2023年北京市高考数学模拟试卷（含答案解析）

2023年北京市高考数学模拟试卷

1.  若集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设复数z满足，则(    )

A.  B.  C.  D. 5

3.  双曲线的两条渐近线所成锐角的大小等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.  的展开式的二项式系数之和为8，则二项式展开式中的常数项等于(    )

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

5.  在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知函数，则不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD中，，，那么的值为(    )

A.  B.  C. 4 D.

8.  设为等比数列，若m，n，p，，则是的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

9.  已知圆C：与直线1：，P为直线1上一动点，若圆上存在点A，使得，则的最大值为(    )

A.  B. 4 C. 2 D.

10.  《九章算术商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.意思是：如图，沿正方体对角面截正方体可得两个堑堵，再沿平面截堑堵可得一个阳马四棱锥，一个鳖臑三棱锥，若P为线段CD上一动点，平面过点P，平面，设正方体棱长为1，，与图中的鳖臑截面面积为S，则点P从点D移动到点C的过程中，S关于x的函数图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  的零点为______.

12.  正方形ABCD中，，P为BC中点，Q为DC中点，则______；若M为CD上的动点，则的最大值为______.

13.  已知函数其中为实数，若对恒成立，则满足条件的值为______写出满足条件的一个值即可

14.  已知抛物线C：的焦为，则抛物线C的方程是__________；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则__________.

15.  小图给出了某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间月的关系的散点图.有以下叙述：

①与函数相比，函数作为近似刻画y与t的函数关系的模型更好；
②按图中数据显现出的趋势，第5个月时，浮萍的面积就会超过；
③按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍；
④按图中数据显现出的趋势，浮萍从2月的蔓延到至少需要经过3个月.
其中正确的说法有
______
填序号

16.  如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，M为棱的中点．
求证：；
求证：平面；
求二面角的余弦值．

17.  在中，，，_____.求c的值.从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.  某学校为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：

定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：

在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；
以频率估计概率，从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；
如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．

19.  已知椭圆E：过点，且离心率为
求椭圆E的方程；
过右焦点F且不与x轴重合的直线与椭圆交于M，N两点，已知，过M且与y轴垂直的直线与直线DN交于点P，求证：点P在一定直线上，并求出此直线的方程.

20.  已知函数
当时，求曲线在点处的切线方程；
若，讨论函数的单调性；
当时，恒成立，求a的取值范围.

21.  设数列A：，，…，的各项均为正整数，且…若对任意…，，存在正整数i，使得，则称数列A具有性质
判断数列：1，2，4，7与数列：1，2，3，6是否具有性质T；只需写出结论
若数列A具有性质T，且，，，求n的最小值；
若集合…，2019，，且任意i，…，，求证：存在，使得从中可以选取若干元素可重复选取组成一个具有性质T的数列.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：因为，所以，
又因为，
所以，
故选：
由集合的补集得：，
由集合的交集得：，得解．
本题考查了集合的交、并、补的混合运算，属简单题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：复数z满足，
，

故选：
利用复数模长的定义和性质求解．
本题主要考查了复数模长的定义和性质，是基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：因为双曲线的方程为：，
所以它的渐近线方程为，即渐近线的斜率分别，
即渐近线的倾斜角为和，
所以一条渐近线与y轴的夹角为，
故两条渐近线所成的锐角为
故选：
先求得渐近线的方程，进而求得渐近线的倾斜角，然后即可求得正确答案．
本题考查了双曲线的渐近线的性质，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：的展开式的二项式系数之和为8，
则，解得，
故展开式的通项为，令，解得，
故二项式展开式中的常数项等于
故选：
先求出n，再结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点，
，，，
，，
则，
，
故选：
利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：令，得，得或；
在同一坐标系内画出与的图象，如图所示，
则不等式的解集为
故选：
令求得x的值，在同一坐标系内画出对应函数的图象，结合图象求出不等式的解集．
本题考查了函数图象与性质应用问题，也考查了结合函数图象求不等式解集的问题，是基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查黄金矩形的定义，以及向量数量积的定义和运用，考查运算能力，属于基础题．
由黄金矩形ABCD的定义，可得AB，再由勾股定理和向量数量积的定义，计算可得所求值．

【解答】

解：由黄金矩形的定义，可得，，
在矩形ABCD中，，
则，
故选：

8.【答案】A 

【解析】解：设等比数列的公比为r，
则，，
若，则成立，即充分性成立，
当时，若，则不一定成立，即必要性不成立，
故是的充分不必要条件．
故选：
根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
 

9.【答案】C 

【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径为1，
圆心到直线l的距离，可知直线与圆相离，
由正弦定理可得三角形PAC的外接圆的直径，
P为直线1上一动点，当直线PA与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值为
故选：
由已知可得直线与圆相离，P为直线1上一动点，当直线PA与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值．
本题考查直线与圆位置关系的应用以及正弦定理的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查推理能力与计算能力，是中档题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：如图，

设，，
，，则为等腰直角三角形，则，
，
平面，，
平面PMN，平面，平面平面，
而平面平面，平面平面，
，可得，则
由，得，，
即，

则S关于x的函数图象大致是
故选：
由题意画出截面图，证明平面截三棱锥所得截面为等腰直角三角形，求其面积关于x的关系式，则答案可求．
本题考查空间几何体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】，2 

【解析】解：当时，，解得；
时，，解得，
函数的零点为：，
故答案为：，
利用方程的根求解函数的零点即可．
本题考查函数的零点的求法，是基础题．
 

12.【答案】1 3 

【解析】解：以点D为原点，以直线DC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，P为BC中点，Q为DC中点，则：
，，，
，，
；
设，，则，
，
时，取最大值
故答案为：1，
可以点D为原点，以直线DC为x轴，建立平面直角坐标系，然后即可得出，，，从而可得出的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可求出的值；可据题意设，并且，而进行数量积的坐标运算即可求出，从而可得出的最大值．
本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，对恒成立，可得时，取得最大值或最小值．
若时，取得最大值，可得，
若时，取得最小值，可得，
故答案为：
根据，可得时，取得最大值或最小值．即写出答案；
本题考查了三角形函数的性质的应用．属于基础题
 

14.【答案】

6

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
利用抛物线的焦点坐标，求解p，然后求解抛物线方程，进而结合抛物线的有关性质即可得解．

【解答】

解：抛物线C：的焦为，
可得，则抛物线C的方程是；
M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则，
则
故答案为：；6

15.【答案】①②③ 

【解析】解：对于①，当浮萍蔓延的面积与时间月的关系为时，当，，，时，
对应的y分别为，，，，
当浮萍蔓延的面积与时间月的关系为时，当，，，时，
对应的y分别为，，，，
通过比较已知散点图可知，与函数相比，函数作为近似刻画y与t的函数关系的模型更好，故①正确，
对于②，当时，，故第5个月时，浮萍的面积就会超过，故②正确，
对于③，由可知，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍，故③正确，
对于④，由可知，当时，，当时，，即需要经过2个月，故④错误．
故答案为：①②③．
根据图象，求出函数的表达式，然后依次求解，
本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】证明：因为平面ABC，所以，
因为，所以平面，
因为 平面，所以，
即
证明：设的中点为N，连接MN，则，
连接，因为且，
所以是平行四边形，
所以 ，
所以平面平面，
所以平面
解：以C为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，
可得、、、、
依题意，是平面ADE的一个法向量，
，
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得，
，
因为二面角的平面角是钝角，
所以，二面角的余弦值为 

【解析】证明，结合，推出平面，然后证明
设的中点为N，连接MN，则，连接，证明，推出平面平面，即可证明平面
以C为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面ADE的一个法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
本题考查直线与平面垂直以及平面与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
 

17.【答案】解：选择①：由正弦定理知，，
因为，，，
所以，
因为，所以，
由余弦定理知，，
所以，解得或5，
当时，，所以，
又，，所以，，
所以，不符合题意，
故
选择②：因为，
由正弦定理得，，
又，，所以，
由余弦定理知，，
所以，解得或
选择③：因为，所以，
因为，所以，
当时，由余弦定理知，，所以；
当时，由余弦定理知，，所以，
综上，或 

【解析】选择①：结合正弦定理与二倍角公式，可得，再由余弦定理求出或5，检验知，当时，，进而得解；
选择②：结合二倍角公式与正弦定理，可得，再由余弦定理，得解；
选择③：由三角形面积公式可得，从而知的值，再由余弦定理，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】本小题满分13分
解：由对A餐厅评分的频率分布直方图，得
对A餐厅“满意度指数”为0的频率为，分
所以，对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数为分
设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件
记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件
所以，，分
由用频率估计概率得：，分
因为事件与相互独立，其中，2，，
所以
分
所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高
的概率为
如果从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：
A餐厅“满意度指数”X的分布列为：

B餐厅“满意度指数”Y的分布列为：

因为；
，
所以，会选择B餐厅用餐．分
注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可． 

【解析】由对A餐厅评分的频率分布直方图，求解对A餐厅“满意度指数”为0的频率．然后求解对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数．
设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件求出概率，利用独立重复概率乘法公式求解即可．
从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：得到分布列，求出期望，即可推出结果．
本题考查概率的应用，分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．
 

19.【答案】解：由已知可得，解得，，
所以椭圆E的方程为，
证明：由题意可知点P所在直线必然垂直于x轴，设为，
设直线MN的方程为：，，，
联立方程，消去y整理可得：，
所以，，
则直线DN的方程为：，令，
则，
所以，故点P在定直线上． 

【解析】由已知建立方程组，联立即可求解；设点P所在的直线为，再设出直线MN的方程以及点M，N，的坐标，并与椭圆方程联立，再写出直线DN的方程，求出点P的横坐标，利用韦达定理化简即可求解．
本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了学生的分析问题的能力以及运算推理能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：当时，，，
，
，
所以曲线在点处的切线方程为：，
即：
由，可得，
由于，的解为，，
当，即时，，则在上单调递增，
当，即时，
在区间，上，；在区间上，，
所以在，上单调递增；在上单调递减．
当，即时，
在区间，上，；在区间上，，
则在，上单调递增，在上单调递减．

当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立，
当时，，
所以在上单调递增，所以成立，
当时，在区间上，；在区间，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在区间上，，不符合题意，
综上所述，a的取值范围是 

【解析】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，函数单调性，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
当时，根据题意可得，计算，对求导得，再由导数的几何意义可得，进而写出切线方程．
求导得，令的解为，，分三种情况：当，当，当，讨论正负，进而可得的单调区间．
对求导得，分三种情况：当时，当时，当时，讨论导数的正负得到的单调性，进而可得a的取值范围．
 

21.【答案】解：，，2，4，7不具有性质P；
，，，，2，3，6具有性质P，
即数列不具有性质T，数列具有性质
由题意可知，，，，…，，
若，且，，
同理，，，，，，
数列各项均为正整数，，数列前三项为1，2，
数列A具有性质T，只可能为4，5，6，8之一，而又，，
同理，有，，，，
此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，
但数列中存在，使得，
该数列不具有性质T，
当时，取A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，构造数列不唯一，
A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200，
经验证，此数列具有性质T，的最小值为
证明：假设结论不成立，即对任意…，都有：
若正整数a，，，则，
否则，当时，a，，b 是一个具有性质 T 的数列；
当时，，a，b 是一个具有性质 T 的数列；
当时，a，a，b 是一个具有性质T的函数．
由题意可知，这6 个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337 个，
不妨设此集合为，从中取出337 个数，记为，，…，且…，
令集合…，
由假设，对任意，2，…，336，，，
在，，，，中至少有一个集合包含中的至少68 个元素，
不妨设这个集合为，从中取出68 个数，记为，，…，，且…，
令集合…，
由假设，
对任意，2，…，68，存在…，使得，
对任意，
由假设，，，

在，，，中至少有一个集合包含中的至少17 个元素，
不妨设这个集合为，从中取出17 个数，
记为，，…，，且…，
令集合…，，
由假设，对任意，2，…，17，存在…，使得，
对任意，
同样，由假设可得，，

同样，在，中至少有一个集合包含中的至少3 个元素，
不妨设这个集合为，从中取出3 个数，记为，，，且，
同理可得
由假设可得，
同上可知，，
而又，，矛盾．
假设不成立，原命题得证． 

【解析】根据，可知1，2，4，7不具有性质P，由，，，可知1，2，3，6具有性质P；
由数列A具有性质T，结合条件可知，然后分别考虑，，时是否符合条件，进一步得到n的最小值；
假设结论不成立，即对任意…，都有：若正整数a，，，则，
否则，当时，a，，b 是一个具有性质 T 的数列；当时，，a，b 是一个具有性质 T 的数列；当时，a，a，b 是一个具有性质T的函数，然后找出矛盾结论，从而证明结论成立．
本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系和不等式的性质，考查了考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．