2023年北京市朝阳区高三一模考试数学试卷（含答案解析）

2023年北京市朝阳区高三一模考试数学试卷

1.  已知集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  设，若，则(    )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

4.  已知点，若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知函数，则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为若为坐标原点，则该双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C. 2 D. 或2

7.  在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是(    )

A. 的一个周期为 B. 的最大值为
C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点

9.  如图，圆M为的外接圆，，，N为边BC的中点，则(    )

A. 5 B. 10 C. 13 D. 26

10.  已知项数为的等差数列满足，若，则k的最大值是(    )

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17

11.  若复数，则________.

12.  函数的值域为________.

13.  经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于 A， B两点，若，则为坐标原点的面积为______.

14.  在中，，，

若，则________；

当________写出一个可能的值时，满足条件的有两个．

15.  某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力战斗单位数随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为给出下列四个结论：

①若且，则；

②若且，则；

③若，则红方获得战斗演习胜利；

④若，则红方获得战斗演习生利．

其中所有正确结论的序号是________.

16.  如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，

求证：平面BDE；

求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；

求点D到平面ABE的距离．

17.  设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．

求函数的解析式；

求在区间上的最大值和最小值．

条件①：；

条件②：的最大值为；

条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．

18.  某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：

假设所有学生的获奖情况相互独立．

分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；

用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望EX；

用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．结论不要求证明

19.  已知函数

求的单调区间；

若对恒成立，求a的取值范围；

证明：若在区间上存在唯一零点，则

20.  已知椭圆经过点

求椭圆E的方程及离心率；

设椭圆E的左顶点为A，直线与E相交于M，N两点，直线AM与直线相交于点问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．

21.  已知有穷数列满足给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列．

判断数列，1，0，1，0，1，是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；

若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值；

若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】略
 

2.【答案】A 

【解析】略
 

3.【答案】A 

【解析】略
 

4.【答案】D 

【解析】略
 

5.【答案】C 

【解析】略
 

6.【答案】B 

【解析】略
 

7.【答案】C 

【解析】略
 

8.【答案】D 

【解析】略
 

9.【答案】C 

【解析】略
 

10.【答案】B 

【解析】略
 

11.【答案】 

【解析】略
 

12.【答案】 

【解析】略
 

13.【答案】2 

【解析】略
 

14.【答案】  答案不唯一 

【解析】略
 

15.【答案】①②④ 

【解析】略
 

16.【答案】解：在三棱柱中，
因为平面ABC，
所以
又D，E分别为AC，的中点，则，
所以
因为，所以
又，
所以平面
由知，，
又平面ABC，
所以平面
因为平面ABC，
所以
所以DA，DB，DE两两垂直.
如图建立空间直角坐标系，

则，，，
所以，，
设平面ABE的一个法向量为，
则即
令，则，于是
设直线DE与平面ABE所成角为，则
，
所以直线DE与平面ABE所成角的正弦值为
因为直线DE与平面ABE所成角的正弦值为，
所以点D到平面ABE的距离为 

【解析】略
 

17.【答案】解：选条件②③


其中，
根据条件②可知，函数的最大值为
又，所以
根据条件③可知，函数的最小正周期为，所以
所以
由，得，
则，所以
当，即时，取得最小值，最小值为
当，即时，取得最大值，最大值为 

【解析】略
 

18.【答案】解：设事件A为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一等奖”，
则
随机变量X的所有可能取值为0，1，
记事件B为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”，
事件C为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”.
由题设知，事件B，C相互独立，
且估计为，估计为
所以，


，

所以X的分布列为

故X的数学期望
 

【解析】略
 

19.【答案】解：因为，所以
①若，则，所以在区间上单调递增.
②若，令，得
当时，，
所以在区间上单调递减;
当时，，
所以在区间上单调递增.
综上，当时，的单调递增区间为
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为
①若，当时，，，
则在区间上单调递增.
所以
所以符合题意.
②若，则
由可知在区间上单调递减，
所以当时，综上，a的取值范围为
若在区间上存在唯一零点，
则，且即
欲证：只需证：
只需证：，
即证：
由知，在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立.
所以
所以 

【解析】略
 

20.【答案】解：因为椭圆过点
所以，得
所以椭圆E的方程为
因为，，
所以
所以椭圆的离心率
直线NQ过定点理由如下：
由得
显然，
设，，则，
直线AM的方程为
令，得，则
所以直线NQ的斜率为，且
所以直线NQ的方程为
令，则






所以直线NQ过定点 

【解析】略
 

21.【答案】解：数列A是连续等项数列，不是连续等项数列.理由如下：
因为，所以A是连续等项数列.
因为，，，为，1，0，
，，，为1，0，1，
，，，为0，1，0，
，，，为1，0，1，，
所以不存在正整数s，，使得
所以A不是连续等项数列.
设集合，则S中的元素个数为
因为在数列A中，，所以
若，则
所以在，，，，这个有序数对中，
至少有两个有序数对相同，
即存在正整数s，，使得，
所以当项数时，数列A一定是连续等项数列.
若，数列0，0，1不是连续等项数列.
若，数列0，0，1，1不是连续等项数列.
若，数列0，0，1，1，0不是连续等项数列.
若，数列0，0，1，1，0，不是连续等项数列.
若，数列0，0，1，1，0，，1不是连续等项数列.
若，数列0，0，1，1，0，，1，不是2一连续等项数列.
若，数列0，0，1，1，0，，1，，不是连续等项数列.
若，数列0，0，1，1，0，，1，，，0不是连续等项数列.
所以N的最小值为
所以存在两两不等的正整数i，j，使得，，，，
，，，，
，，，
下面用反证法证明
假设，
因为，，，，
所以，，，中至少有两个数相等.
不妨设，则，，，，
所以A是连续等项数列，与题设矛盾.
所以
所以 

【解析】略