2023年北京市汇文中学高考数学模拟试卷（含答案解析）

2023年北京市汇文中学高考数学模拟试卷

1.  已知集合，，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如果，那么下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如果平面向量，，那么下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知直线m，n和平面，如果，那么“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.  在等比数列中，，，则等于(    )

A. 9 B. 72 C. 9或70 D. 9或

6.  下列函数中，定义域为R的奇函数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在空间直角坐标系中，正四面体的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如果函数的两个相邻零点间的距离为2，那么…的值为(    )

A. 1 B.  C.  D.

10.  如图，已知正方体的棱长为1，E，F分别是棱AD，上的动点，设，，若棱与平面BEF有公共点，则的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  复数等于______.

12.  在的展开式中，常数项是______ 用数字作答

13.  若，则______ .

14.  在中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则______.

15.  设函数，其中
①若，则      ；
②若函数有两个零点，则a的取值范围是      .

16.  如图，在四边形ABCD中，，，，，

求；
求BC的长.

17.  如图，在四棱锥中，O是AD边的中点，底面ABCD，在底面ABCD中，，，，
求证：平面POC；                                                                                                                   
求二面角的余弦值.

18.  自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：

现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．

19.  已知函数
求的单调区间；
若对于任意的，都有，求k的取值范围．

20.  已知椭圆E：的一个顶点为，焦距为
求椭圆E的方程；
过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，当时，求k的值．

21.  设数列A：，，…，如果…，…，，且当时，，则称数列A具有性质对于具有性质P的数列A，定义数列：，，…，，其中
对：0，1，1，写出所有具有性质P的数列A；
对数列E：，，…，，其中…，，证明：存在具有性质P的数列A，使得与E为同一个数列；
对具有性质P的数列A，若且数列满足，证明：这样的数列A有偶数个．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】
本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．
先求出集合A，由此利用并集的定义能求出的值．

【解析】
解：，
集合，

故选：  

2.【答案】D 

【解析】解：根据对数函数的单调性，可得，，
故选
根据对数函数的单调性，可得，，即可得出结论．
本题考查不等式的性质，考查对数函数的单调性，比较基础．
 

3.【答案】C 

【解析】解：由平面向量，，知：
在A中，，，，故A错误；
在B中，，故B错误；
在C中，，，，故C正确；
在D中，，与不平行，故D错误．
故选：
在A中，，；在B中，；在C中，，从而；在D中，，从而与不平行．
本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算法则的合理运用．
 

4.【答案】B 

【解析】解：“”不能推出“”，充分性不成立，
，，
则，必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：
根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：，，设公比为q，
，即，解得或，
，
当时，，
当时，
故选：
设公比为q，由题意求出q，再根据，即可求出答案．
本题考查了等比数列的性质和定义，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：是偶函数，不满足条件．
B.是奇函数，但函数的定义域不是R，不满足条件．
C.为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．
D.是奇函数，满足条件．
故选：
根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键．要求熟练掌握常见函数的奇偶性的性质，比较基础．
 

7.【答案】B 

【解析】解：由题意可得，即，
解得，
可得渐近线方程为
故选
由题意可得，即，解得b，进而得到双曲线的方程，即可得到渐近线方程．
本题考查双曲线的方程和渐近线方程的求法，注意运用双曲线的基本量的关系和渐近线方程与双曲线的方程的关系，考查运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查了空间中的距离的求法，也考查了数形结合思想的应用问题，属于难题．
根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，原点O到点P的最短距离等于PM减去球的半径，最大距离是PM加上球的半径．

【解答】

解：如图所示，

若固定正四面体的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，
设AB的中点为M，则；
所以原点O到点P的最短距离等于PM减去球M的半径，
最大距离是PM加上球M的半径；
所以，
即的取值范围是
故选

9.【答案】A 

【解析】解：函数，
且的图象两个相邻零点间的距离为2，
所以的最小正周期为4，
即，解得；
所以，
所以…
…


故选：
化简函数，根据的图象两个相邻零点间的距离为2得出的最小正周期为4，
求出的值，再计算…的值．
本题考查了三角函数的化简与求值问题，是基础题目．
 

10.【答案】C 

【解析】解：注意到面是向四周延伸的，由题意，若，则棱与平面交于点D，符合题意排除A，B项；
若，，则棱与平面BEF交于线段，C项符合题意．
故选：
由题意，若，则棱与平面BEF交于点D，若，，则棱与平面BEF交于线段，即可得出结论．
本题考查线面位置关系，考查特殊法的运用，属于中档题．
 

11.【答案】i 

【解析】解：复数
故答案为：
复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简复数为的形式即可．
本题考查复数的乘除运算，复数的化简，考查计算能力．
 

12.【答案】15 

【解析】解：二项式展开式的通项公式为，
令，
即，
常数项是，
故答案为：
结合二项式展开式的通项公式求解即可．
本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的通项公式，属基础题．
 

13.【答案】40 

【解析】解：，
则，即，解得
故答案为：
根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：中，，，，由正弦定理可得
再由余弦定理可得，即，
求得，
故答案为：
利用由正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此求得a的值．
此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道基础题．
 

15.【答案】

【解析】解：①当时，，
，
，
②分别画出与的图象，如图所示，
函数有两个零点，结合图象可得，
故a的取值范围是
故答案为：，
①代值计算即可，
②分别画出与的图象，如图所示，函数有两个零点，结合图象可得
本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．注意要利用数形结合．
 

16.【答案】解：因为，，，，
所以，，
由于，
则
由已知及正弦定理，可得，解得，
由于，，
在中，由余弦定理可得
 

【解析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的余弦公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，由于，利用诱导公式，两角和的余弦公式求出即可．
由已知及正弦定理可求出BD的值，在中，利用余弦定理求出BC的值．
 

17.【答案】解：证明：在四边形ABCD中，因为，，
O是AD的中点，则，，
所以四边形ABCO是平行四边形，所以，
又因为平面POC，平面POC，
所以平面POC；
连结OB，因为平面ABCD，所以，，
又因为点O是AD的中点，且，所以，
因为，，，
所以四边形OBCD是正方形，所以，
则PO、OD、OB所在直线为两两互相垂直的直线，
以O为原点，以OB、OD、OP所在直线为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
所以，，
设平面BAP的法向量为，
则，即，令，则，故，
因为平面PAD，
所以是平面PAD的一个法向量，
所以，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为 

【解析】本题考查立体几何的综合应用，及线面平行的判定定理的应用，在求解空间角的时候，建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
先证明四边形ABCO是平行四边形，即可得到，由线面平行的判定定理证明即可；
建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面BAP的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
 

18.【答案】解：在随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的共有人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为；
所有的可能取值为1，2，3，；；
所以X的分布列为

所以X的数学期望为；
在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．
利用古典概型求解即可．
求出X的可能值，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．
在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，然后求解即可．
 

19.【答案】解：，
令，得
当时，随x的变化情况如下：

所以，的单调递增区间是，和，单调递减区间是；
当时，随x的变化情况如下：

所以，的单调递减区间是，和，单调递增区间是；
当时，有，不合题意，
当时，由知在上的最大值是，
任意的，，，
解得，
故对于任意的，都有，k的取值范围是 

【解析】求导，令导数等于零，解方程，跟据，随x的变化情况即可求出函数的单调区间；
根据若对于任意的，都有，利用导数求函数在区间的最大值，即可求出k的取值范围．
此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，特别是的设置，有关恒成立问题一般转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想，增加了题目的难度．
 

20.【答案】解：由题意得，
，，，，
椭圆E的方程为
设过点的直线为，，，
联立得，即，
直线与椭圆相交，，，
由韦达定理得，，
，直线AB为，
令，则，，同理，


，
，，
 

【解析】利用已知和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程．
联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理求出，，再表示出，化简即可．
本题考查直线和椭圆的位置关系，考查联立法和韦达定理、方程思想和运算能力，是一道综合题．
 

21.【答案】解：因为：0，1，1，所以，即
因为，，，所以，，，
又因为，
所以，，或，
当时，，，
当时，，，或，，
综上所述，所有具有性质P的数列A为：4，1，2，3、3，1，2，4、2，1，3、
证明：由于数列E：，，…，，其中…，，
不妨设数列E：，，…，中恰有s项为1，
若，则A：n，，…，1符合题意；
若，则A：1，2，…，n符合题意；
若，则设这s项分别为，，…，…，
构造数列A：，，…，，令，，…，分别为，，…，n，
数列A的其余各项，，…，…分别为，，…，1，
经检验数列A符合题意．
证明：对于符合题意的数列A：，，…，，
①当n为奇数时，存在数列：，，…，符合题意，且数列A与不同，与相同，
按这样的方式可由数列构造出数列A，所以当n为奇数时，这样的数列A有偶数个，
当时，这样的数列A也有偶数个．
②当n为偶数时，如果n，是数列A中不相邻的两项，交换n与得到数列符合题意，且数列A与不同，与相同，
按这样的方式可由数列构造出数列A，所以这样的数列A有偶数个；
如果n，是数列A中相邻的两项，由题设可知：必有，，，
除这三项外，，，…，是一个项的符合题意的数列A，
由①知这样的数列A有偶数个；
综上所述，这样的数列A有偶数个． 

【解析】根据数列的定义得到且，，，确定，按照或分类讨论即可得出答案；
设数列E：，，…，中恰有s项为1，再按照，，，三种情况分类讨论可证得结论；
按照n的奇偶性分类讨论，结合数列的定义可证结论．
本题考查数列的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．