案
1．解：（1）根据题意可画出函数图象，
令x＝0可得y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），即OC＝1．
在Rt△AOC中，tan∠CAB＝，
∴＝，
∴OA＝3，
∴A（3，0）．
将点A的坐标代入抛物线解析式可得，×32+3b﹣1＝0，解得b＝﹣．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x﹣1＝（x﹣1）2﹣．
∴顶点P（1，﹣），
令y＝0，即（x﹣1）2﹣＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴B（﹣1，0）．

（2）将（1）中抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线y＝（x﹣3）2﹣．
令x＝0，则y＝．
∴M（0，）．
连接AP并延长交y轴于点D，
∴直线AP的解析式为：y＝x﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴S△APM＝（xA﹣xP）•MD＝×（3﹣1）×（+2）＝．

（3）在△ABC中，A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣1），tan∠CAB＝，
∴AB＝4，AC＝．
如图，过点M作MQ垂直于原抛物线的对称轴，
∴MQ＝1，PQ＝+＝3，
∴tan∠MPQ＝＝，PM＝．
∴∠MPQ＝∠CAB，
若△PMN与△ABC相似，则PM：PN＝AB：AC或PM：PN＝AC：AB，
设N（1，t），则PN＝t+，
∴：（t+）＝4：或：（t+）＝：4，
解得t＝或t＝．

∴N（1，）或（1，）．
2．解：（1）∵x＝﹣＝﹣＝，
∴抛物线的对称轴是直线x＝；
（2）∵对称轴为x＝，抛物线与x轴两交点的距离是4，
∴对称轴右边的与x轴的交点坐标为：2+＝，
∴﹣m+1＝0，
∴m＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的顶点坐标为（，）；
（3）令y＝0，mx2﹣mx+1＝0，
由题意得，Δ＝0，
∴m2﹣4m＝0，
∴m1＝4，m2＝0（舍去），
∴抛物线的解析式为y＝4x2﹣4x+1，
如图1，

当点P在l的下方时，作DF⊥PE于F，
当DF＝EF＝PF时，△PDE是等腰直角三角形，
设P（a，4a2﹣4a+1），
∴PE＝2DF＝2（a﹣）＝2a﹣1，
∴P点的纵坐标为3﹣（2a﹣1）＝4﹣2a，
∴4a2﹣4a+1＝4﹣2a，
∴a1＝，a2＝（舍去），
如图2，

当点P在l上方时，
此时P的纵坐标为：3+（2a﹣1）＝2a+3，
∴4a2﹣4a+1＝2a+3，
∴a3＝，a4＝（舍去），
综上所述：P点横坐标为：或．
3．（1）解：当y＝0时，﹣﹣＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设BC的关系式是：y＝kx﹣2，
∴0＝4k﹣2，
∴k＝，
∴y＝，
故答案为4，0；y＝；
（2）解：如图1，

若▱BCED，
∵0+﹣，
∴点E的横坐标为﹣，
如图2，

若▱BCDE，
∵4+＝，
∴E点横坐标为，
如图3，

若▱CEBD，
∵4﹣＝，
∴点E的横坐标为，
综上所述：E点横坐标是﹣或或；
（3）证明：如图4，

yP+yQ＝﹣2，理由如下：
设点M（m，﹣﹣2），N（n，﹣﹣2），
∵MN∥BC，
∴KMN＝kBC＝，
∴＝，
∴m+n＝4，
作MG⊥y轴于G，作NH⊥x轴于H，
∴OA∥MG，
∴△POA∽△PGM，
∴＝，
∴＝，
∴yP＝m﹣2，
同理可得，
yQ＝﹣2，
∴yP+yQ＝+﹣2＝（m+n）﹣4＝﹣2．
4．解：（1）由题意得，
﹣1＝2×（﹣2）+b，
∴b＝3，
∴直线AC的解析式是：y＝2x+3，
∴C（0，3），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式是：y＝+；
（2）如图1，

作AF⊥CD于F，作EF⊥y轴于F，作AG⊥EF于G，
∵tan∠ACO＝，tan∠ACD＝，
∴∠ACD＝∠ACO，
∴CE＝OC＝3，AE＝OB＝3，
可得：△EFC∽△AGE，
∴＝＝，
设CF＝x，则AG＝OF＝3+x，
∴EF＝＝（x+3），
在Rt△EFC中，由勾股定理得，
x2+[]2＝32，
∴x1＝，x2＝﹣3（舍去），
∴EF＝，OF＝，
∴E（﹣，），
∴直线CD的解析式是：y＝﹣x+3，
由＝﹣得，
x3＝0（舍去），x4＝﹣，
当x＝﹣时，y＝﹣×（﹣）+3＝，
∴D（﹣，）；
（3）如2，

∵点O距离始终为2，
∴点P在以O为圆心，2为半径的圆O上运动，
在OA上取OI＝1，
∵∠POI＝∠AOP，＝，
∴△POI∽△AOP，
∴，
∴PI＝AP，
∴PA+PC＝PI+PC，
∴当C、P、I共线时，PI+PC最小，此时P在线段AI与⊙O的交点P′处，
PI+PC＝CI，
在Rt△COI中，
CI＝＝＝，
∴PA+PC的最小值是．
5．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+1；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+1，
过P点作PH∥y轴交BC于点H，连接PC，PB，
设P（t，﹣t2+t+1），则H（t，﹣t+1），
∴PH＝﹣t2+t，
∴S△PBC＝3×（﹣t2+t）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，S△PBC的面积最大值为，
此时P（，）；
（3）存在点Q，使∠BQC＝∠BAC，理由如下：
∵y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣1）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A（﹣1，0），C（0，1），
∴OA＝OC，
∴∠CAO＝45°，
作△ABC的外接圆M，⊙M与对称轴的交点为Q，
∴∠BQC＝∠CAB＝45°，
设M（1，m），
∴MC＝MB，
∴1+（m﹣1）2＝4+m2，
∴m＝1，
∴M（1，﹣1），
∴MB＝，
∴MQ＝，
∴Q（1，﹣1﹣）．


6．解：（1）∵直线l：y＝﹣x﹣1过点A，
∴A（﹣1，0），
又∵D（5，﹣6），
将点A，D的坐标代入抛物线表达式可得：，
解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4．
（2）如图，

设点P（x，﹣x2+3x+4），
∵PE∥x轴，PF∥y轴，
则E（x2﹣3x﹣5，﹣x2+3x+4），F（x，﹣x﹣1），
∵点P在直线l上方的抛物线上，
∴﹣1＜x＜5，
∴PE＝|x﹣（x2﹣3x﹣5）|＝﹣x2+4x+5，PF＝|﹣x2+3x+4﹣（﹣x﹣1）|＝﹣x2+4x+5，
∴PE+PF＝2（﹣x2+4x+5）＝﹣2（x﹣2）2+18．
∵﹣1＜x＜5，
∴当x＝2时，PE+PF取得最大值，最大值为18．
（3）由（1）可求NC＝5，
∵NC是所求平行四边形的一边，
∴NCPM，设点p（t，﹣t2+3t+4），则M（t，﹣t﹣1），
由题意知：|yP﹣yM|＝5，即|﹣t2+3t+4+t+1|＝5．
化简得：t2﹣4t＝0或t2﹣4t﹣10＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝4，，．
则符合条件的M点有三个：，．
7．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+3．
（2）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∵B（0，4），
∴OB＝4，OC＝3，
∴BC＝5，
∴BC＝AB＝5，
∴∠ACB＝∠CAB，
∵∠ABD＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠CAB，
∴tan∠ABD＝tan∠CAB＝3．
设点D的坐标为（x，﹣x2+x+3），
如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则BE＝4﹣x，DE＝﹣x2+x+3，

∴tan∠ABD＝＝3，
解得x＝3．
∴D（3，3）．
（3）设直线AD的解析式为：y＝kx+n，把点A，D的坐标代入得，
，
解得．
∴直线AD的解析式为：y＝x+．
∵MN＝AD＝5，
∴tan∠MAP＝．
①如图，若MN＝MP＝5，则∠PMN＝90°，

tan∠MAP＝＝．
∴AM＝，即m1＝．
②如图，若NM＝NP＝5，则∠MNP＝90°，

tan∠MAP＝＝．
∴AN＝，
∴AM＝AN﹣MN＝．即m2＝．
③如图，若PM＝NP，则∠NPM＝90°，

过点P作PQ⊥AN于点Q，则PQ＝MN＝，
tan∠MAP＝＝．
∴AQ＝，
∴AM＝AQ﹣MQ＝．即m3＝．
综上所述，m＝，，时，△PMN是等腰直角三角形．
8．解：（1）∵二次函数y＝ax2+4的图象与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，4），
∵二次函数y＝ax2+4的图象与x轴交于点A，tan∠OAC＝1．
∴∠CAO＝45°，
∴OA＝OC＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，0），
∴0＝a（﹣4）2+4，
∴a＝﹣，
∴这二次函数的解析式为y＝﹣x2+4；
（2）连接OD，作DE∥y轴，交x轴于点E，DF∥x轴，交y轴于点F，如图1所示，

∵⊙O与直线AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∵OA＝OC＝4，
∴点D是AC的中点，
∴DE＝OC＝2，DF＝OA＝2，
∴点D的坐标为（﹣2，2）；
（3）直线OD的解析式为y＝﹣x，如图2所示，

则经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y＝﹣x﹣4，
解方程组，
消去y，得x2﹣4x﹣32＝0，即（x﹣8）（x+4）＝0，
∴x1＝8，x2＝﹣4（舍去），
∴y＝﹣12，
∴四边形ODAP1是直角梯形，点P1的坐标为（8，﹣12）；
∵直线AC的解析式为y＝x+4，
则经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y＝x，
解方程组，
消去y，得x2+4x﹣16＝0，即x＝﹣2+2，
∴x1＝﹣2﹣2，x2＝﹣2+2（舍去），
∴y＝﹣2﹣2，
∴四边形ODAP2是直角梯形，点P2的坐标为（﹣2﹣2，﹣2﹣2）．
综上，存在，点P1的坐标为（8，﹣12）或（﹣2﹣2，﹣2﹣2）．
9．解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴的交点分别为B、C，
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝3，
∴点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），
∵抛物线y＝ax2+2x+c过点B，C，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）作AM⊥x轴交BC于M，作PN⊥x轴交BC于N，

∴AM∥PN，
∴∠AMD＝∠PND，
∵∠CDA＝∠NDP，
∴△ADM∽△PDN，
∴，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC：y＝﹣x+3，
∴A（﹣1，0），C（0，3），B（3，0），
设M（﹣1，m），
∴m＝1+3＝4，
∴M（﹣1，4），
∴AM＝4，
设P（n，﹣n2+2n+3），则N（n，﹣n+3），
∴PN＝﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
∴＝＝＝﹣（n﹣）2+，
∴当n＝时，的最大值为，
∴﹣n2+2n+3＝，
∴P（，）；

（3）①BC为平行四边形的边时，如图，

当四边形CBFG是平行四边形时，
∴CG∥BF，CG＝BF，
∵点G在抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴上，
∴对称轴为x＝﹣＝1，
∵C（0，3），
∴G（1，3），
∴BF＝CG＝1，
∵B（3，0），
∴点F的坐标为（4，0）；
当四边形CBG′F′是平行四边形时，
∴CB∥G′F′，CB＝G′F′，
∵点G在抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴上，
∴对称轴为x＝﹣＝1，
∵C（0，3），
∵B（3，0），
∴点F的坐标为（﹣2，0）；
②BC为平行四边形的对角线时，如图，

∵四边形CFBG是平行四边形，
∴CG∥BF，CG＝BF，
∵点G在抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴上，
∴对称轴为x＝﹣＝1，
∵C（0，3），
∴G（1，3），
∴BF＝CG＝1，
∵B（3，0），
∴点F的坐标为（2，0）；
综上，点F的坐标为（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．
10．解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴和y轴分别交于C，D两点，
∴C（5，0），D（0，3），
∵抛物线经过点D，
∴t2﹣1＝3，
解得：t＝±2，
∵抛物线经过点A（3，0），
∴（3﹣t）2﹣1＝0，
解得：t＝2或4，
∴t＝2，
∴y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，
故该抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）设P（t，t2﹣4t+3），过点P作PH∥y轴，交CD于H，
则H（t，﹣t+3），
∴PH＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+t，
∴S△CDP＝PH×（xC﹣xD）＝（﹣t2+t）＝﹣（t﹣）2+，
∵＜0，
∴当t＝时，S△CDP取得最大值，此时，P（，﹣）；
（3）∵当1≤x≤3时，抛物线y＝（x﹣t）2﹣1对应的函数有最小值3，
∴可分三种情况：
①当t＜1时，（1﹣t）2﹣1＝3，
解得：t＝﹣1或t＝3（舍去）；
②当1≤t≤3时，该函数的最小值为﹣1，不符合题意；
③当t＞3时，（3﹣t）2﹣1＝3，
解得：t＝5或t＝1（舍去）；
综上所述，t的值为﹣1或5．

11．（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）顶点为D（1，4），
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵AF∥DE，
∴△EDG∽△AFG，
∵△EDG与△AFG的面积相等，
∴△EDG≌△AFG，
∴AF＝DE，
∵点F是由点A先向右平移一个单位，再向下平移m个单位，
∴点E是由点D（1，4）先向右平移一个单位，再向下平移m个单位，
∴点E的横坐标为1+1＝2，
将x＝2代入y＝﹣x2+2x+3中，得y＝﹣4+4+3＝3，
∴E（2，3）；

（3）证明：
设E（e，﹣e2+2e+3）（1＜e＜3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
过点D作DH⊥y轴于H，则DH＝1，OH＝4，
∴CH＝OH﹣OC＝1＝DH，
∴∠DCH＝∠CDH＝45°，
∴∠BCD＝90°，
∵PE∥x轴，EQ∥y轴，
∴∠E＝90°，
延长EP交y轴于M，则EM＝e，
PM＝CM＝﹣e2+2e+3﹣3＝﹣e2+2e，
∴CP＝CM＝（﹣e2+2e），PE＝EM﹣PM＝e﹣（﹣e2+2e）＝e2﹣e，
过点Q作QN∥OB，
∴CN＝NQ＝e，
∴CQ＝e，
∴EQ＝MN＝CM+CN＝﹣e2+2e+e＝﹣e2+3e，
∵△CPQ和△EPQ的面积相等，
∴CP•CQ＝PE•QE，
∴（﹣e2+2e）•e＝（e2﹣e）•（﹣e2+3e），
∴2e2（e﹣2）＝e2（e﹣1）（e﹣3），
∴e＝3+（舍）或e＝3﹣，
∴CP＝e（2﹣e）＝（3﹣）（2﹣3+）＝8﹣5，
PE＝e2﹣e＝e（e﹣1）＝（3﹣（3﹣﹣1）＝8﹣5，
∴CP＝PE，
∵PC⊥CQ，PE⊥EQ，
∴∠CQP＝∠EQP．

12．解：（1）由y＝ax2+6ax+9a﹣8得y＝a（x+3）2﹣8，
∴顶点D的坐标为（﹣3，﹣8），
∵点B（2，0）在抛物线C上，
∴0＝a（2+3）2﹣8，
解得：a＝；
（2）如图1，连接DE，作DH⊥x轴于H，作EM⊥x轴于M，
根据题意，点D，E关于点B（2，0）成中心对称，
∴DE过点B，且DB＝EB，
在△DBH和△EBM中，
，
∴△DBH≌△EBM（AAS），
∴EM＝DH＝8，BM＝BH＝5，
∴抛物线C1的顶点E的坐标为（7，8），
∵抛物线C1由C绕点P旋转180°后得到，
∴抛物线C1的函数表达式为y＝﹣（x﹣7）2+8；
（3）∵抛物线C1由C绕x轴上的点P旋转180°后得到，
∴顶点D，E关于点P成中心对称，由（2）知：点E的纵坐标为8，
设点E（m，8），
如图2，作DH⊥x轴于H，EM⊥x轴于M，EN⊥DN于N，
∵旋转中心P在x轴上，
∴FG＝AB＝2BH＝10，
∴点H的坐标为（﹣3，0），点N的坐标为（m，﹣8），
根据勾股定理得，EF2＝82+52＝89，
显然，△AEG和△BEG不可能是直角三角形，
①当△AEF是直角三角形时，显然只能有∠AEF＝90°，
根据勾股定理得：
AE2＝AM2+EM2＝（m+8）2+82＝m2+16m+128，
AE2＝AF2﹣EF2＝（m+13）2﹣89＝m2+26m+80，
∴m2+16m+128＝m2+26m+80，
解得：m＝，
∴OP＝（m+3）﹣3＝（m﹣3）＝×（﹣3）＝，
∴点P的坐标为（，0）；
②当△BEF是直角三角形时，显然只能有∠BEF＝90°，
根据勾股定理得：
BE2＝BM2+EM2＝（m﹣2）2+82＝m2﹣4m+68，
BE2＝BF2﹣EF2＝（m+3）2﹣89＝m2+6m﹣80，
∴m2﹣4m+68＝m2+6m﹣80，
解得：m＝，
∴OP＝（m﹣3）＝×（﹣3）＝，
∴点P的坐标为（，0），
③当△DEF是直角三角形时，
DE2＝EN2+DN2＝162+（m+3）2＝m2+6m+265，
DF2＝DH2+HF2＝82+（m+8）2＝m2+16m+128，
i）当∠DEF＝90°时，DE2+EF2＝DF2，
即m2+6m+265+89＝m2+16m+128，
解得：m＝，
∴OP＝（m﹣3）＝×（﹣3）＝，
∴点P的坐标为（，0）；
ii）当∠DFE＝90°时，DF2+EF2＝DE2，
即m2+16m+128+89＝m2+6m+265，
解得：m＝，
∴OP＝（m﹣3）＝×（﹣3）＝，
∴点P的坐标为（，0）；
iii）∵DE＞EN＝16＞EF，
∴∠EDF≠90°，
综上所述，当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，点P的坐标为（，0）或（，0）或（，0）．


13．解（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（1，0）、C（0，﹣3），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）如图，连接AP，BP，

∵抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵A是抛物线与x轴的另一个交点，B（1，0），
∴A（﹣3，0），
∵点A，B关于抛物线对称轴对称，
∴AP＝BP，
∴PB+PC的最小值即为PA+PC的最小值，
∴当P、A、C三点共线时，PA+PC最小，即P在P′所在的位置，
设直线AC的解析式为y＝kx+b1，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣2，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）∵△AOM∽△ABC，
∴∠AOM＝∠ABC，
∴OM∥BC，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，直线OM的解析式为y＝mx，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝3x﹣3，直线OM的解析式为y＝3x，
联立，解得，
∴点M的坐标为（，）；
（4）在y轴上存在点E，使△ADE为直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴D（﹣1，﹣4），
设E点坐标为（0，m），
∴AE2＝m2+9，DE2＝m2+8m+17，AD2＝20，
当∠EAD＝90°时，有AE2+AD2＝DE2，
∴m2+9+20＝m2+8m+17，
解得m＝，
∴此时点E的坐标为（0，）；
当∠ADE＝90°时，DE2+AD2＝AE2，
m2+8m+17+20＝m2+9，
解得m＝﹣，
∴此时点E的坐标为（0，﹣）；
当∠AED＝90°时，AE2+DE2＝AD2，
m2+9+m2+8m+17＝20，
解得m＝﹣1或m＝﹣3，
∴此时点E的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）．
综上所述，符合题意的点E的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
14．解：（1）将A（0，8），B（6，0）代入抛物线，
得，
解得．
∴抛物线的表达式为；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+d，
将A，B两点坐标代入解析式得．
解得
∴直线AB的解析式为．
∵OA＝8，OB＝6，
∴由勾股定理可得．
如图，过点P作PE⊥y轴于点E，

∴∠AEP＝∠AOB＝90°，
∴EP∥OB．
则△AEP∽△AOB．
∴AE：EP：AP＝AO：OB：AB＝4：3：5．
根据题意可知AP＝t，
∴，，
∴点P的横坐标为．
∴，
∴PQ与t的函数关系式为（0≤t＜10）；
（3）存在，点N的坐标为或．
要使以B，D，M，N为顶点的四边形是矩形，分以下情况进行讨论：
如图，过点B作x轴的垂线交AD的延长线于点E，则AE⊥EB，

当y＝8时，，解得x＝0或3．
∴点D的坐标为（3，8）．
∴AD＝3，DE＝3．
①如图，当DM为矩形的边时，过点N作NK⊥x轴，交x轴于点K．
∵∠MAD＝∠DEB＝90°，∠ADM+∠BDE＝90°，∠AMD+∠ADM＝90°，
∴∠BDE＝∠AMD．
∴△ADM∽△EBD．
∴，即，
∴．
同理，可求得△EBD∽△KBN．
∴△ADM∽△KBN，
∴∠MAD＝∠NKB＝90°，∠ADM＝∠KBN，
又∵MD＝NB，
∴△ADM≌△KBN．
∴AD＝KB＝3．
∴OK＝6﹣3＝3．
∴，
∴；
②如图，当DM'为矩形的对角线时，过点N'作N'K'⊥x轴交DA的延长线于点K'．
同理可得△M'BO∽△DBE，
∴，
∴，
∴．
∵DN'＝BM'，
∴△DN'K'≌△BM'O，
∴，K′D＝OB＝6，
∴AK'＝3，点N'的纵坐＝，
∴，
③以BD为对角线这种情况不存在．
综上所述，存在点M，N，使得以B，D，M，N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标为或．
15．解：（1）将C（1，4）代入直线y＝x+m得：
×1+m＝4．
解得：m＝；
由题意得：，
解得：．
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3；
令y＝0，则x+＝0，
解得：x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）．
故答案为：；（﹣2，0）；y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，假设直线AP交y轴于点M（0，m），直线AC交y轴于点N（0，），

则OM＝m，ON＝，OA＝2．
∴AN＝＝．
∵AC＝AB＝5，S△ACP：S△ABP＝1：1，
∴AP是∠CAB的角平分线．
过点M作ME⊥AN于点E，则ME＝MO＝m．
∵S△AON＝S△AOM+S△AMN，
∴OA•ON＝OA•OM+AN•ME．
∴2×＝2×m+×m．
∴m＝1．
∴M（0，1）．
设直线AP的解析式为y＝kx+e，
∴，
解得：．
∴直线AP是y＝x+1．
∴．
解得：，．
∴P（，）；
（3）①当AC＝CD时，过点C作CE⊥AB于点E，如图，

则OE＝1，AE＝OE+OA＝3．
∴DE＝AE＝3．
∴OD＝OE+DE＝4．
∴D（4，0）．
则直线CD的解析式为y＝﹣x+．
∴．
解得：，．
∴P（，）；
②当AC＝AD，点D在x轴的正半轴上时，
∵AC＝＝5，
∴AD＝AC＝5．
∴OD＝AD﹣OA＝3．
∴D（3，0）．
∴点D与点B重合．
∴点P与点B重合．
∴P（3，0）；
当AC＝AD，点D在x轴的负半轴上时，
∴OD＝AD+OA＝7．
∴D（﹣7，0）．
则直线CD的解析式为y＝x+．
∴．
解得：，．
∴P（，）；
③当DA＝DC时，过点D作DF⊥AC于点F，如图，

则DF是AC的垂直平分线，
∴F（﹣，2）．
设直线FD的解析式为y＝﹣x+n，
∴2＝+n．
∴n＝，
∴直线FD的解析式为y＝﹣x+．
令y＝0，则﹣x+＝0，
解得：x＝．
∴D（，0）．
则直线CP的解析式为y＝x+．
∴．
解得：，．
∴P（，﹣）．
综上，当△ACD是等腰三角形时，点P的坐标为（，）或（3，0）或（，）或（，﹣）．
16．解：（1）当x＝5，y＝x＝5，
∴B（5，5），
将其代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）对于，当y＝0时，，
解得：x1＝0，x2＝3，
∴A（3，0），
∴OA＝3，
将x＝t代入抛物线的解析式得：；
∴，
过点C作CM⊥x轴于点M，CN⊥y轴于点N，

∴，
∴，
∵∠OMC＝∠ONC＝∠MON＝90°，
∴四边形OMCN为矩形，
∴，
∴，
∴S与t的函数解析式S＝t2﹣t；
（3）由（2）知，OM＝t，AM＝t﹣3，

在Rt△OCM和Rt△ACM中，∠OMC＝90°，
∴，，
设∠AOC＝α，则∠OCD＝2∠AOC＝2α，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ACO＝∠ACD﹣∠OCD＝90°﹣2α，
∴∠CAM＝∠AOC+∠ACO＝90°﹣α，
又∵∠OCM＝90°﹣α，
∴∠OCM＝∠CAM，
∴tan∠OCM＝tan∠CAM，
∴，
∴t1＝4，t2＝﹣1（舍），
∴，
∴C（4，2），
∴，
∴D（﹣2，5），DT＝AT＝5，
∴∠OAD＝45°．
∴直线OC为：，直线AD为：yAD＝﹣x+3，
∴E（2，1），F（0，3），
∴点E为OC的中点，
设EG＝m，
∵EG∥y轴，
∴△CEG∽△COH，
∴，
∴OH＝2EG＝2m，
∴H（0，2m），
过点D作DR⊥y轴于点R，过点F作FQ⊥EG于点Q，
则OR＝5，HR＝2m﹣5，GQ＝m+1﹣3＝m﹣2，
∵DH∥FG，
∴∠DHC＝∠FGC，
∵∠FHC＝∠EGC，
∴∠DHR＝∠FGQ，
又∵DR＝OT＝2，FQ＝OK＝2，
∴DR＝FQ，
又∵∠DRH＝∠FQG＝90°，
∴△DHR≌△FGQ，
∴HR＝GQ，
∴2m﹣5＝m﹣2，
解得：m＝3，
∴OH＝2m＝6，HR＝1，
在Rt△DRH中，∠DRH＝90°，
∴．
17．解：（1）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2）；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+2，
设P（t，﹣t2+t+2），则E（t，﹣t+2），
∴PE＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∵点P为直线BC上方抛物线上一点，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时，PE有最大值2，
此时P（2，3）；
（3）存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴平移后的抛物线为y'＝﹣（x﹣2）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
设N（2，n），Q（x，y），
①当BC为菱形对角线时，CN＝BN，
∴，
解得，
∴Q（2，1），N（2，1），此时Q、N重合；
②当BN为菱形对角线时，BC＝CN，
∴，
解得或，
∴Q（6，4）或（6，﹣4）；
③当BQ为菱形对角线时，BC＝BN，
∴，
解得或，
∴Q（﹣2，﹣2）或（﹣2，6）；
综上所述：Q点坐标为（6，4）或（6，﹣4）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，6）．
18．解：（1）令x＝0，则y＝﹣2．
∴C（0，﹣2）．
令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0，
解得：x＝4或﹣1．
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（4，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2．
（2）过点P作PE⊥OB于点E，过点N作NF⊥OB于点F，如图，

则PE∥NF．
∴．
设点P（m，m﹣2），则OE＝m．
设直线AP的解析式为y＝ax+c，
∴，
解得：．
∴直线AP的解析式为y＝（m﹣2）x+m﹣2．
∴．
解得：．
∴N（，）．
∴OF＝．
∴AF＝OA+OF＝1﹣＝，
EF＝OE﹣OF＝．
∵PN＝AN，
∴．
∴＝．
解得：m1＝m2＝2．
∴P（2，﹣3）．
（3）设直线CD与抛物线y＝x2﹣x﹣2交于点M，如图，

∵PD⊥x轴于点D，P（2，﹣3），
∴D（2，0）．
设直线CD的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
解得：．
∴直线CD的解析式为y＝x﹣2．
∴．
解得：，．
∴M（5，3）．
沿直线CD翻折得到抛物线是一条开口方向向右的抛物线，
∴设它的解析式为x＝cy2+dy+e，
∴，
解得：．
∴x＝+y﹣1．
令x＝0，则+y﹣1＝0．
∴y2+y﹣2＝0．
解得：y＝﹣2或1．
∴H（0，1）．
19．解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
令y＝0，则x＝4，
∴A（4，0），
将点A（4，0），B（0，4）代入y＝ax2﹣5x+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣5x+4，
令y＝0，则x2﹣5x+4＝0，
解得x＝1或x＝4，
∴C（1，0）；
（2）设D（0，t），则E（4﹣t，t），
令x2﹣5x+4＝t，
解得x＝或x＝，
∴F（，t），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+4，
∴E（4﹣t，t），
∵O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴OC＝FE，
∴EF＝1，
∴4﹣t﹣＝1，
∴t＝1±，
∴D（0，1+）或（0，1﹣）；
（3）∵B与D重合，
∴D（0，4），
∴G（5，4），
∵∠AMB＝135°，
∴以O为圆心OA为半径作圆，M点在圆O上，
当M、O、G三点共线时，MG有最小值，
∵OG＝，
∴MG的最小值为﹣4．
20．解：（1）将A（﹣1，0），点B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
（2）如图，

设M（x，x2﹣2x﹣3），作MN⊥x轴于点N，
∵∠MAB＝45°，
∴MN＝ON，
∵点A（﹣1，0），
∴x+1＝|x2﹣2x﹣3|，
解得x＝4或x＝2或x＝﹣1（与A重合，舍去），
∴M点的坐标为（4，5）或（2，﹣3）；
（3）∵PD⊥AB，PF⊥BC，
∴△EFP与△BDE为直角三角形，
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴OB＝OC，△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∵∠DEB＝∠FEP，
∠BDE＝∠PFE＝90°，
∴∠FPE＝∠DBE＝45°，
∴△PEF为等腰直角三角形，
∴EF：FP：PE＝1：1：，
当PE存在最大值时，△PEF周长也存在最大值，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则E（m，m﹣3），
∴PE＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，△PEF周长最大，
此时，P的纵坐标为y＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，
∴△PEF的周长有最大值，此时P点的坐标为（，﹣）．