2023年河北省衡水中学高考数学六调试卷（含答案解析）

2023年河北省衡水中学高考数学六调试卷

1.  某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为(    )

A. 40 B. 36 C. 34 D. 32

2.  设，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到经验回归方程，则k，c的值分别是(    )

A. ，e B.  C.  D. 2，e

4.  设向量与的夹角为，定义已知向量为单位向量，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  的展开式中的系数为(    )

A. 5 B.  C. 15 D.

6.  用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格⼦的染色方法种数为(    )

A. 6 B. 10 C. 16 D. 20

7.  为进一步强化学校美育育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，某校开设了传统体育、美育、书法三门选修课程，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，则恰有2名同学选修传统体育的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校所有学生都参加且每人只参加其中一个社团，校团委从全校学生中随机选取一部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，则(    )
 

A. 选取的这部分学生的总人数为500
B. 合唱社团的人数占样本总量的
C. 选取的学生中参加机器人社团的人数为75
D. 选取的学生中参加合唱社团的人数是参加机器人社团人数的2倍

10.  在二项式的展开式中(    )

A. 常数项是第4项 B. 所有项的系数和为1
C. 第5项的二项式系数最大 D. 第4项的系数最小

11.  盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则下列说法正确的是(    )

A. A与B相互独立 B. A与D互为对立 C. B与C互斥 D. B与D相互独立

12.  已知数列的前n项和为，且或的概率均为…，，设能被3整除的概率为，则(    )

A.  B.
C.  D. 当时，

13.  有一组样本数据，，，，该样本的平均数和方差均为在该组数据中加入1个数m，得到新的样本数据，则新样本数据的方差为__________.

14.  两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是合格品的概率为______.

15.  将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出，令，记是的前n项和，则______ .
 

16.  在三棱锥中，若三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______ .

17.  从某酒店开车到机场有两条路线，为了解这两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间单位：，数据如表所示：

将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和，经计算可得
求；
假设路线一的全程时间X服从正态分布，路线二的全程时间Y服从正态分布，分别用作为的估计值.现有甲、乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，为尽可能满足客人的要求，司机送甲、乙去机场应该分别选哪条路线？

18.  记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
求A；
若D为线段BC延长线上的一点，且，，求

19.  某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．
在试产初期，该款芯片的批次M生产前三道工序的次品率分别为，，
①求批次M芯片的次品率；
②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验．已知批次M的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率；
该企业改进生产工艺后生产了批次N的芯片．某手机生产厂商获得批次M与批次N的芯片，并在某款新型手机上使用．现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，安装批次M有40部，其中对开机速度满意的有30人；安装批次N有60部，其中对开机速度满意的有58人．依据的独立性检验，能否认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关？
附：

20.  某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值其中：，得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：
 

根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的分位数；
从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在的零件的件数为，求的分布列和数学期望；
该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.

21.  如图，直三棱柱中，侧面为正方形，，D，E，F分别为AC，BC，的中点，，G为线段DE上一动点.
证明：；
求平面与平面夹角的余弦值的最大值.

22.  汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：

统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
为了解购车车主的性别与购车种类分为新能源汽车与传统燃油汽油车的情况，该企业随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．
①若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人；
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p，若将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为，求当w为何值时，最大．
附：为回归方程，

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：根据分层抽样的定义可得此样本中女生人数为人．
故选：
根据分层抽样的定义建立比例关系即可．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．
 

2.【答案】A 

【解析】解：因为，所以
令，解得或，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：
化简z，求出，由求得a的取值范围，由充分必要条件的定义即可得解．
本题主要考查充分必要条件的判断，复数的运算，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：由题意得，
由题意可知，，则
又经验回归方程为，
，，即
故选：
由，得，结合，即可求解．
本题考查线性回归方程的运用，是中档题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：已知向量为单位向量，
则，
又，
解得，
又，
，
，
故选：
先阅读题意，然后结合平面向量数量积的运算及平面向量的模的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：可看作5个相乘，展开式中可由2种情况获得：
①在这5个因式中，取2个式子提供，3个式子提供，则可得到；
②在这5个因式中，取1个式子提供，4个式子提供，则可得到，
所以的展开式中的系数为
故选：
利用二项式定理，分类讨论即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：按从左到右数，当第一个是白色时，数到第一个格子时，黑色的格子数为0，白色的格子数为1，不满足黑色格子不少于白色格⼦，同理数到其余格子时也一样，所以不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格⼦的染色方案的树状图如下：

满足题意的染色方法种数为
故选：
根据题意画出树状图即可得解．
本题考查利用树状图列举事件是情况，属基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查古典概型及其计算，以及排列组合问题，属于中档题．
先利用均匀分组和不均匀分组求出6名同学选3种课程的所有可能，再求出恰好有2名同学选传统体育的所有可能，再结合古典概型公式求解．

【解答】

解：6名同学分别选修一门课程，每门课程至少有一位同学选修，
共有 种，
恰有2名同学选修传统体育的情况：种，
则恰有2名同学选修传统体育的概率为
故选

8.【答案】C 

【解析】解：由题意知，，，由，得，，，
设，则，
当时，，单调递增，因，
当且仅当时取等号，故，
又，所以，故，
，则，即有，故
故选：
通过形式构造函数，通过的性质判断大小关系．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数的大小的比较，考查函数思想与逻辑推理能力，属于中档题．
 

9.【答案】AC 

【解析】解：A选项，由题意可得，参加演讲社团的人数为50人，占选取的学生总人数的，所以选取的学生的总人数为人，故A正确；
B选项，合唱社团的人数为200，则合唱社团的人数占样本总量的，故B错误；
C选项，选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的，所以选取的学生中参加机器人社团的人数为人，故C正确；
D选项，选取的学生中参加合唱社团的人数为200人，参加机器人社团的人数为75人，故D错误．
故选：
根据图条形和饼形图逐项求解即可．
本题考查统计图的应用，是基础题．
 

10.【答案】BCD 

【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，
对于A，令，得，故常数项是第5项，故A错误；
对于B，令，可得所有项的系数和是，故B正确；
对于C，由可得，展开式共9项，则第5项的二项式系数最大，故C正确；
对于D，因为二项式的展开式的通项公式为，
假设第项的系数的绝对值最大，则解得又，
所以或，
当时，；当时，，所以第4项的系数最小，故D正确．
故选：
利用二项式定理以及展开式的通项，赋值法对应各个选项逐个判断即可．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
 

11.【答案】ABD 

【解析】解：盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，共个基本事件，
事件A共4个基本事件，事件B共6个基本事件，事件C共6个基本事件，事件D共8个基本事件，
A.由于，，，故成立，所以A与B相互独立，故A正确；
B.由于Ø，，故A与D是对立事件，故B正确；
C.由于Ø，故B与C不互斥，故C不正确；
D.由于，，，故成立，所以B与D相互独立，故D正确．
故选：
根据事件相互独立、互斥、对立的概念，逐一判断可得选项．
本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，难度不大，属于基础题．
 

12.【答案】BC 

【解析】

【分析】

由已知可得，利用递推关系求出，逐项分析可得答案．
本题考查等比数列的性质与概率的求法，是中档题．

【解答】

解：由题可知，被3整除的余数有3种情况，分别为0，1，2，
能被3整除的概率为，被3整除的余数分别为1，2的概率为，
，
，且，
为首项为，公比为的等比数列，
，即，
，A错误；
，B正确；
，C正确；
当，且n为偶数时，，D错误．
故选：

13.【答案】 

【解析】

【分析】

根据平均数和方差的定义计算即可．
本题考查了平均数和方差的计算问题，是基础题．

【解答】

解：样本数据，，，，该样本的平均数和方差均为m，
在该组数据中加入1个数m，则新样本数据的平均数为，
方差为
故答案为：

14.【答案】 

【解析】解：从混合产品中任取1件．取到这件产品是合格品包含以下两种情况，
①从第一批抽取，取到这件产品是合格品的概率为，
②从第二批抽取，取到这件产品是合格品的概率为，
则取到这件产品是合格品的概率为，
故答案为：
先分为两种情况，再利用全概率公式求解．
本题考查全概率公式的应用，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意，由，
可得，
当时，则有，
，



，







故答案为：
本题由题干已知条件可得，再将代入可得，进一步推导可得，然后代入的表达式并运用裂项相消法进行化简整理可得，最后在求和时运用分组求和法和裂项相消法即可推导出的表达式．
本题主要考查数列与组合的综合问题．考查了整体思想，转化与化归思想，分组求和法，裂项相消法，组合的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由三棱锥中，；
可得，所以，且，所以
在中，由余弦定理得，
所以，
所以又，PA，平面PAC，所以平面PAC，
故可将三棱锥补为直三棱柱，
如图所示，

则直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球．
设外接圆圆心为，的外接圆圆心为，
则直三棱柱的外接球球心为的中点O，连接OA，则OA即为外接球的半径．
在中，根据正弦定理可得，
所以，所以，
所以该外接球的表面积为
故答案为：
根据已知推得平面PAC，可将三棱锥补为直三棱柱，转化为求直三棱柱的外接球半径即可求解结论．
本题考查球的表面积，考查转化的思想和计算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为，
所以，；
由知，，
由知，，
因为，且，
所以，
因为，，，
所以，
所以送甲去机场应该选择路线一，送乙去机场应该选择路线二． 

【解析】根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解．
根据已知条件，结合正态曲线的对称性，即可求解．
本题主要考查正态曲线的对称性，以及平均数和方差公式，属于中档题．
 

18.【答案】解：由已知得，
由正弦定理，得，
则，
即，
所以舍去或，
故，
所以
设，
在中，
由正弦定理，得①，
在中，
由正弦定理，得②，
所以，
所以，解得，
又，
所以，即 

【解析】由已知利用三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，两角差的正弦公式可得，可得，利用三角形内角和定理即可求解A的值．
设，在，中，由正弦定理，得，利用三角函数恒等变换的应用可求的值，进而可求的值．
本题考查了三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

19.【答案】解：①批次M芯片的次品率为
②设批次M的芯片智能自功检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
则，
所以工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，
零假设为：芯片批次与用户对开机速度满意度无关联，
列联表如下：单位：人

，
依据的独立性检验，我们推断此推断不成立，
认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于 

【解析】①根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，以及对立事件概率和为1，即可求解．
②根据已知条件，求出，，再结合条件概率公式，即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由频率分布直方图可知，质量指标值在250以下的产品所占比例为，
在300以下的产品所占比例为，
所以分位数一定位于区间内，
所以，
即估计该产品的质量指标值的分位数为；
由频率分布直方图可知，样本的B级零件个数为个，
质量指标值在的零件为5个，
所以的所有可能取值为0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列为：

故的期望；
设每箱零件中A级零件有X个，每箱零件的利润为Y元，则B级零件有个，
则，
由频率分布直方图可知，每箱零件中B级零件的概率为，
所以A级零件的概率为，
故，
所以，
所以元
即每箱零件的利润是4750元． 

【解析】根据百分位数在频率分布直方图表示的意义计算即可；
先计算出零件为B级的个数，然后求出相应概率，得到分布列，计算出数学期望；
设每箱零件中A级零件有X个，每箱零件的利润为Y元，运用期望知识求解利润．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列与期望，同时考查了学生的运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：证明：在直三棱柱中，侧面为正方形，
，，又，，
平面，又，
平面，又平面，
，
，BC，BB所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建系如图，
则，，，，，，
，
设，则，，
，
，
，即；
由可知：，
设平面的法向量为，
则，即，取，
设平面的法向量为，
则，即，取，
设平面与平面的夹角为，
则，
令，则，
，
又函数在上单调递增，时，取最小值，
即，时，取得最大值为，
故平面与平面夹角的余弦值的最大值为 

【解析】根据线面垂直的判定定理先证明，再建系，根据向量法即可证明；
建系，根据向量法，引入变量，构建函数模型，通过函数思想即可求解．
本题考查线线垂直的证明，线面垂直的判定定理与性质，向量法求解面面角问题，函数思想，属难题．
 

22.【答案】解：由题意得，，
，则，
关于x的线性回归方程为，
则当时，即，解得，
故x的最小整数值为12，年份，
故该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆；
①由题意得该地区200位购车车主中女性有名，则其中购置新能源汽车的女性车主有名，
购置新能源汽车的车主中，女性车主所占比例为，
由得当，即时，万辆，
该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数为万人；
②由题意得，其中，则，
则，
则，
由得或，由得，由得，
在上单调递减，在单调递增，
当，即，此时时，取得极大值也是最大值，，
故当为30名时，最大为 

【解析】由题意得，，利用公式，即可得出答案；
①求出购置新能源汽车的车主中，女性车主所占比例为，由得该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆，即可得出答案；
②由题意得，其中，则，则，利用导数研究的单调性，即可得出答案．
本题考查线性回归方程和用样本数据估计总体，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．