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2023年 九年级数学中考复习压轴题常考题型专题提升训练附答案
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这是一份2023年 九年级数学中考复习压轴题常考题型专题提升训练附答案，共54页。试卷主要包含了已知，如图1，问题提出等内容，欢迎下载使用。
2023年春九年级数学中考复习《压轴题常考题型》专题提升训练（附答案）
1．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D，E分别在AB，BC上，BE＝DE＝1，连接CD，点P是CD的中点，连接AP，PE．
（1）观察猜想
在图1中，线段AP与EP之间的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明
把△BDE绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE，请判断△APE的形状，并说明理由．（辅助线作法：取BD的中点F，连接EF、PF，取BC的中点G，连接AG、PG）
（3）拓展延伸
把△BDE绕点B在平面内自由旋转，若A、B、E三点在一条直线上，请直接写出△APE的面积： ．
2．已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CD，CE．
（1）如图1所示，线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）在图1中，若点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接PM，PN，MN，请判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）如图2所示，若M、N、P分别为DE、BC、DC上的点，且满足，BD＝6，连接PM，PN，MN，求S△MPN面积．
3．如图1中，在正方形ABCD中，点M是对角线AC的中点，点E，G分别为边BC，AB的中点．以BE，BG为邻边，在正方形ABCD内作正方形BEFG，点F和点M恰好重合，连接CG，EG，点P，N分别为CG，EG的中点，连接PN．
（1）观察猜想
在图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明
把正方形BEFG绕点B顺时针旋转到图2的位置，连接PM，PN，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由；
（3）拓展延伸
把正方形BEFG绕点B在平面内自由旋转，若AB＝6，请你直接写出PM+PN的最大值．
4．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PF与PG的数量关系是 ，∠FPG＝ （用含α的代数式表示）
（2）探究证明：当△ADE绕点A旋转到如图2所示的位置时，小新猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小新的猜想．
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝2，AB＝6，请直接写出PF的最大值．
5．已知：AD＝2，BD＝4，以AB为一边作等边三角形ABC．使C、D两点落在直线AB的两侧．
（1）如图，当∠ADB＝60°时，求AB及CD的长；
（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD的最大值，及相应∠ADB的大小．
6．如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
在图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，∠MPN的度数是 ；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，
①判断△PMN的形状，并说明理由；
②求∠MPN的度数；
（3）拓展延伸
若△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点DE分别在边AB，AC上，AD＝AE＝4，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3．
①△PMN的是 三角形．
②直接利用①中的结论，求△PMN面积的最大值．
7．如图1：在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），试探索AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．
小明同学的思路是这样的：将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE．继续推理就可以使问题得到解决．
（1）请根据小明的思路，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外的一点，且∠ADC＝45°，线段AD，BD，CD之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
（3）如图3，已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且∠ADC＝45°．
①若AD＝6，BD＝8，求弦CD的长为 ；
②若AD+BD＝14，求的最大值，并求出此时⊙O的半径．
8．已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D，E分别是AB，AC上的点，点M是DE上的一点，．
（1）如图1，已知α＝60°，n＝1，作出点E关于点A成中心对称的点F，求证：DF＝DC；
（2）如图2，已知α＝60°，；
①求的值；②若AB＝4，则AM的最小值是 （直接写出结果）；
（3）如图3，已知α＝90°，n＝1，，则CD的最大值为 （直接写出结果）．
9．在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为
；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若∠ACE＝135°，则线段AE长度的最大值是 （直接写出答案）．
10．（1）问题提出：
如图①，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是CB，AB的中点，点F是BD的中点，若AB＝8，AC＝6，则EF＝ ；
（2）问题探究：
如图②，已知：M是弓形AB上的中点，AB＝24，弓形AB的高是8，则对应⊙O的面积为多少？（结果保留根号或π）
（3）问题解决：
如图③，在半径为5的⊙O中，弦BC＝8，点A为优弧BC上的动点，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E．AD和BE交于点P，连接PC，试求△PBC面积的最大值．
11．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：
问题初探：
（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为 ；
问题再探：
（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：
①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．
成果运用
（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置？
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，BC＝8，D在边BC上，E在线段DC上，DE＝4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．
（1）求证：△BMD∽△CNE；
（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
（3）设BD＝x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．
13．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°）至△AB′C′的位置．
问题探究：
（1）如图1，当旋转角为60°时，连接C′C与AB交于点M，则C′C＝ ，CM＝ ．
（2）如图2，在（1）条件下，连接BB′，延长CC′交BB′于点D，求CD的长．
问题解决：
（3）如图3，在旋转的过程中，连线CC′、BB′，CC′所在直线交BB′于点D，那么CD的长有没有最大值？如果有，求出CD的最大值：如果没有，请说明理由．
14．【问题】
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．
【探究发现】
（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
【数学思考】
（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程；
【拓展引申】
（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM＝BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若AC＝BC＝4，请你直接写出BQ的最大值．
15．问题探究：在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．
探究1：如图1，若点P是对角线BD上任意一点，则线段AP的长的取值范围是 ；
探究2：如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值在探究1中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？如果存在，请求出△PMN周长的最小值，若不存在，请说明理由；
问题解决：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，点P是△ABC内任意一点，且AP＝4，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值时，求四边形AMPN面积的最大值．
16．问题：
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝90°时，我们都知道，可以得到：AD•BC＝AP•BP；
变式：
（1）如图2，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y＝（x＞0）上，BC与x轴交于点D．过点A作EF⊥y轴，垂足为E，再过点B作BF⊥AF，垂足为F，若点A的坐标为（2，4），则点B的坐标为 ．
探究：
（2）如图3，在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝4，点P以每秒1个单位的速度从点A出发，沿着AB边向点B运动，且满足∠A＝∠CPD，设运动时间为t（秒），BD的长度为s，求s与t的函数解析式，并求出CD的最小值．
应用：
（3）如图4，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），N点坐标为（7，0），点P为线段ON上的动点，始终保持∠APM＝∠AOP，射线PM交直线x＝7于点M，求MN的最大值．
17．如图1，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．
（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中， 一定是等角线四边形（填写图形名称）；
②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角线AC、BD还要满足 时，四边形MNPQ是正方形；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为平面内一点，若四边形ABCD是等角线四边形，且AD＝BD，求四边形ABCD的面积；
（3）如图3，已知△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，D为平面内一点，若四边形ABED是等角线四边形，求出四边形ABED面积的最大值，并说明理由．
18．（1）模型建立：
如图①，已知，线段AB，点C为线段AB外任意一点，若AB＝m，AC＝n，则当点C位于 时，线段BC的长取得最大值，且最大值为 （用含m，n的式子表示）．
（2）模型应用：
如图②，点C为线段AB外任意一点，且AB＝3，AC＝2，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，
Ⅰ．请找出图中与AE相等的线段，并说明理由；
Ⅱ．直接写出线段AE长度的最大值．
（3）拓展应用：
如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C为线段AB外任意一点，且AC＝2，∠BCD＝90°，CD＝CB，请直接写出线段AD长度的最大值及此时点C的坐标．
19．已知：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，以AB为边作等边三角形ABD．探究下列问题：
（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a＝b＝3，且∠ACB＝60°，则CD＝ ；
（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a＝b＝6，且∠ACB＝90°，则CD＝ ；
（3）如图3，当∠ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线l上的动点，当△PBC周长取得最小值时，过P做BC的平行线，在第一象限内交抛物线于点Q，在直线AB上有一动点K，求QK+AK的最小值；
（3）点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标，不存在，说明理由．
21．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
（1）如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合）过P作PQ∥x轴交直线BC于Q，求线段PQ
的最大值；
（2）如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点G的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．
参考答案
1．解：（1）（1）观察猜想
AP＝EP，AP⊥EP，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∵BE＝ED，
∴∠ABC＝∠BDE＝45°，
∴∠BED＝90°，
∴DE⊥BC，
∵∠DAC＝90°，点P是CD的中点，
∴EP＝DC，AP＝DC，
∴EP＝AP．
∵∠DAC＝∠DEC＝90°，
∴∠ADE＝135°，
∵DP＝PC，
∴DP＝AP＝PC，
∴∠PDE＝∠PED，∠PAD＝∠PDA，
∴∠PED+∠PDE+∠PAD+∠PDA＝270°，
∴∠APE＝360°﹣270°＝90°，
∴AP⊥EP．
（2）探究证明
△APE的形状是等腰直角三角形，理由如下：
取BD的中点F，连接EF、PF，取BC的中点G，连接AG、PG，
∵F为BD的中点，∠BED＝90°，
∴BF＝EF＝DF，
同理，AG＝BG＝CG，
∵P，F分别为CD，BD的中点，
∴PF＝BC，PF∥BC，
同理，PG＝BD，PG∥BD，
∴四边形BFPG为平行四边形，
∴PG＝BF＝EF，∠CGP＝∠CBD＝∠PFD，
∵∠AGC＝∠EFD＝90°，
∠AGC+∠CGP＝∠EFD+∠PFD，
即∠AGP＝∠EFP，
∴△EFP≌△PGA（SAS），
∴EP＝AP，∠FEP＝∠GPA，
∵∠EFD＝90°，
∴∠FEP+∠DFP+∠EPF＝90°，
∵PG∥BD，
∴∠DFP＝∠FPG，
∴∠FPG+∠EPF+∠GPA＝90°，
∴∠EPA＝90°
∴EP⊥AP．
（3）拓展延伸
如图3，当点E在AB的延长线上，
∵AB＝2，BE＝1，
∴AE＝2+1＝3，
由（2）可知AP⊥EP，AP＝EP，
∴△AEP为等腰直角三角形，
∴△APE的面积为．
如图4，当点E在线段AB上，
∵AB＝2，BE＝1，
∴AE＝1，
同理△AEP为等腰直角三角形，
∴△APE的面积为＝．
综合以上可得：△APE的面积为或．
故答案为：或．
2．解：（1）如图1，延长BD交CE于F，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠FBC+∠BCA＝90°，
∴∠ACE+∠FBC+∠BCA＝90°，
∴∠BFC＝90°，即BD⊥CE，
故答案为：BD＝CE；BD⊥CE；
（2）△PMN是等腰直角三角形，
理由如下：∵点M、P分别为DE、DC的中点，
∴MP＝CE，MP∥CE，
∴∠MPD＝∠ECD＝∠ECA+∠DCA＝∠ABD+∠DCA，
∵点P、N分别为DC、BC的中点，
∴NP＝BD，NP∥BD，
∴∠NPD＝180°﹣∠BDC＝∠DBC+∠DCB，
∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠ABD+∠DCA+∠DBC+∠DCB＝90°，
∵BD＝CE，
∴MP＝NP，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）∵＝，∠MDP＝∠EDC，
∴△MDP∽△EDC，MP∥CE，
∴＝＝，
∴MP＝CE＝2，
同理，NP∥BD，NP＝BD＝4，
由（2）可知，∠MPN＝90°，
∴S△MPN＝×2×4＝4．
3．解：（1）观察猜想
∵点P，N分别为CG，EG的中点，
∴PN∥CE，PN＝CE，PC＝PG，
∴∠EPN＝∠EFG，
∵四边形BEFG是正方形，
∴EF＝FG，∠EFG＝90°，FG∥BE，
∴PN∥FG，
∴∠EPN＝∠EFG＝90°，
∴PN⊥PM，
∵PC＝PG，∠FPG＝∠CPE，∠CEP＝∠GFP，
∴△CPE≌△GPF（AAS）
∴PE＝PF＝EF，CE＝FG＝EF，
∴PN＝PF＝MP，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
（2）探究证明
仍然成立，理由如下：
如图2，连接AG，CE，交点为H，
∵四边形ABCD，四边形BEFG都是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝∠GBE＝90°，
∴∠ABG＝∠CBE，且AB＝BC，BG＝BE，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE，∠BCE＝∠BAG，
∵∠BAG+∠GAC+∠BCA＝90°，
∴∠GAC+∠BCA+∠BCE＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∵点M，点P，点N分别是AC，CG，GE的中点，
∴MP＝AG，PN＝CE，MP∥AG，PN∥CE，
∴PM＝PN，∠POH＝∠AHC＝90°，∠MPN+∠POH＝180°，
∴∠MPN＝90°，
∴MP⊥PN；
（3）拓展延伸
∵点E，G分别为边BC，AB的中点，AB＝BC＝6，
∴BE＝BG＝3，
∵PM+PN＝2PM＝AG，
∴当点G在AB的延长线上时，PM+PN的值最大，
∴PM+PN的最大值为6+3＝9．
4．解：（1）如图1，∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
即DB＝CE，
∵点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PF＝CE，PG＝BD，
∴PF＝PG，
∵点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PG∥BD，PF∥CE，
∴∠PGC＝∠DBC，∠DPF＝∠DCE，
∴∠FPG＝∠DPF+∠DPG
＝∠DCE+∠PGC+∠DCB
＝∠ACD+∠ACE+∠DBC+∠DCB
＝∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠DCB
＝∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC
∴∠FPG＝180°﹣α；
故答案为：PF＝PG，180°﹣α；
（2）如图2，连接BD，CE，由题意知AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PF，PG分别是△CDE和△CDB的中位线，
∴PG∥BD，PF∥CE，
∴∠PGC＝∠DBC，∠DPF＝∠DCE，
∴∠FPG＝∠DPF+∠DPG
＝∠DCE+∠PGC+∠DCB
＝∠ACD+∠ACE+∠DBC+∠DCB
＝∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠DCB
＝∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC
∴∠FPG＝180°﹣α；
（3）当EC最大时，FP最大，EC的最大值为AE+AC＝8，
∴PF＝EC，即PF的最大值为4．，
5．解：（1）作AH⊥BD于H，如图，
在Rt△ADH中，
∵∠ADB＝60°，
∴∠DAH＝30°，
∴DH＝AD＝1，
∴AH＝DH＝，
∴BH＝BD﹣DH＝4﹣1＝3，
在Rt△AHB中，AB＝＝2，
∴∠ABH＝30°，
∵△ACB为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BC＝BA＝2，
∴∠DBC＝90°，
在Rt△DBC中，CD＝＝2；
（2）把△ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB，
则AE＝AD，BE＝DC，∠EAD＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝DA＝2，∠ADE＝60°，
当E点在直线BD上时，BE最大，最大值为2+4＝6，
∴CD的最大值为6，此时∠ADB＝120°．
6．解：（1）结论：PM＝PN，120°．
理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵AD＝AE，
∴BD＝EC，
∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，
∴PM＝EC，PN＝BD，PM∥AC，PN∥AB，
∴PM＝PN，∠MPD＝∠ACD，∠PNC＝∠B＝60°
∵∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠ACD+∠DCB+∠PNC＝120°
故答案为PM＝PN，120°．
（2）如图2中，连接BD、EC．
①∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵BA＝CA，DA＝EA，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，
∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝CE，
∴PN＝PM，
∴△PMN是等腰三角形．
②∵PN∥BD，PM∥EC
∴∠PNC＝∠DBC，∠DPM＝∠A＝ECD，
∴∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠ECD+∠PNC+∠DCB＝∠ECD+∠DCB+∠DBC＝∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠DBC＝∠ABD+∠ACB+∠DBC＝∠ACB+∠ABC＝120°．
（3）①△PMN是等腰直角三角形；
②∵PM＝PN＝BD，
∴BD最大时，PM最大，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝16，∴PM＝8，∴S△PMN最大＝PM2＝×82＝32．
7．解：（1）CD2+BD2＝2AD2，
理由：由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE，
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，
∴CD2+BD2＝2AD2；
（2）BD2＝CD2+2AD2，
理由：如图2，
将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE，
同（1）的方法得，ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，在Rt△ADE中，AD＝AE，
∴∠ADE＝45°，
∴DE2＝2AD2，
∵∠ADC＝45°，
∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝90°，
根据勾股定理得，CE2＝CD2+DE2＝CD2+2AD2，
即：BD2＝CD2+2AD2；
（3）如图3，过点C作CE⊥CD交DA的延长线于E，
∴∠DCE＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠E＝90°﹣∠ADC＝45°＝∠ADC，
∴CD＝CE，
根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝2CD2，
连接AC，BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠BDC＝45°＝∠ADC，
∴AC＝BC，
∵∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，
①AD＝6，BD＝8，
∴DE＝AD+AE＝AD+BD＝14，
∴2CD2＝142，
∴CD＝7，
故答案为7；
②∵AD+BD＝14，
∴CD＝7，
∴＝AD•（BD+×7）＝AD•（BD+7）
＝AD•BD+7AD＝AD（14﹣AD）+7AD＝﹣AD2+21AD＝﹣（AD﹣）2+，
∴当AD＝时，的最大值为，
∵AD+BD＝14，
∴BD＝14﹣＝，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝＝，
∴⊙O的半径为OA＝AB＝．
8．解：（1）如图1、
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
过点D作DG∥AC交BC于点G，
∴∠CGD＝∠ACB＝60°，
∴∠CGD＝120°，
∵点F是点E关于点A成中心对称的点，
∴AF＝AE，∠DAF＝120°＝∠CGD，
∠B＝60°，∠BGD＝60°，
∴△BDG是等边三角形，
∴BD＝DG，
∵n＝1，
∴BD＝AE，
∴DG＝AF，
∴△CDG≌△DFA（SAS），
∴DF＝CD；
（2）①如图2，
∵n＝，
∴，
过点D作DF∥AM交EA的延长线于点F，
∴，
∴BD＝AF，
过点D作DG∥AC交BC于点G，
同（1）的方法得，△BDG为等边三角形，
∴AD＝CG，BD＝DG＝AF，∠FAD＝∠DGC＝120°，
∴△ADF≌△GCD（SAS），
∴DF＝DC，
∵，
∴AM＝DF＝DC，
∴，
②由①知AM＝CD，
由垂线段最短知：当CD⊥AB时，CD最短，即：AM最小，
在Rt△BDC中，BC＝AB＝60°，∠B＝60°，
∴CD＝BCsinB＝2，
∴AM的最小值为×2＝，
故答案为；
（3）如图3，作CN⊥AC（N在AC左侧），使CN＝AE，连接EN，
∵AE＝BD，
∴CE＝AD，
则△ADE≌△CEN（ASA），
∴∠ADE＝∠CEN，DE＝EN，
∴DE⊥EN，取EN的中点O，连接OC，OD，
则CD≤OD+OC，
∵AM＝，DM＝ME＝AM＝，
则EN＝2，
∴OC＝OE＝，OD＝＝5，
∴当D，O，C三点共线时，CD的最大值为OD+OC＝5+，
故答案为5+．
9．解：（1）AE＝AB+DE；
理由：在AE上取一点F，使AF＝AB．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．
∵C是BD边的中点．
∴BC＝CD，
∴CF＝CD．
∵∠ACE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，∠ACF+∠ECF＝90°
∴∠ECF＝∠ECD．
在△CEF和△CED中，
，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF＝ED．
∵AE＝AF+EF，
∴AE＝AB+DE；
故答案为：AE＝AB+DE
（2）猜想：AE＝AB+DE+BD．
证明：在AE上取点F，使AF＝AB，连接CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连接CG．
∵C是BD边的中点，
∴CB＝CD＝BD．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF＝CB，∴∠BCA＝∠FCA．
同理可证：CD＝CG，∴∠DCE＝∠GCE．
∵CB＝CD，∴CG＝CF
∵∠ACE＝120°，
∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣120°＝60°．
∴∠FCA+∠GCE＝60°．
∴∠FCG＝60°．
∴△FGC是等边三角形．
∴FG＝FC＝BD．
∵AE＝AF+EG+FG．
∴AE＝AB+DE+BD．
（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．
∵C是BD边的中点，
∴CB＝CD＝BD．
∵△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF＝CB，∴∠BCA＝∠FCA．
同理可证：CD＝CG，∴∠DCE＝∠GCE
∵CB＝CD，∴CG＝CF
∵∠ACE＝135°，
∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣135°＝45°．
∴∠FCA+∠GCE＝45°．
∴∠FCG＝90°．
∴△FGC是等腰直角三角形．
∴FC＝BD．
∵BD＝8，
∴FC＝4，
∴FG＝4．
∵AE＝AB+4+DE．
∵AB＝2，DE＝8，
∴AE≤AF+FG+EG＝10+4．
∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4．
故答案为：10+4．
10．解：（1）如图①中，
在Rt△ABC中，∵AB＝8，AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵BD＝CD，
∴AD＝BC＝5，
∵BE＝EA，BF＝FD，
∴EF＝AD＝，
故答案为．
（2）如图②中，设圆心为O，连接OM，OB，OM交AB于E．设OB＝r．
∵＝，
∴OM⊥BA，EM＝8，
∴AE＝EB＝12
在Rt△OEB中，∵OE2+EB2＝OB2
∴（r﹣8）2+122＝r2，
∴r＝13，
∴对应⊙O的面积为169π．
（3）如图3﹣1中，延长CP交AB于F．
∵在半径为5的⊙O中，弦BC＝8，
∴∠BAC是定值，设∠BAC＝α，
∵AD，BE是高，
∴CF也是△ABC的高，
∴∠ABE＝∠ACF＝90°﹣α，
∵∠BPD＝∠ABP+∠BAP，∠CPD＝∠ACP+∠CAP，
∴∠BPC＝∠ABP+∠BAP+∠CAP+∠PCA＝90°+90°﹣α＝180°﹣α，
∴∠BPC是定值，
∴点P的运动轨迹是弧线，
如图3﹣2中，当A，O，D共线时，PD定值最大，此时△PBC的面积最大．
连接OC，在Rt△ODC中，OD＝＝3，
∴AD＝5+3＝8，AC＝AB＝4，
∵•BC•AD＝•AB•CF，
∴CF＝＝，
∴AF＝＝，
∵cos∠BAD＝＝，
∴＝，
∴PA＝6，
∴PD＝AD﹣PA＝2，
∴△PBC的面积的最大值＝×8×2＝8．
11．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝AB，
∵∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣∠B＝30°，
在Rt△BDE中，BE＝BD，
∵∠EDF＝120°，∠BDE＝30°，
∴∠CDF＝180°﹣∠BDE﹣∠EDF＝30°，
∵∠C＝60°，
∴∠DFC＝90°，
在Rt△CFD中，CF＝CD，
∴BE+CF＝BD+CD＝BC＝AB，
∵BE+CF＝nAB，
∴n＝，
故答案为：；
（2）如图2，①，连接AD，过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴∠DGB＝∠AGD＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠GDH＝360°﹣∠AGD﹣∠AHD﹣∠A＝120°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠EDG＝∠FDH，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DG⊥AB，DH⊥AC，
∴DG＝DH，
在△EDG和△FDH中，
，
∴△EDG≌△FDH（ASA），
∴DE＝DF，即DE始终等于DF；
②同（1）的方法得，BG+CH＝AB，
由①知，△EDG≌△FDH，
∴EG＝FH，
∴BE+CF＝BG﹣EG+CH+FH＝BG+CH＝AB，
∴BE与CF的和始终不变；
（3）由（2）知，DE＝DF，BE+CF＝AB，
∵AB＝8，
∴BE+CF＝4，
∴四边形DEAF的周长为L＝DE+EA+AF+FD
＝DE+AB﹣BE+AC﹣CF+DF
＝DE+AB﹣BE+AB﹣CF+DE
＝2DE+2AB﹣（BE+CF）
＝2DE+2×8﹣4
＝2DE+12，
∴DE最大时，L最大，DE最小时，L最小，
当DE⊥AB时，DE最小，此时，BE＝BD＝2，
当点F和点C重合或点E与点B重合时，DE最大，
当点F和点C重合时，∠BDE＝180°﹣∠EDF＝120°＝60°，
∵∠B＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BE＝BD＝4，
当点E与点B重合时，BE＝0，
综上所述，周长L取最大值时，BE＝4或0，周长L取最小值时，BE＝2．
12．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE＝∠FED＝60°，
∴∠MDB＝∠NEC＝120°，
∴∠BMD＝∠B＝∠C＝∠CNE＝30°，
∴△BMD∽△CNE；
（2）解：过点M作MH⊥BC，
∵以M为圆心，以MH为半径的圆，则与BC相切，
∴MH＝MF，
设BD＝x，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE＝60°，
∵∠B＝30°，
∴∠BMD＝∠FDE﹣∠B＝60°﹣30°＝30°＝∠B，
∴DM＝BD＝x，
∴MH＝MF＝DF﹣MD＝4﹣x，
在Rt△DMH中，sin∠MDH＝sin60°＝＝＝，
解得：x＝16﹣8，
∴当BD＝16﹣8时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切；
（3）解：过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，
∵AB＝AC，
∴BK＝BC＝×8＝4，
∵∠B＝30°，
∴AK＝BK•tan∠B＝4×＝，
∴S△ABC＝BC•AK＝×8×＝，
由（2）得：MD＝BD＝x，
∴MH＝MD•sin∠MDH＝x，
∴S△BDM＝•x•x＝x2，
∵△DEF是等边三角形且DE＝4，BC＝8，
∴EC＝BC﹣BD﹣DE＝8﹣x﹣4＝4﹣x，
∵△BMD∽△CNE，
∴S△BDM：S△CEN＝（）2＝，
∴S△CEN＝（4﹣x）2，
∴y＝S△ABC﹣S△CEN﹣S△BDM＝﹣x2﹣（4﹣x）2＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣2）2+（＜x＜），
当x＝2时，y有最大值，最大值为．
13．解：（1）如图1中，作MH⊥AC于H．
当旋转角为60°时，∠CAC′＝60°，
∵AC＝AC′，
∴△ACC′是等边三角形，
∴CC′＝AC＝2，∠MCH＝60°，设CH＝x，则MH＝AH＝x，
∴x+x＝2，
∴x＝﹣1，
∴CM＝2CH＝2﹣2．
故答案为2，2﹣2．
（2）如图2中，作BH⊥CD于H．
∵AB＝AB′，∠BAB′＝60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠DBM＝∠ACM＝60°，
∵∠DMB＝∠AMC，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
∵∠BCH＝∠BCA﹣∠ACC′＝30°，
∴BH＝DH＝BC＝1，CH＝，
∴CD＝CH+DH＝1+．
（3）CD的长有最大值．
理由：如图3中，
∵∠B′AC′＝∠BAC＝45°，
∴∠B′AB＝∠C′AC，
∵AB′＝AB，AC＝AC′，
∴＝，
∴△B′AB∽△C′AC，
∴∠DBM＝∠ACM，
∵∠DMB＝∠AMC，
∴∠BDM＝∠MAC＝45°，
取AB的中点H，以H为圆心，HB为半径作⊙H，连接CH．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴CH⊥AB，CH＝BH＝AH，
∴∠BHC＝90°，
∵∠BDC＝∠BHC，
∴点D的运动轨迹是⊙H，当CD＝AB时，CD的值最大，此时CD＝2．
14．证明：【探究发现】
（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∵CD∥AB
∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD
∴∠DCB＝∠DBC＝45°
∴DB＝DC
即DB＝DP
【数学思考】
（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°
∴∠DCG＝∠DGC＝45°
∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，
∵∠BDP＝∠CDG＝90°
∴∠CDP＝∠BDG，且DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，
∴△CDP≌△GDB（ASA）
∴BD＝DP
【拓展引申】
（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，
∵MH⊥MN，
∴∠AMH+∠NMB＝90°
∵CD∥AB，∠CDB＝90°
∴∠DBM＝90°
∴∠NMB+∠MNB＝90°
∴∠HMA＝∠MNB，且AM＝BN，∠CAB＝∠CBN＝45°
∴△AMH≌△BNQ（ASA）
∴AH＝BQ
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB＝4，AC﹣AH＝BC﹣BQ
∴CH＝CQ
∴∠CHQ＝∠CQH＝45°＝∠CAB
∴HQ∥AB
∴∠HQM＝∠QMB
∵∠ACB＝∠HMQ＝90°
∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，
∴∠HCM＝∠HQM
∴∠HCM＝∠QMB，且∠A＝∠CBA＝45°
∴△ACM∽△BMQ
∴
∴
∴BQ＝
∴AM＝2时，BQ有最大值为2．
15．解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AC⊥BD，AC＝BD＝4，
∴当P与O重合时，PA的值最小，最小值＝2，
当P与B或D重合时，PA的值最大，最大值为4，
∴2≤PA≤4．
故答案为2≤PA≤4．
（2）存在．
理由：如图2中，作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接EF交AB于M，交AC于N，连接AE、AF、PA．
∵PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，
∴点P位置确定时，此时△PMN的周长最小，最小值为线段EF的长，
∵∠PAM＝∠EAM，∠PAN＝∠FAN，∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝90°，
∵PA＝PE＝PF，
∴△EAF是等腰直角三角形，
∵PA的最小值为2，
∴线段EF的最小值为4，
∴△PMN的周长的最小值为4．
（3）如图3中，在图2的基础上，以A为圆心，AB为半径作⊙A，PA交EF于点O．
由题意点P在⊙A上，
∵△MAP≌△MAE，△NAP≌△NAF，
∴S四边形AMPN＝S△AEM+S△ANF＝S△AEF﹣S△AMN，
∵PA＝AE＝AF＝4，
∴S△EAF＝8，
∴△AMN的面积最小时，四边形AMPN的面积最大，
易知当PA⊥MN时，△AMN的面积最小，此时OA＝2，OM＝ON＝OP＝4﹣2，
∴MN＝8﹣4，
∴S△AMN＝×（8﹣4）•2＝8﹣8，
∴四边形AMPN的面积的最大值＝8﹣（8﹣8）＝16﹣8．
16．解：（1）如答图1，∵A（2，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝xy＝2×4＝8，
则函数解析式是：y＝．
设B（a，）．
依题意得：OE＝4，BF＝4﹣，AE＝2，AF＝a﹣2，
∴由OE•BF＝AE•AF得到：4（4﹣）＝2（a﹣2），
解得a＝8，
故点B的坐标为：（8，1）．
故答案是：（8，1）；
（2）如答图2，由题意，得：AP＝t，BP＝6﹣t，
∵AC＝BC，∠A＝∠B＝∠CPD，
∴AC•BD＝AP•BP，
∴4s＝t（6﹣t）＝6t﹣t2，
∴s＝，
当t＝3时，s的最大值为，此时CD的最小值为4﹣＝．
（3）在x轴上取点C，使得∠NCM＝∠APM＝∠AOP，设点P的坐标为（x，0），
所以AO＝＝5，
由（1）得：AO•MC＝OP•PC，且有tan∠NCM＝tan∠APM＝，
在Rt△MNC中，设CN＝3y，则MN＝4y，由勾股定理，得MC＝＝5y，
∴OP＝x，PC＝7+3y﹣x，
∴5×5y＝x（7+3y﹣x），
整理，得：x2﹣（7+3y）x+25y＝0．
∵x的值是存在的，
∴方程根的判别式＝[﹣（7+3y）]2﹣4×25y＝9y2﹣58y+49＝（9y﹣49）（y﹣1）≥0，
∴y≤1，y≥（舍去），4y＝4，
因此，MN的最大值为4．
17．解：（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，
∵矩形的对角线相等，
∴矩形一定是等角线四边形，
故答案为矩形．
②当AC⊥BD时，四边形MNPQ是正方形．
理由：如图1中，
∵M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，
∴PQ＝MN＝AC，PN＝QM＝BD，PQ∥AC，MQ∥BD，
∵AC＝BD，
∴MN＝NP＝PQ＝QM，
∴四边形MNPQ是菱形，
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝90°，
∴∠3＝90°，
∴四边形NMPQ是正方形．
故答案为AC⊥BD．
（2）①如图2中，作DE⊥AB于E．
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴AE＝BE＝2，
∵四边形ABCD是等角线四边形，
∴BD＝AC＝AD＝5，
∴DE＝＝＝，
∴S四边形ABCD＝S△ADE+S梯形DEBC
＝•AE•DE+•（DE+BC）•BE
＝×2×+（3+）×2＝3+2．
②如图3中，设AE与BD相交于点Q，连接CE，
作DH⊥AE于H，BG⊥AE于G．则DH≤DQ，BG≤BQ，
∵四边形ABED是等角线四边形，
∴AE＝BD，
∵S四边形ABED＝S△ABE+S△ADE＝•AE•DH+•AE•BG＝•AE•（GB+DH）≤•AE•（BQ+QD），
即S四边形ABED≤AE•BD，
∴当G、H重合时，即BD⊥AE时，等号成立，
∵AE＝BD，
∴S四边形ABED≤AE2，
即线段AE最大时，四边形ABED的面积最大，
∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，
∴AC＝4，
∵AE≤AC+CE，
∴AE≤4+1，
∴AE的最大值为4+1，
∴当A、C、E共线时，取等号，
∴四边形ABED的面积的最大值为×（4+1）2＝+4
18．解：（1）∵点C为线段AB外一动点，且AB＝m，AC＝n，
∴当点C位于AB的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AB+AC＝m+n，
故答案为：BA的延长线上，m+n；
（2）Ⅰ、AE＝BD，
理由：∵△ACD与△BCE是等边三角形，
∴AC＝CB，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACD+∠ACB＝∠BCE+∠ACB，
即∠ACE＝∠DCB，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD；
Ⅱ、∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，
由（1）知，当线段BC的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，
∴最大值为AD+AB＝AB+AC＝3+2＝5；
（3）
∵将△ACD绕着点C顺时针旋转90°得到△BCN，
则△ACN是等腰直角三角形，
∴CN＝AC＝2，BN＝AD，
∵A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），
∴OA＝1，OB＝4，
∴AB＝3，
∴线段AD长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
最大值＝AB+AN，
∵AN＝AC＝2 ，
∴最大值为2 +3；
过C作CE⊥x轴于E，
∵△ACN是等腰直角三角形，
∴CE＝AE＝，
∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝4﹣3﹣＝1﹣，
∴C（1﹣，）．
19．解：（1）∵a＝b＝3，且∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴OC＝，
∴CD＝；（1分）
（2）；（2分）
（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，
则点B落在点A，点C落在点E．连接AE，CE，
∴CD＝ED，∠CDE＝60°，AE＝CB＝a，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE＝CD．（4分）
当点E、A、C不在一条直线上时，
有CD＝CE＜AE+AC＝a+b；
当点E、A、C在一条直线上时，
CD有最大值，CD＝CE＝a+b；
只有当∠ACB＝120°时，∠CAE＝180°，
即A、C、E在一条直线上，此时AE最大
∴∠ACB＝120°，（7分）
因此当∠ACB＝120°时，
CD有最大值是a+b．
20．解：（1）将点A（4，0）、B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴对称轴为直线x＝，
∴D（，0），
令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
（2）作B点关于对称轴l的对称点B'，连接CB'交对称轴于点P，
∵BP＝B'P，
∴△PBC周长＝BC+BP+CP≥BC+CB'，
∴当C、B'、P三点共线时，△PBC周长的周长最小，
∵B（0，4），对称轴为直线x＝，
∴B'（3，4），
设直线CB'的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x+1，
∴P（，），
设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
∴，
∴y＝4x+4，
∴PQ∥BC，
设PQ的直线解析式为y＝4x+b2，
将P（，）代入，可得b2＝﹣，
∴y＝4x﹣，
联立，
解得x＝或x＝，
∵Q点在第一象限，
∴x＝，
∴Q（，2﹣），
过点K作KH⊥x轴交于点H，
∵OA＝OB＝4，
∴∠BAO＝45°，
∴KH＝AK，
∴QK+AK＝QK+KH≥QH，
∴当Q、K、H三点共线时，QK+AK的值最小，
∴QK+AK＝QH＝2﹣，
∴QK+AK的最小值为2﹣；
（3）存在点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
设直线AB的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+4，
设N（n，﹣n+4），M（m，﹣m2+3m+4），
由（1）（2）知E（，），F（，），
①当MN为平行四边形的对角线时，
，
∴m＝（舍）或m＝，
∴M（，）；
②当NE为平行四边形的对角线时，
，
∴m＝（舍）或m＝，
∴M（，）；
③当NF为平行四边形的对角线时，
，
∴m＝或m＝，
∴M（，）或M（，），
综上所述：M点的坐标为（，）或（，）或（，）．
21．解：（1）令y＝0，即：﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝3或﹣1，即点A、B的坐标分比为（﹣1，0）、（3，0），
令x＝0，则y＝3，则点C的坐标为（0，3），
直线BC过点C（0，3），则直线表达式为：y＝kx+3，
将点B坐标代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，
则直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（m，n），n＝﹣m2+2m+3，
则点Q坐标为（3﹣n，n），
则PQ＝m﹣（3﹣n）＝﹣m2+3m，
∵a＝﹣1＜0，则PQ有最大值，
当m＝﹣＝，PQ取得最大值为；
（2）过直线CG作∠GCH＝α，使CH⊥GH，
当sinα＝时，HG＝GC，
则BG+CG的最小值即为HG+GB的最小值，
当B、H、G三点共线时，HG+GB最小，则∠GBO＝α，
∵sinα＝，则cosα＝，tanα＝，
OG＝OB•tanα＝3×＝，即点G（0，），
CG＝3﹣＝，而BG＝，
BG+CG的最小值为：；
（3）作点A关于直线BG的对称点A′，
过A′作A′N⊥x轴，交BG于点M，交x轴于点N，
则此时AM+MN取得最小值，即为A′N的长度，
则：∠GBA＝∠AA′N＝∠OGB＝α，
AA′＝2ABsin∠ABG＝2×4×sinα＝，
A′N＝A′Acosα＝×＝，
即：AM+MN的最小值为．
2023年春九年级数学中考复习《压轴题常考题型》专题提升训练（附答案）
1．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D，E分别在AB，BC上，BE＝DE＝1，连接CD，点P是CD的中点，连接AP，PE．
（1）观察猜想
在图1中，线段AP与EP之间的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明
把△BDE绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE，请判断△APE的形状，并说明理由．（辅助线作法：取BD的中点F，连接EF、PF，取BC的中点G，连接AG、PG）
（3）拓展延伸
把△BDE绕点B在平面内自由旋转，若A、B、E三点在一条直线上，请直接写出△APE的面积： ．
2．已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CD，CE．
（1）如图1所示，线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）在图1中，若点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接PM，PN，MN，请判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）如图2所示，若M、N、P分别为DE、BC、DC上的点，且满足，BD＝6，连接PM，PN，MN，求S△MPN面积．
3．如图1中，在正方形ABCD中，点M是对角线AC的中点，点E，G分别为边BC，AB的中点．以BE，BG为邻边，在正方形ABCD内作正方形BEFG，点F和点M恰好重合，连接CG，EG，点P，N分别为CG，EG的中点，连接PN．
（1）观察猜想
在图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明
把正方形BEFG绕点B顺时针旋转到图2的位置，连接PM，PN，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由；
（3）拓展延伸
把正方形BEFG绕点B在平面内自由旋转，若AB＝6，请你直接写出PM+PN的最大值．
4．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PF与PG的数量关系是 ，∠FPG＝ （用含α的代数式表示）
（2）探究证明：当△ADE绕点A旋转到如图2所示的位置时，小新猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小新的猜想．
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝2，AB＝6，请直接写出PF的最大值．
5．已知：AD＝2，BD＝4，以AB为一边作等边三角形ABC．使C、D两点落在直线AB的两侧．
（1）如图，当∠ADB＝60°时，求AB及CD的长；
（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD的最大值，及相应∠ADB的大小．
6．如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
在图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，∠MPN的度数是 ；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，
①判断△PMN的形状，并说明理由；
②求∠MPN的度数；
（3）拓展延伸
若△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点DE分别在边AB，AC上，AD＝AE＝4，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3．
①△PMN的是 三角形．
②直接利用①中的结论，求△PMN面积的最大值．
7．如图1：在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），试探索AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．
小明同学的思路是这样的：将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE．继续推理就可以使问题得到解决．
（1）请根据小明的思路，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外的一点，且∠ADC＝45°，线段AD，BD，CD之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
（3）如图3，已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且∠ADC＝45°．
①若AD＝6，BD＝8，求弦CD的长为 ；
②若AD+BD＝14，求的最大值，并求出此时⊙O的半径．
8．已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D，E分别是AB，AC上的点，点M是DE上的一点，．
（1）如图1，已知α＝60°，n＝1，作出点E关于点A成中心对称的点F，求证：DF＝DC；
（2）如图2，已知α＝60°，；
①求的值；②若AB＝4，则AM的最小值是 （直接写出结果）；
（3）如图3，已知α＝90°，n＝1，，则CD的最大值为 （直接写出结果）．
9．在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为
；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若∠ACE＝135°，则线段AE长度的最大值是 （直接写出答案）．
10．（1）问题提出：
如图①，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是CB，AB的中点，点F是BD的中点，若AB＝8，AC＝6，则EF＝ ；
（2）问题探究：
如图②，已知：M是弓形AB上的中点，AB＝24，弓形AB的高是8，则对应⊙O的面积为多少？（结果保留根号或π）
（3）问题解决：
如图③，在半径为5的⊙O中，弦BC＝8，点A为优弧BC上的动点，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E．AD和BE交于点P，连接PC，试求△PBC面积的最大值．
11．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：
问题初探：
（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为 ；
问题再探：
（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：
①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．
成果运用
（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置？
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，BC＝8，D在边BC上，E在线段DC上，DE＝4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．
（1）求证：△BMD∽△CNE；
（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
（3）设BD＝x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．
13．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°）至△AB′C′的位置．
问题探究：
（1）如图1，当旋转角为60°时，连接C′C与AB交于点M，则C′C＝ ，CM＝ ．
（2）如图2，在（1）条件下，连接BB′，延长CC′交BB′于点D，求CD的长．
问题解决：
（3）如图3，在旋转的过程中，连线CC′、BB′，CC′所在直线交BB′于点D，那么CD的长有没有最大值？如果有，求出CD的最大值：如果没有，请说明理由．
14．【问题】
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．
【探究发现】
（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
【数学思考】
（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程；
【拓展引申】
（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM＝BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若AC＝BC＝4，请你直接写出BQ的最大值．
15．问题探究：在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．
探究1：如图1，若点P是对角线BD上任意一点，则线段AP的长的取值范围是 ；
探究2：如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值在探究1中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？如果存在，请求出△PMN周长的最小值，若不存在，请说明理由；
问题解决：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，点P是△ABC内任意一点，且AP＝4，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值时，求四边形AMPN面积的最大值．
16．问题：
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝90°时，我们都知道，可以得到：AD•BC＝AP•BP；
变式：
（1）如图2，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y＝（x＞0）上，BC与x轴交于点D．过点A作EF⊥y轴，垂足为E，再过点B作BF⊥AF，垂足为F，若点A的坐标为（2，4），则点B的坐标为 ．
探究：
（2）如图3，在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝4，点P以每秒1个单位的速度从点A出发，沿着AB边向点B运动，且满足∠A＝∠CPD，设运动时间为t（秒），BD的长度为s，求s与t的函数解析式，并求出CD的最小值．
应用：
（3）如图4，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），N点坐标为（7，0），点P为线段ON上的动点，始终保持∠APM＝∠AOP，射线PM交直线x＝7于点M，求MN的最大值．
17．如图1，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．
（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中， 一定是等角线四边形（填写图形名称）；
②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角线AC、BD还要满足 时，四边形MNPQ是正方形；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为平面内一点，若四边形ABCD是等角线四边形，且AD＝BD，求四边形ABCD的面积；
（3）如图3，已知△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，D为平面内一点，若四边形ABED是等角线四边形，求出四边形ABED面积的最大值，并说明理由．
18．（1）模型建立：
如图①，已知，线段AB，点C为线段AB外任意一点，若AB＝m，AC＝n，则当点C位于 时，线段BC的长取得最大值，且最大值为 （用含m，n的式子表示）．
（2）模型应用：
如图②，点C为线段AB外任意一点，且AB＝3，AC＝2，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，
Ⅰ．请找出图中与AE相等的线段，并说明理由；
Ⅱ．直接写出线段AE长度的最大值．
（3）拓展应用：
如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C为线段AB外任意一点，且AC＝2，∠BCD＝90°，CD＝CB，请直接写出线段AD长度的最大值及此时点C的坐标．
19．已知：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，以AB为边作等边三角形ABD．探究下列问题：
（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a＝b＝3，且∠ACB＝60°，则CD＝ ；
（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a＝b＝6，且∠ACB＝90°，则CD＝ ；
（3）如图3，当∠ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线l上的动点，当△PBC周长取得最小值时，过P做BC的平行线，在第一象限内交抛物线于点Q，在直线AB上有一动点K，求QK+AK的最小值；
（3）点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标，不存在，说明理由．
21．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
（1）如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合）过P作PQ∥x轴交直线BC于Q，求线段PQ
的最大值；
（2）如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点G的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．
参考答案
1．解：（1）（1）观察猜想
AP＝EP，AP⊥EP，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∵BE＝ED，
∴∠ABC＝∠BDE＝45°，
∴∠BED＝90°，
∴DE⊥BC，
∵∠DAC＝90°，点P是CD的中点，
∴EP＝DC，AP＝DC，
∴EP＝AP．
∵∠DAC＝∠DEC＝90°，
∴∠ADE＝135°，
∵DP＝PC，
∴DP＝AP＝PC，
∴∠PDE＝∠PED，∠PAD＝∠PDA，
∴∠PED+∠PDE+∠PAD+∠PDA＝270°，
∴∠APE＝360°﹣270°＝90°，
∴AP⊥EP．
（2）探究证明
△APE的形状是等腰直角三角形，理由如下：
取BD的中点F，连接EF、PF，取BC的中点G，连接AG、PG，
∵F为BD的中点，∠BED＝90°，
∴BF＝EF＝DF，
同理，AG＝BG＝CG，
∵P，F分别为CD，BD的中点，
∴PF＝BC，PF∥BC，
同理，PG＝BD，PG∥BD，
∴四边形BFPG为平行四边形，
∴PG＝BF＝EF，∠CGP＝∠CBD＝∠PFD，
∵∠AGC＝∠EFD＝90°，
∠AGC+∠CGP＝∠EFD+∠PFD，
即∠AGP＝∠EFP，
∴△EFP≌△PGA（SAS），
∴EP＝AP，∠FEP＝∠GPA，
∵∠EFD＝90°，
∴∠FEP+∠DFP+∠EPF＝90°，
∵PG∥BD，
∴∠DFP＝∠FPG，
∴∠FPG+∠EPF+∠GPA＝90°，
∴∠EPA＝90°
∴EP⊥AP．
（3）拓展延伸
如图3，当点E在AB的延长线上，
∵AB＝2，BE＝1，
∴AE＝2+1＝3，
由（2）可知AP⊥EP，AP＝EP，
∴△AEP为等腰直角三角形，
∴△APE的面积为．
如图4，当点E在线段AB上，
∵AB＝2，BE＝1，
∴AE＝1，
同理△AEP为等腰直角三角形，
∴△APE的面积为＝．
综合以上可得：△APE的面积为或．
故答案为：或．
2．解：（1）如图1，延长BD交CE于F，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠FBC+∠BCA＝90°，
∴∠ACE+∠FBC+∠BCA＝90°，
∴∠BFC＝90°，即BD⊥CE，
故答案为：BD＝CE；BD⊥CE；
（2）△PMN是等腰直角三角形，
理由如下：∵点M、P分别为DE、DC的中点，
∴MP＝CE，MP∥CE，
∴∠MPD＝∠ECD＝∠ECA+∠DCA＝∠ABD+∠DCA，
∵点P、N分别为DC、BC的中点，
∴NP＝BD，NP∥BD，
∴∠NPD＝180°﹣∠BDC＝∠DBC+∠DCB，
∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠ABD+∠DCA+∠DBC+∠DCB＝90°，
∵BD＝CE，
∴MP＝NP，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）∵＝，∠MDP＝∠EDC，
∴△MDP∽△EDC，MP∥CE，
∴＝＝，
∴MP＝CE＝2，
同理，NP∥BD，NP＝BD＝4，
由（2）可知，∠MPN＝90°，
∴S△MPN＝×2×4＝4．
3．解：（1）观察猜想
∵点P，N分别为CG，EG的中点，
∴PN∥CE，PN＝CE，PC＝PG，
∴∠EPN＝∠EFG，
∵四边形BEFG是正方形，
∴EF＝FG，∠EFG＝90°，FG∥BE，
∴PN∥FG，
∴∠EPN＝∠EFG＝90°，
∴PN⊥PM，
∵PC＝PG，∠FPG＝∠CPE，∠CEP＝∠GFP，
∴△CPE≌△GPF（AAS）
∴PE＝PF＝EF，CE＝FG＝EF，
∴PN＝PF＝MP，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
（2）探究证明
仍然成立，理由如下：
如图2，连接AG，CE，交点为H，
∵四边形ABCD，四边形BEFG都是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝∠GBE＝90°，
∴∠ABG＝∠CBE，且AB＝BC，BG＝BE，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE，∠BCE＝∠BAG，
∵∠BAG+∠GAC+∠BCA＝90°，
∴∠GAC+∠BCA+∠BCE＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∵点M，点P，点N分别是AC，CG，GE的中点，
∴MP＝AG，PN＝CE，MP∥AG，PN∥CE，
∴PM＝PN，∠POH＝∠AHC＝90°，∠MPN+∠POH＝180°，
∴∠MPN＝90°，
∴MP⊥PN；
（3）拓展延伸
∵点E，G分别为边BC，AB的中点，AB＝BC＝6，
∴BE＝BG＝3，
∵PM+PN＝2PM＝AG，
∴当点G在AB的延长线上时，PM+PN的值最大，
∴PM+PN的最大值为6+3＝9．
4．解：（1）如图1，∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
即DB＝CE，
∵点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PF＝CE，PG＝BD，
∴PF＝PG，
∵点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PG∥BD，PF∥CE，
∴∠PGC＝∠DBC，∠DPF＝∠DCE，
∴∠FPG＝∠DPF+∠DPG
＝∠DCE+∠PGC+∠DCB
＝∠ACD+∠ACE+∠DBC+∠DCB
＝∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠DCB
＝∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC
∴∠FPG＝180°﹣α；
故答案为：PF＝PG，180°﹣α；
（2）如图2，连接BD，CE，由题意知AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PF，PG分别是△CDE和△CDB的中位线，
∴PG∥BD，PF∥CE，
∴∠PGC＝∠DBC，∠DPF＝∠DCE，
∴∠FPG＝∠DPF+∠DPG
＝∠DCE+∠PGC+∠DCB
＝∠ACD+∠ACE+∠DBC+∠DCB
＝∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠DCB
＝∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC
∴∠FPG＝180°﹣α；
（3）当EC最大时，FP最大，EC的最大值为AE+AC＝8，
∴PF＝EC，即PF的最大值为4．，
5．解：（1）作AH⊥BD于H，如图，
在Rt△ADH中，
∵∠ADB＝60°，
∴∠DAH＝30°，
∴DH＝AD＝1，
∴AH＝DH＝，
∴BH＝BD﹣DH＝4﹣1＝3，
在Rt△AHB中，AB＝＝2，
∴∠ABH＝30°，
∵△ACB为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BC＝BA＝2，
∴∠DBC＝90°，
在Rt△DBC中，CD＝＝2；
（2）把△ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB，
则AE＝AD，BE＝DC，∠EAD＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝DA＝2，∠ADE＝60°，
当E点在直线BD上时，BE最大，最大值为2+4＝6，
∴CD的最大值为6，此时∠ADB＝120°．
6．解：（1）结论：PM＝PN，120°．
理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵AD＝AE，
∴BD＝EC，
∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，
∴PM＝EC，PN＝BD，PM∥AC，PN∥AB，
∴PM＝PN，∠MPD＝∠ACD，∠PNC＝∠B＝60°
∵∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠ACD+∠DCB+∠PNC＝120°
故答案为PM＝PN，120°．
（2）如图2中，连接BD、EC．
①∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵BA＝CA，DA＝EA，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，
∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝CE，
∴PN＝PM，
∴△PMN是等腰三角形．
②∵PN∥BD，PM∥EC
∴∠PNC＝∠DBC，∠DPM＝∠A＝ECD，
∴∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠ECD+∠PNC+∠DCB＝∠ECD+∠DCB+∠DBC＝∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠DBC＝∠ABD+∠ACB+∠DBC＝∠ACB+∠ABC＝120°．
（3）①△PMN是等腰直角三角形；
②∵PM＝PN＝BD，
∴BD最大时，PM最大，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝16，∴PM＝8，∴S△PMN最大＝PM2＝×82＝32．
7．解：（1）CD2+BD2＝2AD2，
理由：由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE，
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，
∴CD2+BD2＝2AD2；
（2）BD2＝CD2+2AD2，
理由：如图2，
将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE，
同（1）的方法得，ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，在Rt△ADE中，AD＝AE，
∴∠ADE＝45°，
∴DE2＝2AD2，
∵∠ADC＝45°，
∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝90°，
根据勾股定理得，CE2＝CD2+DE2＝CD2+2AD2，
即：BD2＝CD2+2AD2；
（3）如图3，过点C作CE⊥CD交DA的延长线于E，
∴∠DCE＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠E＝90°﹣∠ADC＝45°＝∠ADC，
∴CD＝CE，
根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝2CD2，
连接AC，BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠BDC＝45°＝∠ADC，
∴AC＝BC，
∵∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，
①AD＝6，BD＝8，
∴DE＝AD+AE＝AD+BD＝14，
∴2CD2＝142，
∴CD＝7，
故答案为7；
②∵AD+BD＝14，
∴CD＝7，
∴＝AD•（BD+×7）＝AD•（BD+7）
＝AD•BD+7AD＝AD（14﹣AD）+7AD＝﹣AD2+21AD＝﹣（AD﹣）2+，
∴当AD＝时，的最大值为，
∵AD+BD＝14，
∴BD＝14﹣＝，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝＝，
∴⊙O的半径为OA＝AB＝．
8．解：（1）如图1、
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
过点D作DG∥AC交BC于点G，
∴∠CGD＝∠ACB＝60°，
∴∠CGD＝120°，
∵点F是点E关于点A成中心对称的点，
∴AF＝AE，∠DAF＝120°＝∠CGD，
∠B＝60°，∠BGD＝60°，
∴△BDG是等边三角形，
∴BD＝DG，
∵n＝1，
∴BD＝AE，
∴DG＝AF，
∴△CDG≌△DFA（SAS），
∴DF＝CD；
（2）①如图2，
∵n＝，
∴，
过点D作DF∥AM交EA的延长线于点F，
∴，
∴BD＝AF，
过点D作DG∥AC交BC于点G，
同（1）的方法得，△BDG为等边三角形，
∴AD＝CG，BD＝DG＝AF，∠FAD＝∠DGC＝120°，
∴△ADF≌△GCD（SAS），
∴DF＝DC，
∵，
∴AM＝DF＝DC，
∴，
②由①知AM＝CD，
由垂线段最短知：当CD⊥AB时，CD最短，即：AM最小，
在Rt△BDC中，BC＝AB＝60°，∠B＝60°，
∴CD＝BCsinB＝2，
∴AM的最小值为×2＝，
故答案为；
（3）如图3，作CN⊥AC（N在AC左侧），使CN＝AE，连接EN，
∵AE＝BD，
∴CE＝AD，
则△ADE≌△CEN（ASA），
∴∠ADE＝∠CEN，DE＝EN，
∴DE⊥EN，取EN的中点O，连接OC，OD，
则CD≤OD+OC，
∵AM＝，DM＝ME＝AM＝，
则EN＝2，
∴OC＝OE＝，OD＝＝5，
∴当D，O，C三点共线时，CD的最大值为OD+OC＝5+，
故答案为5+．
9．解：（1）AE＝AB+DE；
理由：在AE上取一点F，使AF＝AB．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．
∵C是BD边的中点．
∴BC＝CD，
∴CF＝CD．
∵∠ACE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，∠ACF+∠ECF＝90°
∴∠ECF＝∠ECD．
在△CEF和△CED中，
，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF＝ED．
∵AE＝AF+EF，
∴AE＝AB+DE；
故答案为：AE＝AB+DE
（2）猜想：AE＝AB+DE+BD．
证明：在AE上取点F，使AF＝AB，连接CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连接CG．
∵C是BD边的中点，
∴CB＝CD＝BD．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF＝CB，∴∠BCA＝∠FCA．
同理可证：CD＝CG，∴∠DCE＝∠GCE．
∵CB＝CD，∴CG＝CF
∵∠ACE＝120°，
∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣120°＝60°．
∴∠FCA+∠GCE＝60°．
∴∠FCG＝60°．
∴△FGC是等边三角形．
∴FG＝FC＝BD．
∵AE＝AF+EG+FG．
∴AE＝AB+DE+BD．
（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．
∵C是BD边的中点，
∴CB＝CD＝BD．
∵△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF＝CB，∴∠BCA＝∠FCA．
同理可证：CD＝CG，∴∠DCE＝∠GCE
∵CB＝CD，∴CG＝CF
∵∠ACE＝135°，
∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣135°＝45°．
∴∠FCA+∠GCE＝45°．
∴∠FCG＝90°．
∴△FGC是等腰直角三角形．
∴FC＝BD．
∵BD＝8，
∴FC＝4，
∴FG＝4．
∵AE＝AB+4+DE．
∵AB＝2，DE＝8，
∴AE≤AF+FG+EG＝10+4．
∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4．
故答案为：10+4．
10．解：（1）如图①中，
在Rt△ABC中，∵AB＝8，AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵BD＝CD，
∴AD＝BC＝5，
∵BE＝EA，BF＝FD，
∴EF＝AD＝，
故答案为．
（2）如图②中，设圆心为O，连接OM，OB，OM交AB于E．设OB＝r．
∵＝，
∴OM⊥BA，EM＝8，
∴AE＝EB＝12
在Rt△OEB中，∵OE2+EB2＝OB2
∴（r﹣8）2+122＝r2，
∴r＝13，
∴对应⊙O的面积为169π．
（3）如图3﹣1中，延长CP交AB于F．
∵在半径为5的⊙O中，弦BC＝8，
∴∠BAC是定值，设∠BAC＝α，
∵AD，BE是高，
∴CF也是△ABC的高，
∴∠ABE＝∠ACF＝90°﹣α，
∵∠BPD＝∠ABP+∠BAP，∠CPD＝∠ACP+∠CAP，
∴∠BPC＝∠ABP+∠BAP+∠CAP+∠PCA＝90°+90°﹣α＝180°﹣α，
∴∠BPC是定值，
∴点P的运动轨迹是弧线，
如图3﹣2中，当A，O，D共线时，PD定值最大，此时△PBC的面积最大．
连接OC，在Rt△ODC中，OD＝＝3，
∴AD＝5+3＝8，AC＝AB＝4，
∵•BC•AD＝•AB•CF，
∴CF＝＝，
∴AF＝＝，
∵cos∠BAD＝＝，
∴＝，
∴PA＝6，
∴PD＝AD﹣PA＝2，
∴△PBC的面积的最大值＝×8×2＝8．
11．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝AB，
∵∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣∠B＝30°，
在Rt△BDE中，BE＝BD，
∵∠EDF＝120°，∠BDE＝30°，
∴∠CDF＝180°﹣∠BDE﹣∠EDF＝30°，
∵∠C＝60°，
∴∠DFC＝90°，
在Rt△CFD中，CF＝CD，
∴BE+CF＝BD+CD＝BC＝AB，
∵BE+CF＝nAB，
∴n＝，
故答案为：；
（2）如图2，①，连接AD，过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴∠DGB＝∠AGD＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠GDH＝360°﹣∠AGD﹣∠AHD﹣∠A＝120°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠EDG＝∠FDH，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DG⊥AB，DH⊥AC，
∴DG＝DH，
在△EDG和△FDH中，
，
∴△EDG≌△FDH（ASA），
∴DE＝DF，即DE始终等于DF；
②同（1）的方法得，BG+CH＝AB，
由①知，△EDG≌△FDH，
∴EG＝FH，
∴BE+CF＝BG﹣EG+CH+FH＝BG+CH＝AB，
∴BE与CF的和始终不变；
（3）由（2）知，DE＝DF，BE+CF＝AB，
∵AB＝8，
∴BE+CF＝4，
∴四边形DEAF的周长为L＝DE+EA+AF+FD
＝DE+AB﹣BE+AC﹣CF+DF
＝DE+AB﹣BE+AB﹣CF+DE
＝2DE+2AB﹣（BE+CF）
＝2DE+2×8﹣4
＝2DE+12，
∴DE最大时，L最大，DE最小时，L最小，
当DE⊥AB时，DE最小，此时，BE＝BD＝2，
当点F和点C重合或点E与点B重合时，DE最大，
当点F和点C重合时，∠BDE＝180°﹣∠EDF＝120°＝60°，
∵∠B＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BE＝BD＝4，
当点E与点B重合时，BE＝0，
综上所述，周长L取最大值时，BE＝4或0，周长L取最小值时，BE＝2．
12．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE＝∠FED＝60°，
∴∠MDB＝∠NEC＝120°，
∴∠BMD＝∠B＝∠C＝∠CNE＝30°，
∴△BMD∽△CNE；
（2）解：过点M作MH⊥BC，
∵以M为圆心，以MH为半径的圆，则与BC相切，
∴MH＝MF，
设BD＝x，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE＝60°，
∵∠B＝30°，
∴∠BMD＝∠FDE﹣∠B＝60°﹣30°＝30°＝∠B，
∴DM＝BD＝x，
∴MH＝MF＝DF﹣MD＝4﹣x，
在Rt△DMH中，sin∠MDH＝sin60°＝＝＝，
解得：x＝16﹣8，
∴当BD＝16﹣8时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切；
（3）解：过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，
∵AB＝AC，
∴BK＝BC＝×8＝4，
∵∠B＝30°，
∴AK＝BK•tan∠B＝4×＝，
∴S△ABC＝BC•AK＝×8×＝，
由（2）得：MD＝BD＝x，
∴MH＝MD•sin∠MDH＝x，
∴S△BDM＝•x•x＝x2，
∵△DEF是等边三角形且DE＝4，BC＝8，
∴EC＝BC﹣BD﹣DE＝8﹣x﹣4＝4﹣x，
∵△BMD∽△CNE，
∴S△BDM：S△CEN＝（）2＝，
∴S△CEN＝（4﹣x）2，
∴y＝S△ABC﹣S△CEN﹣S△BDM＝﹣x2﹣（4﹣x）2＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣2）2+（＜x＜），
当x＝2时，y有最大值，最大值为．
13．解：（1）如图1中，作MH⊥AC于H．
当旋转角为60°时，∠CAC′＝60°，
∵AC＝AC′，
∴△ACC′是等边三角形，
∴CC′＝AC＝2，∠MCH＝60°，设CH＝x，则MH＝AH＝x，
∴x+x＝2，
∴x＝﹣1，
∴CM＝2CH＝2﹣2．
故答案为2，2﹣2．
（2）如图2中，作BH⊥CD于H．
∵AB＝AB′，∠BAB′＝60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠DBM＝∠ACM＝60°，
∵∠DMB＝∠AMC，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
∵∠BCH＝∠BCA﹣∠ACC′＝30°，
∴BH＝DH＝BC＝1，CH＝，
∴CD＝CH+DH＝1+．
（3）CD的长有最大值．
理由：如图3中，
∵∠B′AC′＝∠BAC＝45°，
∴∠B′AB＝∠C′AC，
∵AB′＝AB，AC＝AC′，
∴＝，
∴△B′AB∽△C′AC，
∴∠DBM＝∠ACM，
∵∠DMB＝∠AMC，
∴∠BDM＝∠MAC＝45°，
取AB的中点H，以H为圆心，HB为半径作⊙H，连接CH．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴CH⊥AB，CH＝BH＝AH，
∴∠BHC＝90°，
∵∠BDC＝∠BHC，
∴点D的运动轨迹是⊙H，当CD＝AB时，CD的值最大，此时CD＝2．
14．证明：【探究发现】
（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∵CD∥AB
∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD
∴∠DCB＝∠DBC＝45°
∴DB＝DC
即DB＝DP
【数学思考】
（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°
∴∠DCG＝∠DGC＝45°
∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，
∵∠BDP＝∠CDG＝90°
∴∠CDP＝∠BDG，且DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，
∴△CDP≌△GDB（ASA）
∴BD＝DP
【拓展引申】
（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，
∵MH⊥MN，
∴∠AMH+∠NMB＝90°
∵CD∥AB，∠CDB＝90°
∴∠DBM＝90°
∴∠NMB+∠MNB＝90°
∴∠HMA＝∠MNB，且AM＝BN，∠CAB＝∠CBN＝45°
∴△AMH≌△BNQ（ASA）
∴AH＝BQ
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB＝4，AC﹣AH＝BC﹣BQ
∴CH＝CQ
∴∠CHQ＝∠CQH＝45°＝∠CAB
∴HQ∥AB
∴∠HQM＝∠QMB
∵∠ACB＝∠HMQ＝90°
∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，
∴∠HCM＝∠HQM
∴∠HCM＝∠QMB，且∠A＝∠CBA＝45°
∴△ACM∽△BMQ
∴
∴
∴BQ＝
∴AM＝2时，BQ有最大值为2．
15．解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AC⊥BD，AC＝BD＝4，
∴当P与O重合时，PA的值最小，最小值＝2，
当P与B或D重合时，PA的值最大，最大值为4，
∴2≤PA≤4．
故答案为2≤PA≤4．
（2）存在．
理由：如图2中，作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接EF交AB于M，交AC于N，连接AE、AF、PA．
∵PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，
∴点P位置确定时，此时△PMN的周长最小，最小值为线段EF的长，
∵∠PAM＝∠EAM，∠PAN＝∠FAN，∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝90°，
∵PA＝PE＝PF，
∴△EAF是等腰直角三角形，
∵PA的最小值为2，
∴线段EF的最小值为4，
∴△PMN的周长的最小值为4．
（3）如图3中，在图2的基础上，以A为圆心，AB为半径作⊙A，PA交EF于点O．
由题意点P在⊙A上，
∵△MAP≌△MAE，△NAP≌△NAF，
∴S四边形AMPN＝S△AEM+S△ANF＝S△AEF﹣S△AMN，
∵PA＝AE＝AF＝4，
∴S△EAF＝8，
∴△AMN的面积最小时，四边形AMPN的面积最大，
易知当PA⊥MN时，△AMN的面积最小，此时OA＝2，OM＝ON＝OP＝4﹣2，
∴MN＝8﹣4，
∴S△AMN＝×（8﹣4）•2＝8﹣8，
∴四边形AMPN的面积的最大值＝8﹣（8﹣8）＝16﹣8．
16．解：（1）如答图1，∵A（2，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝xy＝2×4＝8，
则函数解析式是：y＝．
设B（a，）．
依题意得：OE＝4，BF＝4﹣，AE＝2，AF＝a﹣2，
∴由OE•BF＝AE•AF得到：4（4﹣）＝2（a﹣2），
解得a＝8，
故点B的坐标为：（8，1）．
故答案是：（8，1）；
（2）如答图2，由题意，得：AP＝t，BP＝6﹣t，
∵AC＝BC，∠A＝∠B＝∠CPD，
∴AC•BD＝AP•BP，
∴4s＝t（6﹣t）＝6t﹣t2，
∴s＝，
当t＝3时，s的最大值为，此时CD的最小值为4﹣＝．
（3）在x轴上取点C，使得∠NCM＝∠APM＝∠AOP，设点P的坐标为（x，0），
所以AO＝＝5，
由（1）得：AO•MC＝OP•PC，且有tan∠NCM＝tan∠APM＝，
在Rt△MNC中，设CN＝3y，则MN＝4y，由勾股定理，得MC＝＝5y，
∴OP＝x，PC＝7+3y﹣x，
∴5×5y＝x（7+3y﹣x），
整理，得：x2﹣（7+3y）x+25y＝0．
∵x的值是存在的，
∴方程根的判别式＝[﹣（7+3y）]2﹣4×25y＝9y2﹣58y+49＝（9y﹣49）（y﹣1）≥0，
∴y≤1，y≥（舍去），4y＝4，
因此，MN的最大值为4．
17．解：（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，
∵矩形的对角线相等，
∴矩形一定是等角线四边形，
故答案为矩形．
②当AC⊥BD时，四边形MNPQ是正方形．
理由：如图1中，
∵M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，
∴PQ＝MN＝AC，PN＝QM＝BD，PQ∥AC，MQ∥BD，
∵AC＝BD，
∴MN＝NP＝PQ＝QM，
∴四边形MNPQ是菱形，
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝90°，
∴∠3＝90°，
∴四边形NMPQ是正方形．
故答案为AC⊥BD．
（2）①如图2中，作DE⊥AB于E．
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴AE＝BE＝2，
∵四边形ABCD是等角线四边形，
∴BD＝AC＝AD＝5，
∴DE＝＝＝，
∴S四边形ABCD＝S△ADE+S梯形DEBC
＝•AE•DE+•（DE+BC）•BE
＝×2×+（3+）×2＝3+2．
②如图3中，设AE与BD相交于点Q，连接CE，
作DH⊥AE于H，BG⊥AE于G．则DH≤DQ，BG≤BQ，
∵四边形ABED是等角线四边形，
∴AE＝BD，
∵S四边形ABED＝S△ABE+S△ADE＝•AE•DH+•AE•BG＝•AE•（GB+DH）≤•AE•（BQ+QD），
即S四边形ABED≤AE•BD，
∴当G、H重合时，即BD⊥AE时，等号成立，
∵AE＝BD，
∴S四边形ABED≤AE2，
即线段AE最大时，四边形ABED的面积最大，
∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，
∴AC＝4，
∵AE≤AC+CE，
∴AE≤4+1，
∴AE的最大值为4+1，
∴当A、C、E共线时，取等号，
∴四边形ABED的面积的最大值为×（4+1）2＝+4
18．解：（1）∵点C为线段AB外一动点，且AB＝m，AC＝n，
∴当点C位于AB的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AB+AC＝m+n，
故答案为：BA的延长线上，m+n；
（2）Ⅰ、AE＝BD，
理由：∵△ACD与△BCE是等边三角形，
∴AC＝CB，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACD+∠ACB＝∠BCE+∠ACB，
即∠ACE＝∠DCB，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD；
Ⅱ、∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，
由（1）知，当线段BC的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，
∴最大值为AD+AB＝AB+AC＝3+2＝5；
（3）
∵将△ACD绕着点C顺时针旋转90°得到△BCN，
则△ACN是等腰直角三角形，
∴CN＝AC＝2，BN＝AD，
∵A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），
∴OA＝1，OB＝4，
∴AB＝3，
∴线段AD长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
最大值＝AB+AN，
∵AN＝AC＝2 ，
∴最大值为2 +3；
过C作CE⊥x轴于E，
∵△ACN是等腰直角三角形，
∴CE＝AE＝，
∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝4﹣3﹣＝1﹣，
∴C（1﹣，）．
19．解：（1）∵a＝b＝3，且∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴OC＝，
∴CD＝；（1分）
（2）；（2分）
（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，
则点B落在点A，点C落在点E．连接AE，CE，
∴CD＝ED，∠CDE＝60°，AE＝CB＝a，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE＝CD．（4分）
当点E、A、C不在一条直线上时，
有CD＝CE＜AE+AC＝a+b；
当点E、A、C在一条直线上时，
CD有最大值，CD＝CE＝a+b；
只有当∠ACB＝120°时，∠CAE＝180°，
即A、C、E在一条直线上，此时AE最大
∴∠ACB＝120°，（7分）
因此当∠ACB＝120°时，
CD有最大值是a+b．
20．解：（1）将点A（4，0）、B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴对称轴为直线x＝，
∴D（，0），
令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
（2）作B点关于对称轴l的对称点B'，连接CB'交对称轴于点P，
∵BP＝B'P，
∴△PBC周长＝BC+BP+CP≥BC+CB'，
∴当C、B'、P三点共线时，△PBC周长的周长最小，
∵B（0，4），对称轴为直线x＝，
∴B'（3，4），
设直线CB'的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x+1，
∴P（，），
设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
∴，
∴y＝4x+4，
∴PQ∥BC，
设PQ的直线解析式为y＝4x+b2，
将P（，）代入，可得b2＝﹣，
∴y＝4x﹣，
联立，
解得x＝或x＝，
∵Q点在第一象限，
∴x＝，
∴Q（，2﹣），
过点K作KH⊥x轴交于点H，
∵OA＝OB＝4，
∴∠BAO＝45°，
∴KH＝AK，
∴QK+AK＝QK+KH≥QH，
∴当Q、K、H三点共线时，QK+AK的值最小，
∴QK+AK＝QH＝2﹣，
∴QK+AK的最小值为2﹣；
（3）存在点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
设直线AB的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+4，
设N（n，﹣n+4），M（m，﹣m2+3m+4），
由（1）（2）知E（，），F（，），
①当MN为平行四边形的对角线时，
，
∴m＝（舍）或m＝，
∴M（，）；
②当NE为平行四边形的对角线时，
，
∴m＝（舍）或m＝，
∴M（，）；
③当NF为平行四边形的对角线时，
，
∴m＝或m＝，
∴M（，）或M（，），
综上所述：M点的坐标为（，）或（，）或（，）．
21．解：（1）令y＝0，即：﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝3或﹣1，即点A、B的坐标分比为（﹣1，0）、（3，0），
令x＝0，则y＝3，则点C的坐标为（0，3），
直线BC过点C（0，3），则直线表达式为：y＝kx+3，
将点B坐标代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，
则直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（m，n），n＝﹣m2+2m+3，
则点Q坐标为（3﹣n，n），
则PQ＝m﹣（3﹣n）＝﹣m2+3m，
∵a＝﹣1＜0，则PQ有最大值，
当m＝﹣＝，PQ取得最大值为；
（2）过直线CG作∠GCH＝α，使CH⊥GH，
当sinα＝时，HG＝GC，
则BG+CG的最小值即为HG+GB的最小值，
当B、H、G三点共线时，HG+GB最小，则∠GBO＝α，
∵sinα＝，则cosα＝，tanα＝，
OG＝OB•tanα＝3×＝，即点G（0，），
CG＝3﹣＝，而BG＝，
BG+CG的最小值为：；
（3）作点A关于直线BG的对称点A′，
过A′作A′N⊥x轴，交BG于点M，交x轴于点N，
则此时AM+MN取得最小值，即为A′N的长度，
则：∠GBA＝∠AA′N＝∠OGB＝α，
AA′＝2ABsin∠ABG＝2×4×sinα＝，
A′N＝A′Acosα＝×＝，
即：AM+MN的最小值为．
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