北京课改版九年级上册22.2 圆的切线复习练习题

这是一份北京课改版九年级上册22.2 圆的切线复习练习题，共35页。

 2023年中考数学高频考点突破训练——圆的切线的证明附答案
1．如图，是的直径，弦于点，点在上，与交于点，点在的延长线上，且，延长交的延长线于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
2．如图，中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的交于D，交于E，若．

(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
3．如图是的外接圆，点O在上，的角平分线交于点D，连接，，过点D作的平行线与的延长线相交于点P．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求与的值．
4．如图，内接于，，与关于直线对称，交于点E．

(1)求证：是的切线．
(2)连接，若，，求的长．
5．如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作，交延长线于点D．连接，且．

(1)求证：是⊙O的切线；
(2)求图中阴影部分的面积．
6．如图，是的直径，点为上一点，平分，交于点，交于点，延长到点，使得．

(1)求证：与相切；
(2)若的半径3，，求的长．
7．已知是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，交的延长线于，交于，于，点是弧的中点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，是一元二次方程的两根，求和的长．
8．如图，与⊙O相切于点A，过点A作于点C，交⊙O于点D，连接交直径的延长线于点E．

(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6，，求的长．
9．已知，如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过作于．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
10．如图，已知是的直径，C为上一点，的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为E，连接、．

(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为3，求的长．
11．在等边三角形中，以为直径的与交于点E，于点D．

(1)求证：为的切线；
(2)求出的值．
12．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O外一点，AC、BC与⊙O分别交于D、E，且CE＝BE，过点E作AC垂线，垂足为点M，直线ME与AB延长线交于点F．

(1)证明：MF与⊙O相切；
(2)若⊙O半径为5，cos∠ACB，求BF的长度．
13．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠ABC．

(1)求证：AD是⊙O的切线：
(2)若∠ABC＝30°，AC＝3，求阴影部分的面积．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连结ED，EC，点F是线段AE上的一点，连结FD，其中∠FDE＝∠DCE．

(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若DC＝BC＝4，DE＝2EF，求DF的长．
15．如图，在中，，为边上一点（不与点、重合），以为半径的圆分别交边、于点、，过点作于点．

(1)求证：直线是的切线．
(2)若，，则劣弧的长为 　　（结果保留．
16．如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC并延长，过点B做BD⊥PC，垂足为D，若BC平分∠PBD．

(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若，BD＝3，求⊙O的直径AB的长．
17．如图，正方形的边长为的直径，E是上一点（不与A，B重合），将正方形的一个角沿折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合．

(1)判断直线与的位置关系？并说明理由；
(2)若的半径为1，求的长？
18．如图，是的外接圆，AB为的直径，P为圆外一点，连接PC、PB，且满足，．连接PO并延长交于E、F两点．

(1)求证：PB是的切线；
(2)证明：；
(3)过点E作EG垂直AB交于点G，连接BE，若，求的值．

参考答案：
1．(1)见解析
(2)．

【分析】（1）连接，根据，可得，再由，可得，然后根据等腰三角形的性质及切线的判定定理可得结论；
（2）连接，先证得，再根据可得，，从而得的长，然后由勾股定理可得答案．
【解析】（1）证明：连接，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴是的切线；
（2）解：连接，

由（1）得，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点评】此题主要考查了圆的综合题目，熟练掌握切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，理解锐角三角函数是解题的关键．
2．(1)见解析
(2)7

【分析】连接，由等腰三角形的性质可证，，根据，可证，进而得，根据切线的判定可知是切线；
（2）利用勾股定理求出的长，根据求出，进而可求出的长．
【解析】（1）如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
∴，
∵是半径，
∴为的切线；
（2）过点C作于点M，

在中，由勾股定理得，
，
，
，，
，，
．
【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形三线合一，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解答．
3．(1)见解析；
(2)，．

【分析】（1）连接，先得出，进而得出，根据平行线的性质得出，推出，即可得出结论；
（2）先证明，根据勾股定理得出，进而求得，再证明，根据相似三角形的性质即可得出，代入可求出答案．
【解析】（1）证明：如图1，连接，

∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，正确理解题意证明切线是解题的关键．
4．(1)证明见解析
(2)4

【分析】（1）如图所示，连接，连接并延长交于F，根据等边对等角得到，再证明，得到，由，得到，由轴对称的性质可得，即可证明，从而证明是的切线；
（2）由轴对称的性质得，，再由圆内接四边形对角互补推出，，得到，解，求出，则，即可得到．
【解析】（1）证明：如图所示，连接，连接并延长交于F，
∵，
∴，
∵内接于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，即，
又∵是的半径，
∴是的切线；

（2）解：由轴对称的性质得，，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，锐角三角函数，轴对称的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据圆周角的性质证明即可；
（2）求出的面积，减去扇形面积即可．
【解析】（1）证明：连接，交于E，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴是⊙O的切线；

（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴
＝．
【点评】本题考查了切线的判定和扇形面积，解题关键是准确运用切线的判定定理进行证明，正确进行扇形面积计算．
6．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接，，可证得，根据圆周角定理可得，再根据平分，可得，，，再根据等腰三角形的性质即可证得，，据此即可证得；
（2）先由勾股定理求出，，则，推出，，则，证明，推出，再由勾股定理求出，证明，得到，则．
【解析】（1）证明：如图：连接，，
，

是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
与相切；

（2）解：，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，

，
，即，
∴，
∴，
∴，
，，
，
，即，
．
【点评】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆周角定理，角平分线的定义等等，正确作出辅助线是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)2，4

【分析】（1）求出平分，推出，推出，根据切线判定推出即可；
（2）连接，得到，解方程求得，，得到，根据射影定理得到，，解直角三角形即可得到结论．
【解析】（1）解：证明：连接，
点是弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2）连接，
，
，
，是一元二次方程的两根，
，，
，
是的直径，
，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
．

【点评】本题考查了切线的性质和判定，平行线的性质和判定，勾股定理，等知识点的综合运用，主要考查学生的推理和计算能力．
8．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由切线的性质可得，再证明，得出，即
可求证；
（2）先由勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质求解即可．
【解析】（1）证明：∵与⊙O相切于点A，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵是⊙O的半径，
∴是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为6，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
即=，
解得：．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据平行线的判定与性质可得，且在上，故是的切线．
（2）由直角三角形的特殊性质，可得的长，又有，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．
【解析】（1）连接．

，
．
，
．
．
，

即．
在上，为的半径，
是的切线．
（2），，，
．
连接．
是的直径，
．
，
．

．
则．
的半径是．
【点评】本题考查圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理切割线定理、相似三角形的判定和性质等知识，在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键．
10．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，利用等边对等角，和角平分线的定义，得到，从而得到，进而得到，即可得证；
（2）分别解和，求出，再利用平行线分线段对应成比例，得到，即可得解。
【解析】（1）证明：连接，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）∵是的直径，
∴，
∴ ，则，
在中，，
∴，即，
解得： ，
由（1）知是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，则，
由勾股定理可得，，即，
解得：，则，
∵，
∴ ，即 ，
解得：．
【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形以及平行线分线段成比例．熟练掌握圆周角定理，以及切线的判定方法，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．
11．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，证明为等边三角形，得到，则，由，进一步得到，得到结论；
（2）由为的直径，得，由为等边三角形得，，由锐角三角函数得到，则，即可得到结论．
【解析】（1）证明：如图，连接，

∵为等边三角形，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴为的切线；
（2）如图，连接，

∵为的直径，
∴，
∴，
又∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点评】此题考查了切线的判定定理、圆周角定理、特殊角的三角函数、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关定理是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角和全等三角形的性质可得AE是的平分线，在根据等腰三角形的性质和平行线的判定，得出，再根据得出，即可得；
（2）利用直角三角形的边角关系可求出，在中根据锐角三角函数可求出CM，进而求出AM=8，再由平行线得出，由对应边成比例求解即可得．
【解析】（1）证明：如图所示，连接OE，AE，

∵AB是直径，
∴，
在和中，

∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵OE是半径，
∴MF是的切线；
（2）解：由（1）可知，，
在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，


解得，．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，锐角三角函数以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
13．(1)见解析
(2)阴影部分的面积4

【分析】（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠CAD=∠ODB，求出∠ADO为90°，即可证AD是⊙O的切线；
（2）连接OD，作OF⊥BD于F，由直角三角形的性质得出CD=AC=3，BC=9，得出BD=BC-CD=6，由直角三角形的性质得出DF=BF，OF=，得出OB=2OF=2，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果．
【解析】（1）证明：连接OD，如图1所示：

∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵∠B＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODB，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠CDA＝90°，
∴∠ADO＝180°﹣(∠ADC+∠ODB)＝90°，
∴OD⊥AD，
∵OD是半径，
∴AD为⊙O的切线；
（2）解：连接OD，作OF⊥BD于F，如图2所示：

∵OB＝OD，∠B＝30°，
∴∠ODB＝∠B＝30°，
∴∠DOB＝120°，
∵∠C＝90°，∠CAD＝∠B＝30°，
∴CDAC＝3，BCAC＝9，
∴BD＝BC﹣CD＝6，
∵OF⊥BD，
∴DF＝BFBD＝3，OFBF，
∴OB＝2OF＝2，
∴阴影部分的面积＝扇形ODB的面积﹣△ODB的面积
=
=．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式、三角形面积公式等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接BD，由题意证得BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，则∠BDE+∠FDE＝90°，结论得证；
（2）由勾股定理求出BD的长，证明△FDE∽△FBD，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解析】（1）证明：连接BD，
∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，
∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝90°，
即∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．

（2）解：∵∠BCD＝90°，DC＝BC＝4，
∴BD，
∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BDF＝90°，
∴△FDE∽△FBD，
∴，
又∵DE＝2EF，
∴，
∴DF＝2．
【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理等知识，解答本题的关键是正确作出辅助线，综合运用圆的性质解题．
15．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据已知可得，再根据等腰三角形的性质证明ABOD，从而可得，即可解答；
（2）根据平行线的性质求出，然后利用弧长公式进行计算即可解答．
【解析】（1）证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
∴ABOD，
，即OD⊥FD，
是的半径，
直线是的切线；
（2）解：∵ABOD，
，
，
劣弧的长为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，平行线的判定与性质，弧长的计算，等腰三角形的性质，熟知经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
16．(1)证明见解析
(2)4

【分析】（1）连接OC，方法一利用角平分线的性质，等腰三角形的性质，线余来求解；方法二利用角平分线的性质，等腰三角形的性质求得，再用平线的性质求解；
（2）连接AC，方法一根据圆周角定理和角平分线易得，利用相似三角形的性质求解；方法二利用已知求得，进而得到，结合角平分线求出，最后用特殊角的三角函数值求解．
（1）
解：连接，如下图．

方法一：
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
方法二
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
即．
∴是的切线；
（2）
解：连接，如图．


方法一：连接．
∵为的直径，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴；
方法二
∵为的直径，，
∴．
∵，，
在中
∴．
∵平分，
∴．
在中．
∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，综合运用这些知识点是解题关键．
17．(1)见解析
(2)

【分析】（1）如图所示，连接OF，OC，只需要证明△OCF≌△OCD得到∠OFC=∠ODC=90°，即可得到结论；
（2）先证明O、E、F三点共线，设AE=x，则BE=AB-AE=2-x，OE=OF+EF=3-x，在Rt△AEO中，由勾股定理得到，则，据此求解即可．
【解析】（1）解：直线CF与圆O相切，理由如下：
如图所示，连接OF，OC，
由折叠的性质可知，CF=BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠ODC=90°，
∴CF=CD=BC，
∵AD是圆O的直径，F在圆O上，
∴OF=OD，
又∵OC=OC，
∴△OCF≌△OCD（SSS），
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴直线CF与圆O相切；

（2）解：∵AD是圆O的直径，圆O的半径为1，四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=2，∠ABC=∠BAD=90°，
由折叠的性质可知∠EFC=∠EBC=90°，EB=EF，
由（1）得∠OFC=90°，
∴∠OFC+∠EFC=180°，
∴O、E、F三点共线，
设AE=x，则BE=AB-AE=2-x，
∴OE=OF+EF=3-x，
在Rt△AEO中，，
∴，
解得，
∴．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，圆切线的判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）证出即可得出结论；
（2）求证，得出，根据即可得出结论；
（3）设的面积为，则的面积为，证出，从而得到的面积为S，进而得出，表示出EG和BG的长度，即可得到答案．
(1)
∵AB为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴OB⊥PB，且OB为半径，
∴PB是的切线；
(2)
∵，，
∴OP为BC的垂直平分线，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
(3)
设的面积为，则的面积为，
∵，
∴的面积为，的面积为4S，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，  
∴的面积为S，
∴，
设，则，，
∴，
∴．
【点评】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质和锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键．