2023年中考数学高频考点突破—实际问题与二次函数附答案

这是一份2023年中考数学高频考点突破—实际问题与二次函数附答案，共28页。
2023年中考数学高频考点突破—实际问题与二次函数附答案
1．某花店用3600元按批发价购买了一批花卉.若将批发价降低10%，则可以多购买该花卉20盆.市场调查反映，该花卉每盆售价25元时，每天可卖出25盆.若调整价格，每盆花卉每涨价1元，每天要少卖出1盆.
（1）该花卉每盆批发价是多少元？
（2）若每天所得的销售利润为200元时，且销量尽可能大，该花卉每盆售价是多少元？
（3）为了让利给顾客，该花店决定每盆花卉涨价不超过5元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？





2．今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如表：
周数x
1
2
3
4
价格y（元/千克）
2
2.2
2.4
2.6
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x的函数关系式；
（2）进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y＝﹣x2+bx+c，请求出5月份y与x的函数关系式；
（3）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m＝x+1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m＝﹣x+2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？




3．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？






4．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：
时间x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x＋40
90
每天销量（件）
200－2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元，
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．







5．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由






6．某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣﹣BC﹣﹣CD所示（不包括端点A）．

（1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式：　 　．
（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？





7．某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y（件）
与每件销售价x（元）的关系数据如下：
x

30

32

34

36

y

40

36

32

28

（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式（不写出自变量x的取值范围）；
（2）如果商店销售这种商品，每天要获得150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？
（3）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？




8．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元）
x
销售量y（件）
　　　　
销售玩具获得利润w（元）
　　　　
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？



9．某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．






10．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：
每个商品的售价x（元）
…
30
40
50
…
每天的销售量y（个）

100
80
60
…

（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；
（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？





11．某宾馆客房部有个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天元时，所有房间刚好可以住满，根据经验发现，每个房间的定价每增加元，就会有个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间支出每天元的各种费用．设每个房间的定价增加元，每天的入住量为个，客房部每天的利润为元．
求与的函数关系式；
求与的函数关系式，并求客房部每天的最大利润是多少？
当为何值时，客房部每天的利润不低于元？





12．某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）

（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？


13．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？






14．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他费用80元．
销售单价（元）


销售量（袋）


（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？








15．为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：
天数（x）
1
3
6
10
每件成本p（元）
7.5
8.5
10
12

任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=，
设李师傅第x天创造的产品利润为W元．
（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：
（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？






16．随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a= ，y与t的函数关系如图所示．
（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；
（2）求y与t的函数关系式；
（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）






17．每年5月的第二个星期日即为母亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在母亲节为母亲送鲜花，感恩母亲，祝福母亲. 节日前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为30元每件，分析上一年母亲节的鲜花礼盒销售情况，得到了如下数据，同时发现每天的销售量（件）是销售单价（元/件）的一次函数. 
销售单价 (元/件)
…
30
40
50
60
…
每天销售量 (件)
…
350
300
250
200
…

（1）求出与的函数关系；
（2）物价局要求,销售该鲜花礼盒获得的利润不得高于100﹪：
①当销售单价取何值时,该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为5000元?(利润=销售总价-成本价)；
②试确定销售单价取何值时，花店销该鲜花礼盒每天获得的利润（元）最大？并求出花店销该鲜花礼盒每天获得的最大利润.





18．百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
（2）要想平均每天销售这种童装盈利1800元，有可能吗？
（3）要想平均每天销售这种童装获利达最大，则每件童装应降价多少元？每天的获利是多少元？

参考答案：
1．（1）该花卉每盆批发价是20元；（2）该花卉每盆售价是30元；（3）该花卉一天最大的销售利润是200元.
【分析】（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；
（2）利用二次函数的性质得出销售单价；
（3）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案．
【解析】（1）设该花卉每盆批发价为x元，由题意得
，解得
经检验是原方程的解
答：该花卉每盆批发价是20元
（2）设该花卉每盆售价x元，由题意得

化简得
解得 ， ，
销量尽可能大，
答：该花卉每盆售价是30元
（3）设该花卉每天的利润为W元，每盆售价为x元，依题意得



每盆花卉涨价不超过5元，
时，W随x的增大而增大，
当x=30是，有最大值为200；
答：该花卉一天最大的销售利润是200元
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键．
2．（1）y＝0.2x+1.8；（2）y＝ x2x+3.1；（3）应在第一周的利润最大，1（元/千克）．
【分析】（1）从表格看出，x每增加1，y就增加0.2，由此可确定是一次函数关系式，继而代入两点可得出解析式;
（2）把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分别代入y＝﹣x2+bx+c，可求b，c的值,确定二次函数解析式;
（3）根据一次函数，二次函数的性质及自变量的取值范围,求最大利润.
【解析】解：（1）通过观察可见四月份周数y与x 的符合一次函数关系式，设这个关系式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴4月份y与x 的函数关系式为y＝0.2x+1.8；
（2）将（1，2.8）（2，2.4）代入y＝﹣x2+bx+c．
可得：
解之：
即x2
（3）4月份此种蔬菜利润可表示为：W1＝y﹣m＝（0.2x+1.8）﹣（x+1.2），即：W1＝﹣0.05x+0.6；
由函数解析式可知，四月份的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W＝﹣0.05×1+0.6＝0.55（元/千克），
5月份此种蔬菜利润可表示为：W2＝y﹣m＝（x2x+3.1）﹣（﹣x+2），
即：W2＝x2﹣x+1.1
由函数解析式可知，五月份的利润随周数变化符合二次函数且对称轴为：x＝﹣＝﹣，
即在第1至4周的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W＝﹣+1.1＝1（元/千克）．
【点评】本题考查了一次函数，二次函数解析式求法及二次函数的实际应用，解答本题的关键是求出两函数关系式，将实际问题转化为数学计算，有一定难度.
3．(1) ；
(2) 该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元；
(3)该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
【分析】（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式．
（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值．
（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．
【解析】解：（1）由题意得：，
∴w与x的函数关系式为：．
（2），
∵﹣2＜0，
∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150，
解得x1=25，x2=35．
∵35＞28，
∴x2=35不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
【点评】本题考查二次函数的应用.根据题意列出函数是解题的关键.
4．（1）；（2）第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）41．
【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案．
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案．
（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于4800，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．
【解析】（1）当1≤x＜50时，，
当50≤x≤90时，，
综上所述：．
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=－2×452+180×45+2000=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．
（3）解，结合函数自变量取值范围解得，
解，结合函数自变量取值范围解得
所以当20≤x≤60时，即共41天，每天销售利润不低于4800元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．解答时求出函数的解析式是关键．
5．（1）w＝－10x2＋700x－10000；（2）即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；（3）A方案利润更高．
【分析】（1）根据利润（销售单价进价）销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）分别求出方案、中的取值范围，然后分别求出、方案的最大利润，然后进行比较．
【解析】解：（1）由题意得，销售量，
则
；
（2）．
，
函数图象开口向下，有最大值，
当时，，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）方案利润高．理由如下：
方案中：，
故当时，有最大值，
此时；
方案中：，
故的取值范围为：，
函数，对称轴为直线，
当时，有最大值，
此时，
，
方案利润更高．
【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，解题的关键是掌握最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
6．（1）y=﹣0.02x+8．（2）一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元．（3）经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润．
【分析】（1）利用待定系数法求出当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式即可；
（2）根据当0＜x≤100时，当100＜x≤200时，分别求出获利W与x的函数关系式，进而求出最值即可．
（3）根据（2）中所求得出，﹣0.02（x﹣150）2+450=418求出即可．
【解析】（1）设当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式为：y=ax+b，
∴，解得：．
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣0.02x+8．
（2）当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当0＜x≤100时，W=（6﹣2）x=4x；
当x=100时，W有最大值400元；
当100＜x≤200时，W=（y﹣2）x=（﹣0.02x+6）x=﹣0.02（x﹣150）2+450．
∵当x=150时，W有最大值为450元．
综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元．
（3）∵418＜450，
∴根据（2）可得，﹣0.02（x﹣150）2+450=418，
解得：x1=110，x 2=190．
答：经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的解法等知识，利用数形结合以及分段讨论得出是解题关键．
7．（1）y=-2x+100；（2）35元或45元；（3）W=-2x2+160x-3000，40元时利润最大．
【解析】试题分析：（1）设一次函数解析式，将表格中任意两组x，y值代入解出k，b，即可求出该解析式；（2）利润等于单件利润乘以销售量，而单件利润又等于每件商品的销售价减去进价，从而建立每件商品的销售价与利润的一元二次方程求解；（3）将w替换上题中的150元，建立w与x的二次函数，化成一般式，看二次项系数，讨论x取值，从而确定每件商品销售价定为多少元时利润最大．
试题解析：（1）设该函数的表达式为y=kx+b（k≠0），根据题意，得，解得，∴该函数的表达式为y=-2x+100；（2）根据题意得：（-2x+100）（x-30）="150" ，解这个方程得，x1=35，x2=45∴每件商品的销售价定为35元或45元时日利润为150元．（3）根据题意得：w=（-2x+100）（x-30）=-2x2+160x-3000=-2（x-40）2 +200，∵a=-2