2023年中考数学二轮专项练习：二次函数的实际应用几何问题附答案

2023年中考数学二轮专项练习：二次函数的实际应用几何问题附答案

一、单选题

1．如图，等腰△ 中， ，MN是边BC上一条运动的线段点M不与点B重合，点N不与点C重合 ，且 ， 交AB于点D， 交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，△ 和△ 的面积之和      

A．保持不变 B．先变小后变大

C．先变大后变小 D．一直变大

2．如图，正方形ABCD的顶点A（0， ），B（ ，0），顶点C，D位于第一象限，直线x=t，（0≤t≤ ），将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分（阴影部分）的面积为S，则函数S与t的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

3．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是()
 

A．AE=6cm B．

C．当0＜t≤10时， D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形

4．如图，抛物线y1= (x+12)+1与y2=a(x-4)2-3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：

①a=  ；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x>1时，y1>y2. 其中正确的结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，如图所示，点B恰好落在函数 的图象上，则a的值为（　　） 

A． B．-1 C． D．

6．小明发现鸡蛋的形状可以近似用抛物线与圆来刻画.于是他画了两只鸡蛋的示意图（如图，单位：cm），其中 AB 和 A'B'；上方为两条开口大小相同的抛物线，下方为两个圆的一部分.若第一个鸡蛋的高度 CD 为 8.4 cm，则第二个鸡蛋的高度C'D'为（　　）

A．7.29 cm B．7.34 cm C．7.39 cm D．7.44 cm

7．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a+b+c|+|a﹣b+c|+|2a+b|=（　　） 

A．2a+3 b B．2c﹣b C．2a﹣b D．b-2c

8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，四边形EHFG的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）
 

A．y＝3 x2 B．y＝4 x2 C．y＝8x2 D．y＝9x2

9．周长8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（　　）m

A． B． C．4 D．

10．一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒，设BE＝CF＝xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（　　）

A．30cm B．25cm C．20cm D．15cm

11．矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围均正确的是（　　）  

A．y=﹣x2+6x（3＜x＜6） B．y=﹣x2+12x（0＜x＜12）

C．y=﹣x2+12x（6＜x＜12） D．y=﹣x2+6x（0＜x＜6）

12．如图，在 中， ， ， ．动点P从点A开始沿边AB向点B以 的速度移动，动点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动．若 ， 两点分别从 ， 两点同时出发，在运动过程中， 的最大面积是（　　）．

A．18 B．12 C．9 D．3

二、填空题

13．在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm，那么y关于x的函数是　                 　．

14．如图，四边形 的两条对角线 所成的锐角为 ，则四边形 的面积最大值为　     　． 

15．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E，F. 若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了　     　m，恰好把水喷到F处进行灭火．

16．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为　     　m.

17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形．则点的坐标是　               　．

18．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为　     　m2．

三、综合题

19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．

（1）①当运动停止时，t的值为　     　；

②设P、C之间的距离为y，则y与t满足　         　关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；

（2）设△PCQ的面积为S．

①求S的表达式（用含t的式子表示）；

②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？

20．如图，已知二次函数图象的顶点在原点，直线y= x+4的图象与该二次函数的图象交于点A（m，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．

（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；

（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象的交于点D，与x轴交于点E，设线段PD长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P．使得以点P，E，B为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写P点坐标；若不存在，请说明理由．

21．已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．

（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．

（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．

①当△ABC的面积为1时，求a的值．

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

22．如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为x(秒)，△PBQ的面只为y(cm2).

（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

（2）求△PBQ的面积的最大值.

23．   

（1）【基础巩固】如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC，求证：△AFE∽△BCF；

（2）【尝试应用】如图2，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC=BC=4 ，E，F分别是AC，AB上的一点，若∠CFE=45°．若设AE=y，BF=x，求出y与x的函数关系及y的最大值．

（3）【拓展提高】已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上．如图3如果AD：BD=1：2，求CE：CF的值．

24．如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点， ，交 轴于点 ，对称轴是直线 ． 

（1）求抛物线的解析式及点 的坐标；  

（2）连接 ， 是线段 上一点， 关于直线 的对称点 正好落在 上，求点 的坐标；  

（3）动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度向点 运动，过 作 轴的垂线交抛物线于点 ，交线段 于点 ．设运动时间为 （ ）秒．若 与 相似，请求出 的值．  

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】C

3．【答案】D

4．【答案】B

5．【答案】D

6．【答案】A

7．【答案】C

8．【答案】C

9．【答案】B

10．【答案】C

11．【答案】D

12．【答案】C

13．【答案】y=(60+2x)(40+2x)

14．【答案】

15．【答案】

16．【答案】1.6

17．【答案】，

18．【答案】75

19．【答案】（1）2；一次函数

（2）解：①由题意可得：，

△PCQ的面积

故答案为：

②由二次函数的性质可得：，开口向下，对称轴为

∴当时，S取得最大值，最大值为6

20．【答案】（1）解：∵点A（m，8）在直线y= x+4上，

∴ m+4=8，解得m=8，

∴A（8，8），

∵抛物线过原点，

∴可设二次函数的解析式为y=ax2（a≠0），

∵A（8，8）在y=ax2图象上，

∴8=a×82，解得a= ，

∴二次函数的解析式为y= x2，

∵直线y=x+4与y轴交于点B，

∴令x=0时可得y=4，即B（0，4）

（2）解：∵P点在y= x+4上，且横坐标为t，

∴P（t， t+4），

又PD⊥X轴于E，

∴D（t， ），E（t，0），

∵PD=h=PE﹣DE=（ t+4）﹣ ，

∴h=﹣ + t+4，

∵P与A，B不重合且在线段上，

∴0＜t＜8，

即h与t的函数关系式为h=﹣ + t+4（0＜t＜8）

（3）解：设E（n，0）（0＜n＜8），则P（n， n+4），且B（0，4），

∴PB= = n，PE= n+4，BE= = ，

若△PEB为等腰三角形，则有PB=PE、PB=BE或PE=BE三种情况，

①     当PB=PE时，则有 n= n+4，解得n=2 +2，此时P点坐标为（2 +2， +5）；

②当PB=BE时，则有 n= ，解得n=8（此时P与A重合，不合题意，舍去）或n=﹣8＜0舍去；

③当PE=BE时，则有 n+4= ，解得n=0（舍去）或n= ，此时P点坐标为（ ， ）；

综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（2 +2， +5）或（ ， ）

21．【答案】（1）证明：令y=0，a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=0，

△=（﹣a）2﹣4a×0=a2，

∵a≠0，

∴a2＞0，

∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点

（2）解：①y=0，则a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m）（x﹣m﹣1）=0，

解得x1=m，x2=m+1，

∴AB=（m+1）﹣m=1，

y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m﹣ ）2﹣ ，

△ABC的面积= ×1×|﹣ |=1，

解得a=±8；

②x=0时，y=a（0﹣m）2﹣a（0﹣m）=am2+am，

所以，点D的坐标为（0，am2+am），

△ABD的面积= ×1×|am2+am|，

∵△ABC的面积与△ABD的面积相等，

∴ ×1×|am2+am|= ×1×|﹣ |，

整理得，m2+m﹣ =0或m2+m+ =0，

解得m= 或m=﹣

22．【答案】（1）解：∵ = PB•BQ，PB=AB﹣AP=18﹣2x，BQ=x，

∴y= x（18﹣2x），

即y= +9x（0＜x≤4）   

（2）解：由（1）知，y= +9x（0＜x≤4），∴y= ，∵当0＜x≤ 时，y随x的增大而增大，

而0＜x≤4，

∴当x=4时， =20，

即△PBQ的最大面积是20

23．【答案】（1）证明：∵∠A=∠EFC

∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB

∴∠E=∠CFB

∵∠A=∠B

∴△AFE∽△BCF

（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°=∠CFE，AB=AC=8，
由(1)得 △AFE∽△BCF ，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∵a=-<0，
∴ ；

（3）解：如图，连接DE、DF，

∵ AD：BD=1：2 ，
设AD=1，BD=2，
∴AB=AD+BD=3，
∵△EFC与△EFD 关于EF对称

∴∠EDF=∠ECF=60°，EC=ED，FC=FD

又∵∠B=∠A=60°

∴∠EDF=∠A=∠B

由（1）得△ADE∽△BFD，

.

24．【答案】（1）解：∵点 、 关于直线 对称， ，∴ ， .  

代入 中，得： ，解 ，

∴抛物线的解析式为 .

∴ 点坐标为

（2）解：设直线 的解析式为 ，则有： ，解得 ，  

∴直线 的解析式为 .

∵点 、 关于直线 对称，

又 到对称轴的距离为1，∴ .

∴ 点的横坐标为2，将 代入 中，得： ，

∴F（2,1）

（3）解： 秒时， .如图  

当 时

∴ ，∴ ，

.

①若 ，则 ，即

（舍去），或 .

②若 ，则 ，即

（舍去），或 （舍去）

∴ .