2023年吉林省通化市梅河口五中高考数学三模试卷（含答案解析）

2023年吉林省通化市梅河口五中高考数学三模试卷

1.  若集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为，则圆台的高为(    )

A.  B.  C. 4 D.

4.  下列区间中，函数单调递减的区间是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线的距离为d，则的最小值为(    )

A. 7 B.  C. 8 D.

6.  已知角的终边过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若过点可作曲线的两条切线，则点可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色.采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“两次取出相同颜色的球”，则(    )

A. 甲与乙相互独立 B. 甲与丙相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立

9.  下列关于成对数据的统计说法正确的有(    )

A. 若当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关
B. 样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度
C. 通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据
D. 决定系数越大，模型的拟合效果越差

10.  在中，，点D在边BC上，且，，则下列结论中正确的有(    )

A.  B. 当，
C. 当AD平分时， D. 存在点D使得是等腰三角形

11.  已知，，点P满足，则(    )

A. 点P在以AB为直径的圆上 B. 面积的最大值为
C. 存在点P使得 D. 的最小值为

12.  棱长为4的正方体的中心为O，球O的半径为1，点P在球O球面上，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则(    )

A. 存在点P使得 B. 不存在点P使得
C. 存在点P使得 D.

13.  已知函数是奇函数，则______ .

14.  已知抛物线C：的焦点为F，斜率为1的直线l过F与C交于A，B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则______ .

15.  点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为______ .

16.  分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是边长为1的等边三角形，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”…依此进行“n次分形”规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于30的分形图，则n的最小整数值是______ 取，
 

17.  已知数列满足，数列满足
求数列的通项公式；
求数列的前n项和

18.  如图，在正六棱锥中，，表面积为
证明：平面平面PFC；
求二面角的余弦值.

19.  近年来，凭借主旋律电影的出色表现，我国逐渐成为全球电影票房最高的市场年十一期间热映的某主旋律电影票房超过16亿元.某研究性学习小组就是否看过该电影对影迷进行随机抽样调查，调查数据如下表：单位：人

是否有的把握认为选择看该电影与年龄有关？
将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人，记其中看过该电影的人数为，求随机变量的数学期望及方差.
附：，其中

20.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足
求B；
若，点D在边AC上，且，，求

21.  已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆E上，C关于y轴的对称点为，且
求椭圆E的方程；
直线AB过点横坐标小于与椭圆E交于A，B两点，直线AC交直线于点M，证明：直线MF平分

22.  已知函数
当时，求曲线在点处的切线方程；
若函数有两个零点，，证明：

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：集合或，
，
则
故选：
求出集合A，B，利用交集定义能求出
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：，
则，

故选：
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，所以，解得，
因为其侧面展开图所在扇形的圆心角为，所以，解得，
所以，
所以圆台的高为
故选：
根据圆台的母线长和上、下底面圆半径的比求出截圆锥所得圆台时圆锥的母线长，根据其侧面展开图所在扇形的圆心角求出底面圆的半径，由此求出圆台的高．
本题考查了扇形的圆心角弧度数与圆台的结构特征应用问题，是基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：函数，
令，，求得，
可得函数的单调递减的区间是，
当时，函数的单调递减的区间是，
由于选项C中的区间恰是的一个子集．
故选：
由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：根据双曲线的第二定义，，
又根据双曲线的第一定义得，
所以，
所以当点M在双曲线的右支顶点时达到最小值，
由双曲线方程得，
所以
故选：
用双曲线第二定义与第一定义进行转化，即可求得最小值．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：因为角的终边过点，
所以，，，，
则
故选：
由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦函数公式即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：由，得，
设切点坐标为，则过切点的切线方程为，
把点代入，可得，
整理得：，
过点可作曲线的两条切线，则方程有两不等实数根，
，即
分别把，，，代入验证，可得只有满足．
故点可以是
故选：
设切点坐标为，利用导数求出过切点的切线方程，把点代入，整理为关于t的一元二次方程，再由判别式大于0可得关于a，b的关系，然后逐一验证得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：依题意，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回取球两次的试验的基本事件总数是，
显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的球颜色相同含有的基本事件数为，
事件丙的概率，事件丁的概率，
对于A，事件甲与乙同时发生所含的基本事件数为6，其概率，甲与乙相互独立，A正确；
对于B，事件甲与丙同时发生所含的基本事件数为9，其概率，甲与丙不独立，B错误；
对于C，事件乙与丙同时发生所含的基本事件数为8，其概率，乙与丙不独立，C错误；
对于D，事件乙与丁同时发生所含的基本事件数为4，其概率，乙与丁不独立，D错误．
故选：
根据给定条件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答．
本题考查相互独立事件的判断，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用，是基础题．
 

9.【答案】ABC 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由变量相关的定义，可得A正确；
对于B，样本相关系数r的绝对值越大，样本数据之间线性相关的程度越高，则样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，B正确；
对于C，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据，C正确；
对于D，系数越大，模型的拟合效果越好，D错误．
故选：
根据题意，由变量间相关关系的定义依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查变量间的相关关系，涉及回归分析的基本概念，属于基础题．
 

10.【答案】BCD 

【解析】解：由题意，
对于A，，
所以，故A错误；
对于B，由A可知，，即，
在，由余弦定理，可得，
所以，
即，故B正确；
对于C，因为AD平分，所以，
即，即，
因为，
所以，
由B可知，，又，
所以，
在中，由余弦定理可得，，
即，解得，
即，故C正确；
对于D，若，则是等腰三角形，
设，则，
在中，由余弦定理可得，，
即，解得，
故存在点D，且时，使得是等腰三角形，故D正确．
故选：
由题意，可得
对于A，结合平面向量的基本定理即可求解；
对于B，结合A可知，结合余弦定理可得，根据平面向量的数量积定义即可求解；
对于C，由AD平分，可得，进而得到，，结合等腰三角形可得，再根据余弦定理即可求解；
对于D，设，则，结合余弦定理可得，进而即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题．
 

11.【答案】BCD 

【解析】解：设，则，，
，，
化简得，
点P的轨迹方程是，
对于A，以AB为直径的圆的圆心为，半径为，故A错误；
对于B，依题意可得直线AB的方程为，即，
圆P的圆心在直线AB的方程上，
点P到直线AB的距离为圆P的半径时，的面积最大，
面积的最大值为，故B正确；

对于C，由，在直角三角形中，角对应的直角边是斜边的一半，
又，则点A在圆P内，
存在点P使得，此时，故C正确；

对于D，设，则，
由余弦定理有，
，
当，即时，有，故D正确．

故选：
设，根据题意能求出点P的轨迹方程为，再求出以AB为直径的圆的圆心和半径，能判断A；根据题意求出直线AB的方程，再验证圆P的圆心在直线AB的方程上，从而得到点P到直线AB的距离为圆P的半径时，的面积最大，进而求解即可判断B；根据，结合在直角三角形中，角对应的直角边是斜边的一半，从而即可判断C；设，则，再结合余弦定理可得，从而能判断
本题考查点的轨迹方程、圆、直线与圆的位置关系、余弦定理、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

12.【答案】AD 

【解析】解：如下图，四棱锥和四棱锥的底面积相等，
均等于16，取正方体的中截面EFGH，点P到平面和平面的距离不受P点前后平移的影响，
故可等价认为P点在中截面截球的大圆及其内部运动，

建立平面直角坐标系如图，可设，，

则易知P到平面的距离，P到平面的距离，
当时，，故A正确；
令，则，即，化简得，易知此方程一定有解，故B错误；
令，则，即，化简得，其中，易知，所以此方程无解，故C错误；
又因为，而，则，故D正确．
故选：
由于四棱锥和四棱锥的底面积相等，对于A，B，C只需分析两棱锥的高之间的关系即可，对于D需要分析两棱锥高之和的最大值，详见解答．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】0 

【解析】解：函数是奇函数，则，
则有，则有，解得，
经验证，当时，为奇函数，
故
故答案为：
由于是奇函数，则，可求得
本题考查函数奇偶性，属于基础题．
 

14.【答案】4 

【解析】解：根据题意可得直线l的方程为，
联立，可得，
设，，
则，
又根据题意可得，

故答案为：
联立直线l与抛物线的方程，设而不求，根据题意建立方程，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，方程思想，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，得，
由，得，此时，
点到直线的距离；
由，得，此时，
点到直线的距离
，
的最小值为
故答案为：
求出的导函数，分别由导函数值等于和3求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求距离，比较大小后得结论．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】9 

【解析】解：由题意得“n次分形”图的长度是“次分形”图的长度的，
“一次分形”图的长度为，
每次分形图的长度是首项为4，公比为的等比数列，
次分形图的长度为，
，即，
两边取对数得：，，
，解得
的最小整数值为
故答案为：
根据题意得到每次分形图的长度是首项为4，公比为的等比数列，求出n次分形图的长度为，列出不等式，结合，能求出n的最小整数值．
本题考查简单的归纳推理，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：由题意知，，，，，，…，，，
从而…
…


由，
所以 

【解析】根据递推式可得，，，，，…，，，由…即可得解；
利用裂项求和法即可得解．
本题考查了数列的递推式以及数列求和问题，考查运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：在正六棱锥中，，表面积为
设O为正六边形的中心，M为BC的中点，
由正六边形可知，，，，
所以平面PFC，又因为平面PAE，
所以平面平面PFC；
解：设，连接OB，OM，PM，
由，有，，
所以，解得，
以O为坐标原点，OM，OD，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

有，，，，
故，
从而平面PAD的一个法向量，
设平面PBD的一个法向量为，由，，可得
令，有，，，
由图知二面角为锐角，
从而二面角的余弦值为 

【解析】通过证明平面PFC，得到平面平面PFC；
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面PAD与平面PBD的法向量，用空间向量求夹角．
本题考查了面面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．
 

19.【答案】解：根据表中数据，得，
所以没有的把握认为选择看该电影与年龄有关．
由题意知，看过该电影的频率为，
将频率视为概率，则，
所以， 

【解析】结合表中数据与参考公式，计算的值，并与附表中的数据对比，即可作出判断；
将频率视为概率，可知看过该电影的概率为，而，再由二项分布的数学期望与方差公式，即可得解．
本题考查独立性检验，离散型随机变量的数学期望与方差，熟练掌握二项分布是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：根据题干条件，整理化简可得，
进一步整理得到，
即，
因为，
所以，
所以可以解得
在和中，由余弦定理可得到，
①，
，整了到②，
联立①②，可以解得， 

【解析】利用两角和差的余弦公式结合正弦定理边化角化简可得，即可求得答案；
在和中，分别利用余弦定理可得关于a，b的方程，解方程组可得答案．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
 

21.【答案】解：取椭圆的左焦点，因为C，关于y轴对称，F，关于y轴对称，可得，
由题意可知，解得；
点在椭圆上，则，解得，
所以椭圆E的标准方程为；
 证明：由题意可知直线AB的斜率不为0，由可得右焦点，
设AB：，不妨设，，
联立直线AB与椭圆E的方程有，
可得，，
由，令可得，即，
整理得，从而有，
根据倾斜角间关系，
由于，故上式，
所以，
即可证得直线MF平分 

【解析】由椭圆的对称性及题意可知2a的值，即求出a的值，再过C点，可得b的值，进而求出椭圆的方程；
设直线AB的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线AC的方程，令，可得M的坐标，求出直线MF的斜率，由倾斜角的关系，求出，的正切值之差的表达式，化简整理可得正切值之差为0，可证得MF平分
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：已知函数，
当时，，
所以，
又，，
所以切点为，切线的斜率为，
则曲线在点处的切线方程为；
证明：已知函数，
变形整理得，令，
则有两个零点等同于有两个零点，，
设，，
当时，，单调递增，没有两个零点；
当时，令，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
令，有，，，
，函数，，
所以，
故在区间上函数有两个零点，
由，，，
要证，只需证，只需证，
由，，
令，，，
所以单调递减，，所以，
故， 

【解析】由题意得到，，代入点斜式方程即可求解；
，令，设，，当时，，单调递增，没有两个零点；当时，在上单调递减，在上单调递增，令，利用分析法即可得证．
本题考查了导数的综合应用，属于中档题．