2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与三角形综合附答案

这是一份2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与三角形综合附答案，共54页。试卷主要包含了正方形的边长为4，，交于点E等内容，欢迎下载使用。
 2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与三角形综合附答案
1．正方形的边长为4，，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．

(1)如图（1），双曲线过点E，完成填空：点C的坐标是___________．点E的坐标是___________，双曲线的解析式是___________；
(2)如图（2），双曲线与，分别交于点M，N（反比例图像不一定过点E）．求证；
(3)如图（3），将正方形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，在轴上，且，把矩形沿对角线所在直线翻折，点恰好落在点处，反比例函数的图象经过点．

(1)求反比例函数的表达式．
(2)求直线OD的表达式．
(3)点是直线上一点，是以为底角的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
3．如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D．

(1)求a，b的值及反比例函数的解析式；
(2)若点P在线段上，且，请求出此时点P的坐标；
(3)在x轴正半轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，说明理由．
4．已知反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．

(1)求m的取值范围；
(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．
①求出函数解析式；
②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个．
5．如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．

(1)AE=_______（用含有k的代数式表示）；
(2)如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；
(3)若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A(0，﹣6)、D(﹣3，﹣7)，点B、C在第三象限内．

(1)求点B的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点P，使ABP是AB为腰的等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)将正方形ABCD沿y轴向上平移，若存在某一位置，使在第二象限内点B、D两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式．
7．如图所示，反比例函数y（m≠0）的图象与一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象交于A（2，a＋2）、B（a﹣10，﹣1）两点，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D．

(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若P（t，0）（t≠2）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设MN的长为d，求出d与t之间的函数关系式；
(3)在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图像与一个反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
9．在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与BC边交于点，与AB交于点
（1）求m与n的数量关系．
（2）当时，记面积为S，用含有k的式子表示S．
（3）若的面积为2．设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B，C，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10．有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．

（1）已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为，则该智慧三角形的面积为 ；
（2）如图①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；
（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数上（）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值．
11．如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB＝，反比例函数（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．

（1）若OA＝5，求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S＝12，求OA的长和点C的坐标；
（3）在（2）中的条件下，过点F作EF//OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点C（0，2），且与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，作BD⊥x轴于点D，OD=2．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）设点P是轴上的点，若△PBC的面积等于6，直接写出点P的坐标；
（3）设M点是y轴上的点，且△MBC为等腰三角形，求M点的坐标．

13．已知，在平面直角坐标系中，点，是平行四边形OABC的两个顶点，反比例函数的图象经过点B．
（1）求出反比例函数的表达式；
（2）将沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

14．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OC＝2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交千点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．

15．定义：在平面直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移2个单位的平移称为一次斜平移．已知点A（1，0），点A经过n次斜平移得到点B，点M是线段AB的中点．
（1）当n=3时，点B的坐标是 ，点M的坐标是 ；
（2）如图1，当点M落在的图像上，求n的值；
（3）如图2，当点M落在直线上，点C是点B关于直线的对称点，BC与直线相交于点N．
①求证：△ABC是直角三角形  
②当点C的坐标为（5，3）时，求MN的长．
    
16．如图，直线和反比例函数的图象都经过点，点在反比例函数的图象上，连接．

（1）求直线和反比例函数的解析式；
（2）直线经过点吗？请说明理由；
（3）当直线与反比例数图象的交点在两点之间.且将分成的两个三角形面积之比为时，请直接写出的值．
17．如图①，在平面直角坐标系中，函数（，为常数，）的图象经过点和，点在该函数图象上运动，已知直线与x轴，y轴分别交于Q，P两点，连接，，，.

（1）若是等边三角形，求k的值；
（2）当时，若仅存在唯一点M使得的面积等于，求点M的坐标；
（3）当时，如图②，过点B作轴分别交、y轴于点C、D，在直线上是否存在一点E，使得是直角三角形，求出所有可能的E点坐标.
18．在如图平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，、分别落在轴和轴上，是矩形的对角线. 将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点.

（1）求的值和点的坐标；
（2）连接，则图中是否存在与相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；
（3）在线段上存在这样的点，使得是等腰三角形，请直接写出点的坐标.

参考答案：
1．(1)，
(2)证明见解析
(3)2或

【分析】（1）根据正方形的边长可确定C点的坐标，再利用正方形的性质得出E点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可；
（2）设出M点和N点的坐标，根据坐标的性质得出，推出即可得出；
（3）根据E点的坐标求出的长，再分三种情况讨论分别求出m的值即可．
【解析】（1）解：∵正方形的边长为4，，交于点E，
∴，
将E点坐标代入双曲线，
得，
解得，
∴双曲线的解析式为，
故答案为：，；
（2）∵双曲线与，分别交于点M，N，
∴设，
∴，
∴，
∴，
由正方形可知，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵正方形边长为4，
由（1）知，
∴，
∵AE为腰，分两种情况：
①当 时，
∵，，点P、E在反比例数图象上，
，
∴，
②当时，点P与点B重合，
∵，点P、E在反比例数图象上，
∴，
∴；
综上所述，满足条件的m的值为2或．

【点评】本题考查了反比例函数与几何图形，正方形的性质，掌握反比例函数的性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
2．(1)
(2)
(3)或或

【分析】（1）根据四边形是矩形，，得出，待定系数法求解析式即可求解；
（2）过点作轴与点，根据折叠的性质得出，则，根据矩形的性质得出，由，得出，设，进而得出，设直线的解析式为，待定系数法求解析式即可求解；
（3）过点作，交的延长线于点，设，在中，勾股定理得出，得出，设，则，，，根据等腰三角形的定义，分类讨论，进而解方程即可求解．
【解析】（1）解：∵四边形是矩形，，
，
将代入，
得：，
；
（2）解：如图所示，过点作轴与点，

∵与关于对称，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设，
∵，，
，
即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，
∴的解析式为：；
（3）如图所示，过点作，交的延长线于点，

设，则，
在中，，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴，
设，
∵，
∴，，，
①当时，
，
解得：，
∴；
②当时，，
解得：或，
∴或；

综上所述，或或．
【点评】本题考查了折叠的性质，反比例函数与几何图形，一次函数的性质，勾股定理，坐标与图形，等腰三角形的性质，解一元二次方程，综合运用以上知识是解题的关键．
3．(1)，，
(2)或
(3)存在，或

【分析】（1）根据点和点在一次函数上可算出和的值，根据点和点也在反比例函数上即可算出的值．
（2）连接、，作，垂足为，，垂足为，设，用含的式子可表示出和的面积，根据面积相等列出等式，可算出的值 ，即可得到点的坐标．
（3）设点，则，，，若使得等腰三角形，则或或，求解出即可得点的坐标，注意．
【解析】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交，两点，
∴，
∴，，
∴，，
∵点在反比例函数上，
∴
∴反比例函数解析式为；
（2）连接、，作，垂足为，，垂足为，
设

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∵
∴，
∴或，
∴或
（3）设，
∵，，
∴，，，
∵是等腰三角形，
∴①当时，，
∴（舍）
②当时，，
∴或（舍），
∴
③当时，，
∴或（舍），
∴
即：满足条件的或．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的交点问题和等腰三角形的性质，主要利用待定系数法，三角形面积的求法，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
4．(1)m＜1
(2)①y＝；②4

【分析】（1）根据反比例函数的性质建立不等式，即可求出答案；
（2）先求出点D的坐标；
①利用待定系数法求解，即可求出答案；②分三种情况，利用图象求解，即可判断出答案．
（1）
解：∵反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．
∴1﹣m＞0，
∴m＜1；
（2）
解：∵B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵四边形ABOD是平行四边形，
∴ADOB，AD＝OB＝3，
∵A（0，4），
∴D（3，4），
①∵点D是反比例函数y＝的图象上，
∴1﹣m＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
②∵以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，
∴Ⅰ、当OD＝DP时，如图，点和；

Ⅱ、当OD＝OP时，如图中，和点；
Ⅲ、当OP＝DP时，则点P在OD的垂直平分线上，即此种情况不存在；
故答案为：4．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，反比例函数的性质，等腰三角形的性质，利用图象法求解是解本题的关键．
5．(1)
(2)
(3)D点坐标为或

【分析】（1）根据点A的坐标可得点E的纵坐标为3，则，可得，从而得AE的长；
（2）求出，证明△AEF∽△ACB，推出EFBC，再利用平行线的性质和等腰三角形的判定和性质证明AE=EC=2即可；
（3）连接AD交EF于M，过D点作DN⊥AB于N，由折叠的性质得AD⊥EF，分三种情况讨论：①当BD=AD时，②当AB=AD=3时，③当AB=BD时，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答．
【解析】（1）解：∵四边形ABOC是矩形，且A（4，3），
∴AC=4，OC=3，
∵点E在反比例函数上，点E的纵坐标为3，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵A（4，3），
∴AC=4，AB=3，
∴，
∵点F在上，
∴，
∴，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF=∠ACB，
∴EFBC，
∴∠FED=∠CDE，
∵△AEF≌△DEF，
∴∠AEF=∠DEF，AE=DE，
∴∠FED=∠CDE=∠AEF=∠ACB，
∴；
（3）连接AD交EF于M，过D点作DN⊥AB于N，
由折叠的性质得AD⊥EF，
①当BD=AD时，如图3，

∵∠AND=90°，
∴，∠DAN+∠ADN=90°，
∵∠DAN+∠AFM=90°，
∴∠ADN=∠AFM，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②当AB=AD=3时，如图4，

在Rt△ADN中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴；

③当AB=BD时，
∵△AEF≌△DEF，
∴DF=AF，
∴DF+BF=AF+BF，即DF+BF=AB，
∴DF+BF=BD，
此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意，舍去，
∴AB≠BD，
综上所述，所求D点坐标为或．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
6．(1)B(-1，-3)
(2)存在，或或
(3)

【分析】（1）过点B作BEy轴于点E，过点D作DFy轴于点F，证明得出BE与OE的长度便可求得B点坐标；
（2）先求出AB的值，再根据题意可得分类讨论，分为当AB=AP时有两种情况和当AB=BP时有一种情况进行求解即可；
（3）先设向上平移了m表示和的坐标，再根据B、D两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上得和点的横、纵坐标的积相等，列出关于m的方程即可求解．
【解析】（1）过点B作BEy轴于点E，过点D作DFy轴于点F，如下图，

则，
∵点A(0，-6)，D(-3，-7)，
∴DF=3，AF=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DF=AE=3，AF=BE=1，
∴OE=OA-AE=6-3=3，
∴B(-1，-3)．
（2）存在3种情况，
由（1）得且在中
AB=AD=，
①当AB=AP时的等腰三角形，如图，

则AP=，
∵A为(0，-6)，
∴P点的坐标为(0，-6+)；
②当AB=AP时，如下图，

则AP=，
∵A为(0，-6)，
∴P点的坐标为(0，-6-)；
③当AB=BP时，如下图，

则BP=，且过B作BEAP于点E，
∵，
∴，
∴P点在原点上，
则P为(0，0)．
综上所述点P的坐标为或或．
（3）设向上平移了m可得
为(-1，-3+m)，为(-3，-7+m)，
反比例函数关系式为，
∴，
解得m=9，
∴k=，
∴反比例函数解析式为：．
【点评】此题是反比例函数与正方形结合的综合体，主要考查了反比例函数的性质、待定系数法、全等三角形的性质和判定和等腰三角形的性质和判定，解决本题的关键是证明全等三角形和分类讨论．
7．(1)y，yx＋3
(2)
(3)（﹣3，9）或（﹣9，3）或（，）

【分析】（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线AB的解析式求解，即可求出一次函数解析式；
（2）由题意得，M（t，t＋3），N（t，），得出PMt＋3，PN，分两种情况得出答案；
（3）先求出OC，OD，再分三种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案．
【解析】（1）解：∵反比例函数y（m≠0）的图象经过A（2，a＋2）、B（a﹣10，﹣1）两点，
∴，
解得：
∴A（2，4）、B（﹣8，﹣1），反比例函数的解析式是y，
把A（2，4）、B（﹣8，﹣1）分别代入y＝kx＋b得，

解得，
∴一次函数的解析式为yx＋3；
（2）解：由题意得，M（t，t＋3），N（t，），
∴PMt＋3，PN，
当t＞2时，d＝PM﹣PN；
当0＜t≤2时，d＝PN﹣PM
（3）解：由（1）知，直线AB的解析式为yx＋3，
令x＝0，则yx＋3＝3，
令y＝0，则0x＋3，
∴x＝﹣6，
∴C（﹣6，0），D（0，3），
∴OC＝6，OD＝3，
如图，
∵是等腰直角三角形，
∴①当∠CDQ＝90°时，CD＝QD，
过点Q作QH⊥y轴于H，
∴∠QDH＋∠DQH＝90°，
∵∠CDQ＝90°，
∴∠QDH＋∠CDO＝90°，
∴∠CDO＝∠DQH，
∴，
∴QH＝OD＝3，DH＝OC＝6，
∴OH＝OD＋DH＝9，
∴Q（﹣3，9）；
②当∠DCQ＝90°时，同理可得，（﹣9，3）；
③当∠CQD＝90°时，
同理可得，，
∴，CL＝DK，
∴设（﹣a，a），
∴＝a，
∴CL＝6﹣a，DK＝a﹣3，
∴6﹣a＝3﹣a，
∴a，
∴（，），
即满足条件的点Q的坐标为（﹣3，9）或（﹣9，3）或（，）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法，属反比例综合题，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．
8．(1)
(2)或
(3)的坐标为：或或或

【分析】（1）先求解的坐标，再代入反比例函数解析式，从而可得答案；
（2）分两种情况讨论：如图，作的角平分线交于 过作于 而轴，则 如图，作的角平分线交于 过作于 交轴于 则再利用角平分线的性质与全等三角形的性质，勾股定理可得答案；
（3）画出图形，分4种情况讨论，当时， 当时， 当时， 当时，再结合等腰三角形的性质与勾股定理可得答案.
【解析】（1）解： AB⊥x轴，AB=3，

则
设反比例函数为

所以反比例函数为
（2）解：存在，或；理由如下：
如图，作的角平分线交于 过作于
而轴，则

则
而



如图，作的角平分线交于 过作于 交轴于
则 而



而

设

解得：

综上：或
（3）解：如图， 为等腰三角形，

当时，
当时，
当时，
当时，设

解得：
综上：的坐标为：或或或
【点评】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简与二次根式的除法运算，熟练的运用以上知识解题是关键.
9．（1）；（2）S与k的关系式为；（3）P点的坐标为或
【分析】（1）根据4m=2n，来确定关系；
（2）过点E作于H，利用三角函数，k，确定BD，EH即可；
（3）分和两种情况求解．
【解析】解：（1）∵点，在反比例函数的图象上
∴，，
∴，
∴；
（2）过点E作于H，如图，

∴在中，
∵，
∴，，
∵，，
  ∴，，
∴
＝，
∴S与k的关系式为；
（3）存在，理由如下：
过点P作于F，如图，

∵，
∴，
解得：，
且，，B点的坐标为，
∴，，
①当时，
，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴P点的坐标为；
②当时，，
∵在中，，
∴，
解得，同理可得：，
∵，，
∴，，
∴，，
∴点P的坐标为；
∴存在点P使以B，C，P为顶点的三角形与相似，此时P点的坐标为或．
【点评】本题考查了反比例函数的解析式k意义，三角形的相似和性质，三角函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质，灵活运用三角函数，三角形的相似是解题的关键．
10．（1）或1或或或；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由于不确定是哪条边的边长，故需分3种情况讨论．每种情况中，不确定长的边是否为智慧边，故又需要分类讨论．
（2）过作边的垂线，构造两个有特殊角的直角三角形，即能用把各边关系表示出来，易得是AC的倍．
（3）由题意可知，因此当为直角三角形时，不可能为斜边，即只分或两种情况讨论．作辅助线构造三垂直模型，证得相似或全等三角形，再利用对应边的关系把、的坐标表示出来，再代入计算．
【解析】解：（1）如图1，设，，
①若
，

，则，

②若
，即，

，则

③若，若
，
若，∴，，
∴
故答案为：或1或或或．

（2）证明：如图2，过点作于点，

在中，，
，


中，


是智慧三角形．

（3）是智慧三角形，为智慧边，为智慧角

是直角三角形，
不可能为斜边，即
或
①当时，过作轴于，过作于，过作轴于，如图3，





设，则


的纵坐标为，即
，，


点、在函数上的图象上，

解得：（舍去），

②当时，过作轴于，过作轴于，如图4，




，





设，则，
，，
点、在函数上的图象上，

解得：

综上所述，的值为或

【点评】本题考查了新定义的理解和运用，解直角三角形，相似和全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，分类讨论思想．解题关键是理解新定义并运用其性质转化条件，在直角坐标系中把已知直角构造在三垂直模型里是通常办法．
11．（1）y=（x＞0）；（2）OA=，C（5，）；（3）存在，点P（，）或（-，）．
【分析】（1）根据sin∠AOB=，OA=5，可知点A的坐标，代入解析式求解；
（2）根据反比例函数″k″的几何意义，转化三角形的面积，列式求解即可；
（3）分两种情况，以A为直角顶点和以O为直角顶点，构造″K″字形相似，列出比例关系可以求出点P的坐标．
【解析】解：（1）如图1，过点A作AH⊥OB于点H，

∵sin∠AOB=，OA=5，
∴AH=4，OH=3，
∴A（3，4），
根据题意得：k=12，
∴反比例函数的解析式为y=（x＞0）；
（2）设OA=a（a＞0），如图2，过点F作FM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，

由平行四边形性质可知OH=BN，
∵sin∠AOB=，
∴AH=a，OH=a，
∴S△AOH=•a•a=a2，
∵S△AOF=12，
∴S四边形AOBC=24，
∵F为BC的中点，
∴S△OBF=6，
∵BF=a，∠FBM=∠AOB，
∴FM=a，BM=a，
∴S△BMF=BM•FM=a2，
∵点A，F都在y=的图象上，
∴S△AOH=S△FOM=k，
∴a2=6+a2，
∴a=，
∴OA=，
∴AH=，OH=2，
∵S四边形AOBC=24，
∴OB=AC=3，
∴ON=OB+OH=5，
∴C（5，）；
（3）存在两种情况，
①A为直角顶点，如图3所示，

∵C（5，），点F为BC中点，
∴点F的纵坐标为，
∵EF∥OB，点P在直线EF上，
∴点P的纵坐标为，
过点P作PM⊥AC于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，
则PM=，AN=2，
∵∠OAP=90°，
∴△OAN∽△APM，
∴，即，
∴AM=，
∴MN=，
∴P（，）．
②以O为直角顶点时，如图4所示，

过点P作PN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥x轴于点M，
则OM=2，PN=，AM=，
∵∠AOP=90°，
则△PON∽△OAM，
∴，即，
∴ON=，
∴点P（-，）．
综上所述：点P（，）或（-，）．
【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数“k”的几何意义，第三问分两种情况讨论，构造“K”字相似列出等量关系为解题关键．
12．（1）；（2）P（0，8）或P（0，﹣4）；（3）M的坐标是（0，6）或（0，）或（0，）或M（0，4）．
【分析】（1）由轴，，即可求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；
（2）由点是轴上的点，若的面积等于6，可求得的长，继而求得点的坐标．；
（3）分类讨论：以为底和以为腰两种情况来解答．
【解析】解：（1）轴，，
点的横坐标为2，
将代入，得，
，
设直线的函数解析式为，
将点、代入得，
，
直线的函数解析式为；
（2）点是轴上的点，若的面积等于6，，
即，
，
，
或．
（3），，
．
①当时，点是线段垂直平分线上的点，此时；
②当时，，或．
③当时，．
综上所述，满足条件的点的坐标是或或或．

【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式以及反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的判定等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
13．（1）；（2）在，理由见解析；（3）存在，，，，
【分析】（1）证明，则，故点，故，即可求解；
（2）翻折后点的坐标为：，则，即可求解；
（3）分、、三种情况，分别求解即可．
【解析】解：（1）分别过点、作轴的垂线，垂足分别为：、，

四边形为平行四边形，则，，
，，
故点，故，
则反比例函数表达式为：；
（2）翻折后点的坐标为：，
，

在反比例函数的图象上；
（3）如图示：

当时，点，；
当时，点；
当时，设点，
则，解得：；
综上，点的坐标为：，或或．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
14．（1）；（2）OC＝1；（3）.
【分析】（1）△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，则CD＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝30°，过点D作DE⊥BC于点E，∠DCE＝60°，则 ，即可求解；（2）求出A，D坐标，两个点在同一反比例函数上，则，即可求解；（3）分P为直角顶点、D为直角顶点，两种情况分别求解即可．
【解析】解：（1）∵△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，
∴CD＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝30°，
过点D作DE⊥BC于点E，∵∠DCE＝60°，
∴ ，
∵OC＝2，
∴OE＝3，∴ ；
（2）设OC＝m，则OE＝m+1，OB＝m+2
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，
，
∵A，D在同一反比例函数上，
∴ ，
解得：m＝1，
∴OC＝1；
（3）由（2）得：∴ ，
∵四边形A1B1C1D1由四边形ABCD平移得到，
∴ ，
∵D1在反比例函数 上，
∴
同理： ，
∴ ，
∴ ，
∵xP＝xA＝﹣3，P在反比例函数上，
∴P(-3，-k)
①若P为直角顶点，则A1P⊥DP，

过点P作l1⊥y轴，过点A1作A1F⊥l1，
过点D作DG⊥l1，
则△A1PF～△PDG，
，
  解得： ；
②若D为直角顶点，则A1D⊥DP，

过点D作l2⊥x轴，过点A1作A1H⊥l2，
则△A1DH～△DPG，
， ，
解得：k＝0（舍），
综上：存在．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似等知识点，此类题目的关键是，通过设线段长度，确定图象上点的坐标，进而求解．
15．（1），；（2）2；（3）①详见解析；②
【分析】（1）由题中斜平移及中点公式即可求得；
（2）根据定义，表达出点M的坐标，再代入反比例函数中计算即可；
（3）①根据中心对称及轴对称得到，再由等腰三角形的性质进行角度运算得出即可证明；
②由平行得出△BMN∽△BAC，再根据比例关系得出MN的长度即可．
【解析】解：（1）当n=3时，点A(1，0)向右平移3个单位，向上平移6个单位得到点B，
∴点B，
由中点公式可得，，
∴点M，
故答案为：，
（2）由定义可知B(n+1，2n)，
∴点M，
∴当点M在上时，
有，
解得，
∵n>0，
∴
（3）①连接，如图：
由中心对称可知，
由轴对称可知，
∴
∴，
，


是直角三角形；

②过点作于点，如图：
∵，，，，
在直角三角形中，

∴△BMN∽△BAC




【点评】本题考查了新定义类问题，涉及点的平移、轴对称、中心对称以及相似三角形的计算问题，综合性较强，解题的关键是理解题中给出的定义，灵活选用相应的知识点进行解答．
16．（1）；（2）直线经过点，理由见解析；（3）的值为或．
【分析】（1）依据直线l1：y=-2x+b和反比例数的图象都经过点P（2，1），可得b=5，m=2，进而得出直线l1和反比例函数的表达式；
（2）先根据反比例函数解析式求得点Q的坐标为，依据当时，y=-2×+5=4，可得直线l1经过点Q；
（3）根据OM将分成的两个三角形面积之比为，分以下两种情况：①△OMQ的面积:△OMP的面积=1:2，此时有QM:PM=1:2；②OMQ的面积:△OMP的面积=2:1，此时有QM:PM=2:1，再过M，Q分别作x轴，y轴的垂线，设点M的坐标为(a，b)，根据平行线分线段成比例列方程求解得出点M的坐标，从而求出k的值．
【解析】解：（1）∵直线和反比例函数的图象都经过点，
．

∴直线l1的解析式为y=-2x+5，反比例函数大家解析式为；
（2）直线经过点，理由如下.点在反比例函数的图象上，
．
点的坐标为．
当时，．
直线经过点；
（3）的值为或．理由如下：
OM将分成的两个三角形面积之比为，分以下两种情况：
①△OMQ的面积:△OMP的面积=1:2，此时有QM:PM=1:2，
如图，过点M作ME⊥x轴交PC于点E，MF⊥y轴于点F；过点Q作QA⊥x轴交PC于点A，作QB⊥y轴于点B，交FM于点G，设点M的坐标为(a，b)，

图①
∵点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（，4），
∴AE=a-，PE=2-a，
∵ME∥BC,QM:PM=1:2，
∴AE:PE=1:2，
∴2-a=2(a-)，解得a=1，
同理根据FM∥AP，根据QG:AG=QM:PM=1:2，
可得（4-b）:(b-1)=1:2,解得b=3．
所以点M的坐标为（1，3），代入y=kx可得k=3；
②OMQ的面积:△OMP的面积=2:1，此时有QM:PM=2:1，如图②，

图②
同理可得点M的坐标为（，2），代入y=kx可得k=.
故k的值为3或．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标同时满足两函数解析式．解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，同时需要注意分类讨论思想的应用．
17．（1）；（2）；（3）满足条件的点E坐标为或或或
【分析】（1）利用等边三角形的性质可得到，分别表示出OA,AB，建立一个k的方程，解方程即可；
（2）用待定系数法求出直线的解析式，设出M的坐标，过点M作轴交直线于点N，表示出N的坐标，利用解出k的值，从而可求出M的坐标；
（3）分①当时②当时③当时三种情况，分别进行讨论即可.
【解析】解：（1）∵是等边三角形，
∴，
又∵和，
∴，.
∴，
化简得，
解得，
又∵，
∴
（2）可设直线的解析式为，
则有解得
∴直线的解析式为，
当时，可设，
如图，过点M作轴交直线于点N，则，

∴，
∴，
整理得，
∵仅存在唯一点M使得的面积等于，
∴，解得或0（舍去），
∴，
将代入得，解得，
∴
（3）当时，，，如图，

①当时，
设直线的解析式为，
则有解得
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，
∴；
②当时，
设直线的解析式为，
则有解得
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
③当时，易知，中点为（刚好与C点重合），
∴，
∵，
∴可得.
综上所述，满足条件的点E坐标为或或或
【点评】本题主要考查反比例函数与几何综合，一元二次方程的应用，掌握等边三角形的性质，待定系数法及分情况讨论的思想是解题的关键.
难点突破：本题的难点在于第（3）问分类讨论时漏情况，特别的，当点E为直角顶点时，应考虑在两侧分别有一个符合条件的E点.
18．（1），G；（2），， ，证明见解析；（3） 或或
【分析】（1）证明△COF∽△AOB，则，求得：点F的坐标为（1，2），即可求解；
（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG．证△OAB∽△BFG：，即可求解．
（3）分GF=PF、PF=PG、GF=PG三种情况，分别求解即可．
【解析】（1）∵四边形为矩形，点的坐标为，
∴，
∵是旋转得到的，即：，
∴，  
∴，
∴，
∴，  
∴，
∴点的坐标为，
∵的图象经过点，
∴，得，
∵点在上，   
∴点的横坐标为4，
对于，当，得，
∴点的坐标为；
（2）；；   ；．
下面对进行证明：
∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
．
∴，．
∴，
∵，
∴．
（3）设点，而点、点，
则，，，
当时，即，解得： （舍去负值）；
当时，同理可得：；
当时，同理可得： （舍去正值）；
综上，点的坐标为或或．
【点评】本题考查的是反函数综合运用，涉及到三角形相似、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．