2023年中考数学二轮专项练习：二次函数的三种形式附答案

2023年中考数学二轮专项练习：二次函数的三种形式附答案

一、单选题

1．二次函数y＝x（1﹣x）﹣2的一次项系数是（　　） 

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

2．抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x-1）2-4，则b、c的值为(　　)

A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=2

3．若二次函数y=x2+2x+c配方后为y=（x+h）2+7，则c、h的值分别为（　　）

A．8、﹣1  B．8、1 C．6、﹣1 D．6、1

4．函数y=2x（x-3）中，二次项系数是（　　）

A．2 B．2x2 C．－6 D．-6x

5．若把抛物线y＝x2－2x＋1先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，则b、c的值为（　　）

A．b＝2，c＝－2 B．b＝－8，c＝14

C．b＝－6，c＝6 D．b＝－8，c＝18

6．二次函数y＝x2－6x＋5的图像的顶点坐标是（　　）

A．(－3，4) B．(3，4) C．(－1，2) D．(3，－4)

7．抛物线 的对称轴是(　　)

A．直线  B．直线  C．直线  D．

8．将二次函数y=x2-2x+3化为y=（x-h）2+k的形式，结果为（　　)

A．y=（x+1）2+4 B．y=（x-1）2+4

C．y=（x+1）2+2 D．y=（x-1）2+2

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x﹣h）2+k，则下列结论正确的是(        )
 

A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0 C．h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜0

10．抛物线 的顶点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C． 轴上 D． 轴上

11．将抛物线y=2x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为（　　）

A．y=2（x+2）2+3 B．y=（2x﹣2）2+3  

C．y=（2x+2）2﹣3 D．y=2（x﹣2）2+3

12．对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（　　）

A．图象的开口向下 B．当x>1时，y随x的增大而减小

C．当x<1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=－1

二、填空题

13．若关于 的方程 没有实数根，则二次函数 的图象的顶点在第　     　象限．

14．将抛物线y=x2向左平移5个单位，得到的抛物线解析式为　                            　．

15．如果一条抛物线的形状与y=﹣2x2+2的形状相同，且顶点坐标是（4，﹣2），则它的解析式是　                                   　． 

16．将二次函数y=x2+4x﹣2配方成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=　            　 ．

17．把二次函数y=（x﹣2）2+1化为y=x2+bx+c的形式，其中b、c为常数，则b+c=　     　． 

18．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为　            　 ．

三、综合题

19．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；

（3）在直线l上是否存在点Q，使以M、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

20．根据题目所给条件，求出二次函数表达式

（1）已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求解析式．  

（2）抛物线过点 (0,0) ，(1,2)， (2,3)三点，求解析式  

21．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

22．已知二次函数y = 2x2 -4x-6.

（1）用配方法将y = 2x2 -4x-6化成y = a (x -h) 2 + k的形式；并写出对称轴和  顶点坐标。  

（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；  

（3）当 时，求y的取值范围；  

（4）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积。

23．下表是二次函数y=ax2+bx+c（ a≠0）图象上部分点的横坐标（x）和纵坐标（y）． 

（1）观察表格，直接写出m=　     　； 

（2）其中A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则y1　     　y2（用“＞”或“＜”填空）； 

（3）求这个二次函数的表达式． 

24．在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为A，直线 与抛物线交于点 (点B在点C的左侧)． 

（1）求点A坐标；  

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段 及抛物线在 两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为W． 

①当 时，结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；

②如果区域W内有2个整点，请求出 的取值范围．

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】B

3．【答案】B

4．【答案】A

5．【答案】C

6．【答案】D

7．【答案】B

8．【答案】D

9．【答案】A

10．【答案】C

11．【答案】D

12．【答案】C

13．【答案】一

14．【答案】y=（x+5）2（或y=x2+10x+25）

15．【答案】y=﹣2（x﹣4）2﹣2或y=2（x﹣4）2﹣2

16．【答案】（x+2）2﹣6

17．【答案】1

18．【答案】y=x2﹣2x﹣3

19．【答案】（1）解：把x=0代入得：y=3，

∴C（0，3）．

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入得：3=﹣3a，解得：a=﹣1．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3

（2）解：如图所示：

∵点A与点B关于直线l对称，点P在直线l上，

∴PA=PB．

∴PA+PC=PC+PB．

∵两点之间线段最短，

∴当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值，PA+PC的最小值=BC．

∵OC=3，OB=3，

∴BC=3 ．

∴PA+PC的最小值=3

（3）解：抛物线的对称轴为x=﹣ =1．

设点Q的坐标为（1，m），则QM=|m|．

∵以M、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似，

∴∠OQM=∠CAO或∠OQM=∠ACO．

当∠CQM=∠CAO时， = ，即 = ，解得m= ．

∴点Q的坐标为（1， ）或（1，﹣ ）．

当∠OQM=∠ACO时， = ，即 = ，解得：m=±3，

∴点Q的坐标为（1，3）或（1，﹣3）．

综上所述，点Q的坐标为（1， ）或（1，﹣ ）或（1，3）或（1，﹣3）

20．【答案】（1）解：设 ，代入（1，10）得  

，解得 ，

∴二次函数表达式为 ；

（2）解： ，代入(0,0) ，(1,2)， (2,3)得  

，解得

∴二次函数表达式为 .

21．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2），

将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a= ，

则抛物线解析式为y= （x+4）（x﹣2）= x2+x﹣4；

（2）解：过M作MN⊥x轴，

将x=m代入抛物线得：y= m2+m﹣4，即M（m， m2+m﹣4），

∴MN=| m2+m﹣4|=﹣ m2﹣m+4，ON=﹣m，

∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4，

∴△AMB的面积为S=S△AMN+S梯形MNOB﹣S△AOB

= ×（4+m）×（﹣ m2﹣m+4）+ ×（﹣m）×（﹣ m2﹣m+4+4）﹣ ×4×4

=2（﹣ m2﹣m+4）﹣2m﹣8

=﹣m2﹣4m

=﹣（m+2）2+4，

当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．

22．【答案】（1）解：y=2x2-4x-6 

=2（x2-2x+1）-2-6

=2（x-1）2-8；

对称轴是直线x=1， 顶点坐标是（1，-8）

（2）解：令x=0，得y=-6， 

令y=0，得2x2-4x-6=0，解得x=-1或x=3，

则抛物线与x轴的交点为：（-1，0），（3，0）；与y轴的交点为：（0，-6）．

由（1）题得：对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-8），开口向上，故图象为：

（3）解：当x=1时，y有最小值，最小值为-8， 

∵ ，

∴y的最小值为10，

∴y的取值范围

（4）解：当x=0时，y=-6； 

当y=0时，2x2-4x-6=0，解得：x=3或x=-1，

函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积=

23．【答案】（1）3

（2）＞

（3）解：∵顶点是（2，﹣1）， 

∴设二次函数顶点式解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，

由图可知，函数图象经过点（1，0），

∴a（1﹣2）2﹣1=0，

解得a=1．

∴二次函数的解析式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3

24．【答案】（1）解：∵抛物线的解析式为： ，  

∴可得顶点坐标为：A（a，0）；

（2）解：①∵a=0， 

∴抛物线表达式为： ，

令 ，

解得：x1= ，x2= ，

∵ ， ，

∴区域 内的整点有（0，1），（0，2），（1，2），（1，3）共4个整点；

②由①可知当a=0时有4个整点，

当a＞0时，对称轴在y轴右侧，此时有更多整点，

∴a＜0，

∵抛物线的解析式为： ，

∴抛物线的顶点在x轴，开口向上，

当抛物线在直线y=x+3左侧且两者相切时，没有整点，

当抛物线向右平移时，第一个整点为（-1，1），代入抛物线，

，

解得：a=-2或0（舍），

第二个整点为（0，2），代入抛物线，

，

解得：a= （舍）或 ，

第三个整点为（0，1），代入抛物线，

，

解得：a=1（舍）或-1，

综上：a的取值范围是： .