【名师原创】名师新高考二模卷 命题人：浙江省萧山中学 高级教师 王建国 审核：长郡中学 高级教师 廖喜全（含答案解析）

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【名师原创】名师新高考二模卷命题人：浙江省萧山中学高级教师王建国审核：长郡中学高级教师廖喜全1.  已知全集，集合，，则(    )A. 或 B. 或
C.  D. 2.  当时，复数在复平面内对应的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.  在所在平面内， D是 BC延长线上一点且， E是 AB的中点，设，，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则对应的解析式可为(    )A.  B.
C.  D. 5.  在这20个正整数中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是(    )A.  B.  C.  D. 6.  菠萝眼常有两种剔除法：用图1甲所示的去眼刀逐个挖掉菠萝眼，或者用图1乙所示的三角刀沿着菠萝眼挖出一条一条的螺旋线.现有一个波萝准备去眼，假设：该菠萝为圆柱体，菠萝有64个菠萝眼，都均匀的错位排列在侧面上如图2甲若使用去眼刀，则挖出的每一个菠萝眼可看成侧棱为3cm，且侧棱与底面成夹角的正四棱锥若使用三角刀，可挖出8根螺纹条，其侧面展开图如图2丙所示，设螺纹条上两个相邻菠萝眼A，B的距离为若将8根螺纹条看成8个完全一样的直三棱柱，每个直三棱柱的高为，其底面为等腰三角形，该等腰三角形的底边长为，顶角为，则当菠萝眼的距离h接近于时，两种刀法留下的菠萝果肉一样多参考数据：(    )A.  B.  C.  D. 7.  设，，，则(    )A.  B.  C.  D. 8.  记为点到平面的距离，给定四面体，则满足的平面的个数为(    )A. 1 B. 2 C. 5 D. 89.  已知是棱长均为1的三棱锥，则(    )A. 直线AB与CD所成的角
B. 直线BC与平面ACD所成的角为
C. 点C到平面ABD的距离为
D. 能容纳三棱锥的最小的球的半径为10.  已知，，且，则(    )A.  B.
C.  D. 11.  已知椭圆，点F为右焦点，直线与椭圆交于两点，直线PF与椭圆交于另一点M，则(    )A. 周长为定值 B. 直线PM与QM的斜率乘积为定值
C. 线段PM的长度存在最小值 D. 该椭圆离心率为12.  已知定义域为R的奇函数，当时，下列叙述正确的是(    )A. 存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根
B. 当时，有
C. 当时，的最小值为1，则
D. 若关于x的方程和的所有实数根之和为零，则13.  二项式的展开式的第5项为常数项，则__________.14.  过点且与圆C：相切的直线方程为__________15.  已知曲线与在处的切线互相垂直，则__________16.  设过双曲线左焦点F的直线l与C交于两点，若，且为坐标原点，则C的离心率为__________17.  在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知 .求A；若，，求 . 18.  已知矩形ABCD，，M为AD的中点，现分别沿BM，CM将和翻折，使点重合，记为点求证：求直线BC与平面PMC所成角的正弦值.19.  为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费商场在春节期间推出“你摸球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取2个球.具体规则如下：摸出3个红球记为一等奖，没有红球记为二等奖，2个红球记为三等奖，1个红球记为鼓励奖。获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为5折，7折、8折和9折．记随机变量为获得各奖次的折扣率，求随机变量的分布列及期望；某一时段内有3人参加该促销活动，记随机变量为获得7折及以下资格的人数，求 20.  已知数列满足，。数列满足， .求的通项公式；证明：当时， . 21.  如图，过y轴左侧的一点P作两条直线分别与抛物线交于和四点，并且满足，设CD的中点为M，证明PM垂直于y轴.若P是双曲线左支上的一点，求面积的最小值．
  22.  已知函数 .当时，求函数的单调递增区间;若函数在的最小值为，求a的最大值.
答案和解析 1.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题．
先求出集合A的补集，再与集合B求并集.【解答】解：或，，
所以或 ，
故选  2.【答案】B 【解析】【分析】本题考查复数的运算及几何意义，属于基础题．
先对复数进行化简，再确定实部和虚部的符号即可得解.【解答】解：计算可得，
因为，所以，故复数z在复平面内的对应点位于第二象限，
故选B .  3.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
先根据向量线性运算将用 、表示出来，从而可得正确选项.【解答】解：因为，所以，
则，
故选  4.【答案】B 【解析】【分析】本题考查三角函数图象的平移，函数的对称性，三角函数的诱导公式，属于中档题．
先求出，再通过平移后的图象的对称性求出，然后结合诱导公式即可得解.【解答】解：因为函数的最小正周期为，
所以，得，即，
将函数的图象向右平移个单位，
可得 的图象且关于y轴对称，
所以，
又，所以，
即，
故选  5.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查古典概型概率计算、等差数列、组合数公式等，属中档题.
根据题意公差，进一步确定满足题意的可能情况数，再由古典概型概率公式计算即可.【解答】解：三个数成递增等差数列，设为，
按题意必须满足， ，
若给定了d，则a可以取 ，故三数成递增等差数列的个数为，三数成递增等差数列的概率为 ，
故选  6.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了棱锥及棱柱的体积，属于中档题.根据棱锥及棱柱的体积的计算公式即可得到答案.【解答】解：欲使留下的果肉一样多，只需两种刀法下削掉的菠萝果肉的体积一样大.
若用去眼刀削菠萝，削掉的每个菠萝眼视为一个正四棱锥，
该椎体的高为，底面对角线长为，
故正四棱锥的体积为，
菠萝眼共有64个，故用去眼刀去掉的菠萝果肉的体积为；
若用三角刀削菠萝削掉的每根螺纹条视为一个直三棱柱，
其底面的高为，
底面积为，
直三棱柱的体积为，
故用三角刀去掉的菠萝果肉的体积为
由题可得：，
则，故选  7.【答案】D 【解析】【分析】本题考查利用对数函数的性质比较大小、利用幂函数的性质比较大小，属于中档题.
利用对数函数的单调性和幂函数的单调性，并借助中间量进行比较.【解答】解：，，所以，
由于，所以，
即，
而，
所以 ，故选  8.【答案】D 【解析】【分析】本题考查点与平面的距离问题，考查空间想象能力和逻辑思维能力，属于较难题.
分类讨论当平面与平面平行时分析可得2个，当平面经过的中位线时分析可得6个，从而得解.【解答】解：到点的距离相等的平面有两种类型，与平面平行或者经过的某一条中位线.
当平面与平面平行时，如下图1，
设的三等分点分别为，对于平面，
利用三角形相似可知，平面符合题意.
在线段的延长线上取使得，
对于平面，利用三角形相似可知，
平面符合题意.设的中点分别为E、F和
当平面经过的中位线EF时.
如下图2：对于平面，在线段上且，
利用三角形相似可知，
又，可得，
且E、F分别为的中点，
则、、到平面的距离相等，
因此平面符合题意.
如下图3：对于平面，在线段上，在线段上，
且，
利用三角形相似可知，
又，可得，
且E、F分别为的中点，
则、、到平面的距离相等，
因此平面符合题意.


对于中位线、，也有类似结论.
综上所述，符合题意的平面共有8个.
故选  9.【答案】ACD 【解析】【分析】本题主要考查空间中直线与直线的位置关系、直线与平面所成的角、点面距离、球的内接问题  ，属于中档题.
直接根据正四面体的结构特征逐一计算或判断即可.【解答】解：是棱长均为1的三棱锥，即正四面体，所以，顶点到对面的距离即高，所以侧棱与底面所成角的正弦值为，其外接球半径 ，
故选  10.【答案】ABD 【解析】【分析】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题.
对于A利用基本不等式可判断，对于B利用不等式的基本性质以及指数函数的单调性即可判断，对于C可用特殊值法判断，对于D直接根据不等式的基本性质判断即可.【解答】解： ，当且仅当取等号，故A 正确；，，且，，故B 正确；，故D 正确；取，则，故C错误；故选：  11.【答案】BCD 【解析】【分析】本题主要考查椭圆的简单几何性质和直线与椭圆的位置关系，属于较难题.
通过k取不同值求出周长即可判断A，设出点的坐标利用斜率公式化简即可判断B，确定线段PM取最小值的条件即可判断C，确定a、c的值即可求出离心率从而判断【解答】解：该椭圆中，所以离心率为，
当线段PM垂直于x轴时，其长度存在最小值，
设，，，
则在PM、QM斜率都存在的前提下有，，
于是
为定值，
当时，直线与椭圆交于点和，
不妨取点P为，得直线PF方程为，求得交点M为，
则，，，此时的周长为，
当时，PM垂直于x轴，此时，，，
此时的周长为，
显然周长不为定值.
故选  12.【答案】ABC 【解析】【分析】本题考查由函数的奇偶性求函数的解析式，以及判断方程的根的个数，以及函数零点的问题，涉及函数单调性，属于较难题.
根据函数是奇函数，写出其解析式，画出该函数的图象，再结合选项，数形结合解决问题.【解答】解：因为该函数是奇函数，故在R上的解析式为：

绘制该函数的图象如图所示：

对A：如图，直线与该函数有7个交点，故A正确；
对B：当时，函数是减函数，有，故B正确；
对C：当时，的最小值为1，令，则或3，
则 ，故C正确；
对D：当时，计算可得三个根的和为，
若使得其与的所有零点之和为0，
分两种情况，当有3个根时，易知符合题意；
当有且仅有1个根时，
则或，故D错误.
故选  13.【答案】6 【解析】【分析】本题考查了二项式展开式的通项公式，属于基础题.
根据二项式通项公式和展开式的第5项为常数项建立方程即可得解.【解答】解：二项式展开式的通项公式为，由展开式中，第5项为常数项，则，即  14.【答案】或 【解析】【分析】本题考查了求圆的切线方程，属于中档题.
分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解.【解答】解：将圆C方程化为圆的标准方程，得圆心，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆C的切线，满足题意；
当过点的直线斜率存在时，可设直线方程为，
利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，
即此直线方程为，
故答案为：或 .  15.【答案】 【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于容易题.
求导得切线斜率，根据切线垂直的斜率关系建立方程即可得解.【解答】解：，则曲线在处的切线斜率为，
，则曲线在处的切线斜率为，则根据题意有 ，
即，
得  16.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查双曲线的简单几何性质，属中档题.
利用双曲线的定义结合向量知识建立关于a、c的方程即可求出离心率.【解答】解：如图，

设P为MN中点，，
由可知，，， ，
由可知，从而，
所以，为正三角形，
在直角中，，
所以 .  17.【答案】解：由 ，，得，由正弦定理得，所以，从而，即，
又，则，
所以解法一：由知 ，所以，而由可得，所以，，解得 ;解法二：由正弦定理得，所以，代入得，即，而，所以，，解得 . 【解析】本题考查了利用正弦定理、两角和与差的正弦公式，属中档题.
利用正弦定理进行变形，逆用两角和与差的正弦公式从而得解；
两种解法都是先利用正弦定理进行变形，再由两角差的正弦公式展开即可得解.
 18.【答案】解：证明：已知矩形ABCD，沿BM，CM将和翻折，使点重合，记为点

可得取BC的中点Q，，平面，平面，平面PMQ平面，为矩形平面平面平面，是BC在平面PMC内的射影，为直线BC与平面PMC所成角， 【解析】本题考查直线与直线垂直的证明，求线面角等知识，属中档题.
先利用线面垂直判定定理证得平面PMQ，再由线面垂直性质得证；
先利用线面垂直判定定理证得平面，得直线与平面所成角从而得解.
 19.【答案】解： 设事件为“从甲盒中取出i个红球”，事件为“从乙盒中取出j个红球”，则，
记x为取出的4个球中红球的个数，
则，，，，
由题意得的分布列为5折7折8折9折p
则；由可知，获得7折及以下资格的概率为
由题意得，则 【解析】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与期望、二项分布等知识，涉及古典概型、相互独立事件的概率乘法公式，属中档题.
根据古典概型和相互独立事件的概率乘法公式可求得分布列进而求出离散型随机变量的期望；
根据随机变量服从二项分布，利用公式即可得解.
 20.【答案】解：由并根据题意可知，
则，当且时，
由累乘法得，又 ，则，
当时，也符合上式，
综上可知，，因为，所以，即，当且时，由累加法得 ，设，则，所以，又，则 ，
当时，上述不等式也成立，
因此，当时， 对恒成立. 【解析】本题考查了求数列的通项公式、数列与不等式的问题、数列求和问题，属较难题.
利用累乘法即可得解；
利用不等式的基本性质进行放缩，再由累加法和错位相减求和法即可得证.
 21.【答案】解：证明：设，，，，
则由， ，
可得，
由点都在抛物线上可得，
化简可得，同理可得 ，
故，可视为二次方程的两根，由韦达定理可得，故，由此可得PM垂直于y轴.由可得，；由，知





，又P是双曲线左支上的一点，
可得且，
则，
又当时，，
因此，当时取最小值为 【解析】本题考查了直线与抛物线的位置关系，向量与抛物线的综合问题，双曲线中的面积问题，属较难题.
设出相关点坐标，结合向量关系，证得点P、M纵坐标相等，从而得证；
根据向量关系得，又结合点P在双曲线上表示出面积表达式，根据函数思想求出最小值.
 22.【答案】解：当时，，，
函数和都为增函数且有共同的零点1，
所以恒成立，
即的单调递增区间为 ;当时，时时，
则在取得最小值，符合题意；当时，时时时，因为最小值为，所以得，即；当时，由可知单调递增，则当时无最小值，不合题意；当时，时时时，
则有，不合题意；综上可得，a的最大值 . 【解析】本题考查了利用导数求函数的单调区间、利用导数根据函数最值求参，属较难题.
求导并判断导数符号，进一步可得单调区间；
求导，对a进行分类讨论，根据函数在的最小值为 求得a的取值范围，从而得到a的最大值.