2023年北京市东城区高三一模考试数学试卷（含答案解析）

2023年北京市东城区高三一模考试数学试卷

1.  已知集合，且，则a可以为

A.  B.
C.  D.

2.  在复平面内，复数对应的点的坐标是，则

A.  B.  C.  D.

3.  抛物线的准线方程为

A.  B.  C.  D.

4.  已知，则的最小值为

A.  B. 0 C. 1 D.

5.  在中，，，，则

A.  B. 4 C.  D.

6.  设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则“”是

“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.  过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为

A.  B.  C.  D.

8.  已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部不含边界的动点，且满足，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

9.  已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

10.  恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就．其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值精确到，可得N的值为

A. 13 B. 14 C. 15 D. 16

11.  函数的定义域是_______.

12.  在的展开式中，的系数为60，则实数_______.

13.  已知双曲线的一个焦点为，且与直线没有公共点，则双曲线的方程可以为_______.

14.  已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为的等差数列，则_______，______.

15.  已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于点，点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，则______.

给出下列四个结论：

①；

②图2中，；

③图2中，过线段AB的中点且与AB垂直的平面与x轴交于点C；

④图2中，S是及其内部的点构成的集合.设集合，则T表示的区域的面积大于

其中所有正确结论的序号是______.

16.  已知函数

求的最小正周期;

若是函数的一个零点，求的最小值.

17.  甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试．每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀，两位同学的测试成绩如下表：

从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；

从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望EX；

从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望EY与中EX的大小．结论不要求证明

18.  如图，在长方体中，，和交于点E，F为AB的中点.

求证：平面；

再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值；

点A到平面CEF的距离.

条件①：；

条件②：与平面所成角为

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．  

19.  已知函数

当时，求的单调递增区间；

设直线l为曲线的切线，当时，记直线l的斜率的最小值为，求的最小值；

当时，设，，求证：

20.  已知椭圆的一个顶点为，离心率

求椭圆E的方程；

过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点，直线分别与x轴交于点

设椭圆的左顶点为D，求的值.

21.  已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：

①；

②

则称这样的数表具有性质

若数表具有性质P，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；

对于具有性质P的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得； 

对于具有性质P的数表，当n为偶数时，求的最大值.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】略
 

2.【答案】A 

【解析】略
 

3.【答案】D 

【解析】略
 

4.【答案】B 

【解析】略
 

5.【答案】C 

【解析】略
 

6.【答案】B 

【解析】略
 

7.【答案】A 

【解析】略
 

8.【答案】D 

【解析】略
 

9.【答案】B 

【解析】略
 

10.【答案】C 

【解析】略
 

11.【答案】 

【解析】略
 

12.【答案】 

【解析】略
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】略
 

14.【答案】   

【解析】略
 

15.【答案】   ②③ 

【解析】略
 

16.【答案】解：因为

所以的最小正周期为
由题设，，由是该函数零
点可知，
，即
故，或，，
解得，或，
因为，所以的最小值为 

【解析】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题.
 

17.【答案】解：从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有13种等可能的情形，其中有4次成绩超过90分.则从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次成绩超过90分的概率为
随机变量X的所有可能取值为1，2，



则随机变量X的分布列为：

故随机变量X的数学期望
 

【解析】略
 

18.【答案】解：
连接，，
因为长方体中，且
，
所以四边形为平行四边形.
所以E为的中点，
在中，因为E，F分别为和AB的
中点，
所以
因为平面，平面，
所以平面
选条件①
连接
因为长方体中，所以
在中，因为E为的中点，，
所以
如图建立空间直角坐标系，因为长方体中，，
则，，，，，，


所以，，
设平面CEF的法向量为，
则
令，则，，可得
设平面BCE的法向量为，
则
令，则，，所以
设平面CEF与平面BCE的夹角为，
则，
所以平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值为
因为，
所以点A到平面CEF的距离为
选条件②与平面所成角为
连接
因为长方体中，平面，平面，
所以
所以为直线与平面所成角，即
所以为等腰直角三角形.
因为长方体中，所以
所以
以下同选条件① 

【解析】略
 

19.【答案】解：当时，，定义域为
，
令，得，
当时，，
当时，，
所以的单调递增区间为
令，
则
当时，令，得
当时，，单调递减;
当时，，单调递增;
所以当时，最小值为
当时，的最小值为1，
所以的最小值为
由知在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以，，
，
所以 

【解析】略
 

20.【答案】解：由题设，得解得
所以椭圆E的方程为
直线BC的方程为
由得
由，得
设，，则，
直线AB的方程为
令，得点M的横坐标为
同理可得点N的横坐标为




因为点D坐标为，则点D为线段MN的中点，
所以 

【解析】略
 

21.【答案】解：满足条件的数表为，，，所以的值分别为5，5，
若当取最大值时，存在，使得
由数表具有性质P可得j为奇数，
不妨设此时数表为
①若存在为偶数，，使得，交换和2n的位置，所得到的新数表也具有性质P，
调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在，使得
②若对任意的为偶数，，都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质P，此时转化为①的情况.
综上可知，存在正整数，使得
当n为偶数时，令，对任意具有性质 P数表，
一方面，，
因此①
另一方面，，
因此②
记，
由①+②得
又，可得
构造数表

可知数表具有性质P，且
综上可知，当n为偶数时，的最大值为 

【解析】略