2023年山西省高考考前适应性测试数学（一模）（含答案解析）

这是一份2023年山西省高考考前适应性测试数学（一模）（含答案解析），共19页。试卷主要包含了 2222除以5的余数是， 下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

A. {−2,−1}B. {−2,−1,0,1,2}
C. {x|−2≤x≤2,x≥3}D. {x|−2≤x≤−1}
2. 若复数z满足z+z=2，|1z|= 22，则z=( )
A. 1+iB. 1+ 3iC. 1±iD. 1± 3i
3. 设向量a，b的夹角为60∘，且|a|=2，|b|=4，则|a−b|=( )
A. 2B. 2 3C. 4D. 3 2
4. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)=1,x∈Q,0,x∈∁RQ,它在现代数学的发展过程中有着重要意义.若函数f(x)=x2−D(x)，则下列实数不属于函数f(x)值域的是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
5. 2222除以5的余数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
6. 已知函数f(x)= 3sinωx−csωx(ω>0)，集合{x∈(0,π)|f(x)=1}中恰有3个元素，则实数ω的取值范围是( )
A. (32,3]B. [32,3]C. [73,3]D. (73,3]
7. 一圆锥的高为4，该圆锥体积与其内切球体积之比为2:1，则其内切球的半径是( )
A. 3B. 2C. 1D. 22
8. 已知函数f(x)=lnx，g(x)=xa(x>0,a≠0)，若存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线，则实数a的取值范围是( )
A. (1,+∞)B. [1e,+∞)C. [1e,1)∪(1,+∞)D. (0,1e]∪(1,+∞)
9. 下列结论正确的是( )
A. f(x)=esinx+esinx是偶函数
B. 设x，y∈R，则“x≥1，且y≥1”是“x2+y2≥2"的必要不充分条件
C. 若命题“∃x∈R，x2+2ax+1<0"是假命题，则−1≤a≤1
D. ∃ab>0，1a−1b=1b−a
10. 树人中学2006班某科研小组，持续跟踪调查了他们班全体同学一学期中16周锻炼身体的时长，经过整理得到男生、女生各周锻炼身体的平均时长(单位：h)的数据如下：
男生：6.3，7.4，7.6，8.1，8.2，8.2，8.5，8.6，8.6，8.6，8.6，9.0，9.2，9.3，9.8，10.1
女生：5.1，5.6，6.0，6.3，6.5，6.8，7.2，7.3，7.5，7.7，8.1，8.2，8.4，8.6，9.2，9.4
以下判断中正确的是( )
A. 男生每周锻炼身体的平均时长的80%分位数是9.2
B. 女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于8
C. 男生每周锻炼身体的平均时长大于9h的概率的估计值为0.3125
D. 与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大
11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，1 Sn− Sn= an，下列结论正确的是( )
A. Sn=12−Sn−1(n≥2)B. 1Sn−1为等差数列
C. an=nn+1D. S12S32⋯S2n−12≥14n
12. 如图，双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且斜率为 3的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且AF2=7F2B，则( )
A. 双曲线C的离心率为73
B. △AF1F2与△BF1F2面积之比为7:1
C. △AF1F2与△BF1F2周长之比为7:2
D. △AF1F2与△BF1F2内切圆半径之比为3:1
13. 一个袋子里装有4个红球3个白球3个蓝球，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.则第一次摸到红球的概率是__________，第一次没有摸到红球且第二次摸到红球的概率是__________.
14. P(x,y)为圆C:(x−2)2+(y−1)2=5上任意一点，且点P到直线l1:2x−y+4=0和l2:2x−y+m=0的距离之和与点P的位置无关，则m的取值范围是__________.
15. 如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，BC=2AA1=2，AB=AC= 3，P为线段A1B上的一个动点，则PA+PC的最小值是__________.
16. 已知函数f(x)，g(x)定义域均为R，且f(x+1)=−12f(x)+ 32g(x)，g(x+1)=−12g(x)− 32f(x)，f(x)=f(5−x)，g(365)=− 3，则k=12023f(k)=__________.
17. 已知数列{an}是正项等比数列，且a4−a1=7，a2a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列{bn}的前n项和Sn.
①bn=(2n−1)an;
②bn=1(2n+1)lg2a2n
18. 如图，四边形ABCD中，AB=2AD=4，BD=BC，∠DBC=π2，∠DAB=θ，sinθ+csθ= 74.
(1)求△ABD的面积;
(2)求线段AC的长度.
19. 某农科所对冬季大棚内的昼夜温差与某反季节大豆新品种发芽率之间的关系进行分析研究，记录了2023年1月1日至1月12日大棚内的昼夜温差与每天每100颗种子的发芽数，得到如下资料：
已知发芽数y与温差x之间线性相关.该农科所确定的研究方案是：先从这12组数据中选取2组，用剩下的10组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是相邻2天的数据的概率;
(2)若选取的是1日与6日的两组数据，试根据除这两日之外的其他数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a(精确到1);
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2颗，则认为求得的线性回归方程是可靠的，试问：(2)中所得的线性回归方程是否可靠.
参考公式：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b∧ =i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx
20. 如图①，在矩形ABCD中，AD=2AB=2 2，E为AD的中点.如图②，沿BE将△ABE折起，点P在线段AD上.
(1)若AP=2PD，求证：AB//平面PEC;
(2)若平面ABE⊥平面BCDE，是否存在点P，使得平面AEC与平面PEC的夹角为90∘?若存在，求此时三棱锥C−APE的体积;若不存在，说明理由.
21. 已知函数f(x)=−(lnx)22+x+lnx−1，g(x)=(x−1)ex−ax22+a2，a<1.
(1)判断f(x)的单调性;
(2)若g(x)有唯一零点，求a的取值范围.
22. 已知椭圆C:x24+y2b2=1(0(1)若|AM|≥1，求b的取值范围;
(2)若b=1，记直线EM，EN，EP的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在k1，k2，k3的某种排列ki1，ki2，ki3(其中{i1,i2,i3}={1,2,3})，使得ki1，ki2，ki3成等差数列或等比数列?若存在，写出结论，并加以证明;若不存在，说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查集合交集的运算，为基础题.
【解答】
解：化简得A={x|x≥3，或x≤−1}，B=(−2,−1,0,1,2},
∴A∩B=−2,−1.

2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考察复数的模和共轭复数，属于基础题.
【解答】
解：令z=a+bi，a，b∈R.
∵z+z=2，∴a=1，z=1+bi，∵|1z|= 22，∴|z|= 2，∴1+b2=2，
解得b=±1，∴z=1±i.

3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查求向量的模，属于基础题.
【解答】
解：|a−b|= (a−b)2= a2+b2−2a⋅b=2 3.

4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查函数的值域，涉及新定义，注意理解题意，为基础题.
【解答】
解：由题可知f(x)=x2−1,x∈Q,x2,x∈∁RQ.所以f(1)=0，f( 2)=2，f( 3)=3，而f(x)=1无解.

5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考察与二项式定理有关的问题，属于中档题.
【解答】
解：法1:2222=(20+2)22=C220×2022+C221×2021×2+C222×2020×22+⋯+C2221×20×221+C2222222.
对于222，当n=1，2，3，4，5，⋯时，2n=2，4，8，16，32，⋯，其个位数以4为周期变化.22÷4=5⋯⋯2，所以222的个位数为4，故所求余数为4.
法2:直接观察22n(n∈N*)的个位数随n变化的规律求解.
法3:2222=(485−1)11=C110×48511+C111×48510×(−1)+C112×4859×(−1)2+⋯+C1110×4851×(−1)10+C1111(−1)11，
可知2222除以5的余数，即为C1111(−1)11=−1除以5的余数，故所求余数为4.

6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查已知三角复合函数的零点求参数取值范围，属于中档题.
【解答】
解：f(x)= 3sinωx−csωx=2sin(ωx−π6)，
由f(x)=1，得sin(ωx−π6)=12.
∵x∈(0,π)，∴ωx−π6∈(−π6,ωπ−π6).
令ωx−π6=t，则sint=12在区间(−π6,ωπ−π6)有三个根，
∴2π+π6<ωπ−π6≤3π−π6，∴73<ω≤3.

7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查圆锥的内切球的问题，为中档题.
【解答】
解：设圆锥体积为V1，底面半径为R，其内切球体积为V2，半径为r，由题可得
v1V2=13πR2h43πr3=21，整理得：R2=2r.①，如图，
由△POD∽△PBC可得ODBC=POPB，即rR=4−r 16+R2，
两边平方得：r2R2=(4−r)216+R2②
将①代入②化简整理得r2−2r+1=0，
∴r=1.

8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考察公切线问题，属于较难题.
【解答】
解：设直线l为曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线f′(x)=1x，
∴l:y−lnx1=1x1(x−x1)，即ll:y=1x1x+lnx1−1;
设直线l为曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线，g′(x)=axa−1(x>0)，
∴l:y−x2a=ax2a−1(x−x2)，即l:y=ax2a−1x+(1−a)x2a.
由题知{1x1=ax2a−1①ln⁡x1−1=(1−a)x2a②
注意到x1>0，x2>0，必有a>0.
由①式得lnx1=−lna−(a−1)lnx2，
代入②式得−lna−(a−1)lnx2−1=(1−a)x2a，显然a≠1，整理得lnx2−x2a=1+lna1−a.
记h(x)=lnx−xa(a>0且a≠1)，则h′(x)=1x−axa−1=1−axax，
当x∈(0,(1a)1a)时，h′(x)>0;当x∈((1a)1a,+∞)，时，h′(x)<0，
∴h(x)在(0,(1a)1a)上单调递增，在((1a)1a,+∞)上单调递减，
∴h(x)max=h((1a)1a)=−1+lnaa，
∴h(x2)≤h(x)max，即1+lna1−a≤−1+lnaa，
化简得1+lnaa(1−a)≤0，解得a∈(0,1e]∪(1,+∞).

9.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查函数奇偶性的判断、存在量词命题，属于中档题.
【解答】
解：对于A，函数f(x)定义域为R，且f(−x)=esin−x+esin−x=esinx+esinx=f(x)，所以f(x)是偶函数，即A正确;
对于B，当x≥1，且y≥1时，x2≥1，且y2≥1，所以x2+y2≥2;反之x2+y2≥2不一定有x≥1，
且y≥1，比如x=−1且y=−1.因此“x≥1，且y≥1”是“x2+y2≥2”的充分不必要条件，所以B错误;
对于C，“∃x∈R，x2+2ax+1<0”是假命题，则“∀x∈R，x2+2ax+1≥0”是真命题，所以△=4a2−4≤0，解得−1≤a≤1，所以C正确;
对于D，由1a−1b=1b−a可得ba+ab=3，当ab>0时，ba+ab≥2，所以D正确.

10.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查统计数据的有关理解，考查百分位数、平均数的求解，为中档题.
【解答】
解：对于选项A，16×80%=12.8，所以男生每周锻炼身体的平均时长的80%分位数是为第13项数据，即9.2，选项A正确;
对于选项B，(5×2+6×4+7×4+8×4+9×2+0.1×2+0.2×3+0.3×2+0.4×2+0.5×2+0.6×2+0.7+0.8)÷16=117.9÷16=7.36875，选项B错误;
对于选项C，男生每周锻炼身体的平均时长大于9h的有4周，所以概率为4÷16=0.25，选项C错误;
对于选项D，男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间(8,9)内的共8个，女生为4个;男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间(7,10)内的共14个，女生为10个;男生每周锻炼身体的平均时长的极差为3.8，女生为4.3，据此可知与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大.也可通过计算方差、标准差判断.选项D正确.

11.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题主要考察数列的通项公式的求解，考察等差数列的判定等，属于中档题.
【解答】
解：当n=1时，1 a1− a1= a1，a1=12.
当n≥2时，1 Sn− Sn= Sn−Sn−1，
平方，得1Sn+Sn−2=Sn−Sn−1，
∴1Sn=2−Sn−1，Sn=12−Sn−1(n≥2)，选项A正确;
Sn−1=12−Sn−1−1=Sn−1−12−Sn−1，
∴1Sn−1=2−Sn−1Sn−1−1=1Sn−1−1−1，1Sn−1−1Sn−1−1=−1，
∴1Sn−1是首项为1S1−1=−2，公差为−1的等差数列，选项B正确;
∴1Sn−1=−2+(n−1)×(−1)=−(n+1)，n∈N*，
∴Sn=nn+1，n∈N*，
∴an=(1 Sn− Sn)2=1n(n+1)，选项C错误;
记f(n)=4nS12S32⋯S2n−12，
则f(n+1)f(n)=n+1nS2n+12=n+1n(2n+12n+2)2=(2n+1)24n(n+1)=1+14n(n+1)>1，
∴f(n+1)>f(n)，f(n)为递增数列，
∴f(n)≥f(1)=4a12=1，即S12S32⋯S2n−12≥14n，选项D正确.

12.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查求双曲线离心率，双曲线的焦点三角形的面积、周长、内切圆半径，属于较难题.
【解答】
解：设点A(x1,y1)，点B(x2,y2)，直线l的方程为x= 33y+c，其中c2=a2+b2，
联立x= 33y+c,b2x2−a2y2=a2b2,得(b2−3a2)y2+2 3b2cy+3b4=0，
所以y1+y2=−2 3b2cb2−3a2，y1y2=3b4b2−3a2.
由AF2=7F2B，得y1=−7y2，即y1y2=−7，所以y1y2+y2y1=−507，即(y1+y2)2y1y2=−367，
即，(−2 3b2cb2−3a2)23b4b2−3a2=4c2b2−3a2=−367整理得4c2=9a2
即2c=3a，离心率e=ca=32，故A错误;
设点F，到直线l的距离为h，则S△AF1F2S△BF1F2=12⋅|AF2|⋅h12⋅|BF2|⋅h=7:1，故选项B正确;
由e=32，得b= 52a，c=32a，代入韦达定理并化简得−6y2=y1+y2=15 3a7，y2=−5 3a14
∴|BF2|= 1+( 33)2|y2|=57a，|AF2|=7|BF2|=5a，
又|AF1|=|AF2|+2a=7a，|BF1|=|BF2|+2a=197a，
所以△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+2c=7a+5a+3a=15a，
△BF1F2的周长为|BF1|+|BF2|+2c=197a+57a+3a=457a，
所以△AF1F2与△BF1F2周长之比为15a457a=7:3，故C错误;
设△AF1F2与△BF1F2内切圆半径分别为r1，r2，
S△AF1F2S△BF1F2=12⋅15a⋅r112⋅457a⋅r2=7，r1:r2=3:1，故D正确.

13.【答案】0.4
415

【解析】
【分析】
本题考查随机事件发生的概率，考查条件概率的求解，为简单题.
【解答】
解：设Hi表示“第i次摸到红球”，Bi表示“第i次摸到白球”，Li表示“第i次摸到蓝球”，i=1，2.则P(H1)=44+3+3=0.4.
第一次没有摸到红球第二次摸到红球包括：
第一次摸到白球第二次摸到红球和第一次摸到蓝球第二次摸到红球，
所以所求概率为P(H2|H1)=P(B1)P(H2|B1)+P(L1)P(H2|L1)=310×49×2=415.

14.【答案】(−∞,−8]
【解析】
【分析】
本题主要考察直线与圆的位置关系，属于基础题.
【解答】
解：由图可知当圆C位于两直线l1和l2之间时，P点到直线l1和l2的距离之和均为l1和l2
两平行直线间的距离，即点P到直线l1和l2的距离之和与点P的位置无关.
当直线l2与圆相切时，4−1+m 5= 5，
解得m=−8或m=2(舍去)，
∴m≤−8，即m的取值范围为(−∞,−8].

15.【答案】 7
【解析】
【分析】
本题考查几何体中的最短距离问题，属于中档题.
【解答】
将图1中的△AA1B和△A1BC放置于同一个平面内，如图2所示，则PA+PC≥AC.
∵直三棱柱ABC−A1B1C1中，BC=2AA1=2，AB=AC= 3，
∴在Rt△A1AB中，∠ABA1=30∘，A1B=2.
同理，在Rt△A1AC中，A1C=2，
∴∠A1BC=60∘，
∴在图2中，∠ABC=∠ABA1+∠A1BC=90∘，
∴AC2=AB2+BC2=7，
∴PA+PC的最小值是 7.

16.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查函数的周期性，为较难题.
【解答】
解：由f(x+1)=−12f(x)+ 32g(x)，得g(x)=2 33f(x+1)+ 33f(x)①，
∴g(x+1)=2 33f(x+2)+ 33f(x+1)②.
将①，②代入g(x+1)=−12g(x)− 32f(x)，并整理得：
f(x+2)=−f(x+1)−f(x)，
∴f(x+3)=−f(x+2)−f(x+1)=f(x).
∴f(x)是以3为周期的周期函数.
由①可知，g(x)也是以3为周期的周期函数，∴g(2)=g(365)=− 3.
由①得2 33f(3)+ 33f(2)=g(2)=− 3，
又∵f(x)=f(5−x)，∴f(3)=f(2)，解得f(3)=f(2)=−1，
∴f(1)=f(4)=−f(3)−f(2)=2.
注意到f(x+2)+f(x+1)+f(x)=0，2023=3×674+1，
∴k=12023f(k)=f(1)=2.

17.【答案】解：(1)设数列{an}的公比为q，则a1q3−a1=7,a12q3=8,.
解得a1=1,q=2,或a1=−8,q=12.
又∵数列{an}是正项等比数列，
∴a1=1，q=2，an=2n−1.
(2)若选①:bn=(2n−1)2n−1，
Sn=1×20+3×21+⋯+(2n−1)2n−1，
2Sn=1×21+3×22+⋯+(2n−1)2n，
∴−S=1×20+2×(21+22+⋯+2n−1)−(2n−1)2n
=1+2×2−2n−1×21−2−(2n−1)2n
=(3−2n)2n−3，
∴Sn=(2n−3)2n+3.
若选②:bn=1(2n+1)⋅lg222n−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
∴Sn=12(1−13)+12(13−15)+⋯+12(12n−1−12n+1)
=12(1−12n+1)=n2n+1.
【解析】本题考查求解等比数列的通项公式，考查错位相减法求和与裂项相消法求和，属于基础题.
(1)利用等比数列通项公式首项与公比即可；
(2)若选①:bn=(2n−1)2n−1，利用错位相减法求和即可；
若选②:bn=1(2n+1)⋅lg222n−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，利用裂项相消法求和即可.
18.【答案】解：(1)∵sinθ+csθ= 74，∴(sinθ+csθ)2=716，即2sinθcsθ=−916<0.
∵θ为△ABD的内角，所以sinθ>0，csθ<0.
又(sinθ−csθ)2=1−2sinθcsθ=2516，所以sinθ−csθ=54，
∴sinθ= 7+58.
∴△ABD的面积为：S△ABD=12AB⋅AD⋅sinθ=12×4×2× 7+58= 7+52.
(2)由(1)得csθ= 7−58，
BC2=BD2=AD2+AB2−2AB⋅AD⋅csθ
=22+42−2×4×2× 7−58=30−2 7.
设∠ABD=α，由正弦定理得：ADsinα=BDsinθ，即sinα=2sinθBD，
所以cs∠ABC=cs(π2+α)=−sinα=−2sinθBD.
△ABC中，由余弦定理得：
AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs∠ABC
=16+(30−2 7)−2×4×BD×(−2sinθBD)
=46−2 7+16sinθ
=46−2 7+16× 7+58=56，
所以AC=2 14.
【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形，三角求值，属于中档题.
19.【答案】解：(1)从12组数据中任选两组，选法数为：C122;
选取的2组数据恰好是相邻的2天，选法数为：11;
所以所求概率为P=11C122=16.
(2)设剩下的10组数据分别为(u1,v1)，(u2,v2)，⋯，(u10,v10).
i=110uivi=i=112xiyi−10×21−10×22=2965−430=2535;
u=110(i=112xi−20)=10.8，v=110(i=112yi−43)=22.7
10uv=10×10.8×22.7=2451.6;
i=110u i2=i=112xi2−2×102=1394−200=1194;
10u2=10×10.82=1166.4;
所以b=i=110uivi−10uvi=110ui2−10u2=2535−2451.61194−1166.4≈3.0.
所以a=v−bu=22.7−3.0×10.8=−9.7≈−10.
所以所求回归方程为y=3x−10.
(3)当x=10时，y=20.
因为21−20=1<2;22−20=2，
所以根据所给的研究方案，可以判断(2)中所得的线性回归方程是可靠的.
【解析】本题考查线性回归分析有关运算，为中档题.
20.【答案】解：(1)如图1，连接BD与CE交于点Q，连接PQ，由题可得DE//BC，DE=12BC，
∴DQBQ=DEBC=12.
又∵AP=2PD，∴DPPA=DQQB=12，
∴AB//PQ.
∵PQ⊂平面PEC，平面PEC，∴AB//平面PEC.
(2)法一：连接A点与BE的中点O，过点O作BE的垂线与BC交于点M，易知M为BC的中点.
由已知可得AE=AB，∴AO⊥BE.
∵平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，AO⊂平面ABE，
∴AO⊥平面BCDE.
∵OM⊂平面BCDE，∴AO⊥OM.
以O为原点建立空间直角坐标系如图2所示.
易知BE=CE=2，OA=OB=OE=OM=1.
所以A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(−1,2,0)，D(−2,1,0)，E(−1,0,0)，
所以AE=(−1,0,−1)，AC=(−1,2,−1)，AD=(−2,1,−1)，CE=(0,−2,0)，
设AP=λAD=(−2λ,λ,−λ)，则点P(−2λ,λ,1−λ)，
∴PE=(2λ−1,−λ,λ−1).
设平面AEC与平面PEC的法向量分别为m=(x1,y1,z1)，n=(x2,y2,z2)，
则m⋅AE=0,m⋅AC=0,即(x1,y1,z1)⋅(−1,0,−1)=0,(x1,y1,z1)⋅(−1,2,−1)=0,即−x1−z1=0.−x1+2y1−z1=0,
令x1=1，得y1=0，z1=−1，则m=(1,0,−1)，
由n⋅PE=0n⋅CE=0,即(x2,y2,z2)⋅(2λ−1,−λ,λ−1)=0,(x2,y2,z2)⋅(0,−2,0)=0,
即(2λ−1)x2−λy2+(λ−1)z2=0,−2y2=0,可得y2=0，
令x2=λ−1，则z2=1−2λ，
∴n=(λ−1,0,1−2λ).
由题知可令m⋅n=λ−1−1+2λ=0，
∴λ=23，
即当点P满足AP=23AD时，平面AEC与平面PEC的夹角为90∘.
此时，VC−APE=23VC−ADE=23VA−CDE=23×(13×SΔCDE×OA)=29×12× 2× 2×1=29.
法二：由(1):当AP=2PD时，PQ//AB.
∵AB⊥AE，∴AE⊥PQ.
由已知得，在矩形ABCD中，E为AD的中点，AB=AE=12AD，
∴DE=DC=12AD，∴∠AEB=∠DEC=45∘，∴∠BEC=90∘，即CE⊥BE.
又∵平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，CE⊂平面BCDE，
∴CE⊥平面ABE.
∵AE⊂平面ABE，
∴CE⊥AE.
又∵CE∩PQ=Q，CE⊂平面PEC，PQ⊂平面PEC，
∴AE⊥平面PEC.
∵AE⊂平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PEC，即当AP=2PD时，平面AEC与平面PEC的夹角为90∘.
此时，VC−APE=23VC−ADE=23VA−CDE
=23×(13×SΔCDE×OA)=29×12× 2× 2×1=29.

【解析】本题主要考察线面平行的判定，考察二面角，考察棱锥体积的求解，属于中档题.
21.【答案】解：(1)f(x)定义域为(0,+∞).f′(x)=−lnxx+1+1x=x−lnx+1x.
记h(x)=x−lnx+1，h′(x)=1−1x=x−1x，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0;当x∈(1,+∞)时，h′(x)>0，
∴h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
故h(x)≥h(1)=2>0，f′(x)>0，
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)g(x)定义域为R，g′(x)=xex−ax=x(ex−a).
①当a=0时，g(x)=(x−1)ex有唯一零点x=1，符合题意;
②当a<0时，ex−a>0，当x∈(−∞,0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
g(x)min=g(0)=a2−1，
若a<−1，则g(x)≥g(0)>0，g(x)无零点，不符题意;
若a=−1，g(x)有唯一零点x=0，符合题意;
若−10，
x<−1时，(x−1)ex>x−1>2x，a2>0，∴g(x)>2x−ax22=x2(4−ax)，∴g(4a)>0，
故g(x)有两个零点，不符题意;
③当0又g(lna)=a(lna−1)−a(lna)22+a2=af(a)x>1时，易证ex>x2，故g(x)>(x−1)x2−ax22=x2(x−1−a2)，
故g(a2+1)>0，∴g(x)有唯一零点，符合题意;
综上，a的取值范围为{−1}∪[0,1).
【解析】本题考查利用导数判断函数的单调性，利用导数研究函数的零点，属于难题.
22.【答案】解：(1)设点M(x1,y1)，其中x124+y12b2=1，−2≤x1≤2，且x1≠1，则
|AM|= (x1−1)2+y12
= (x1−1)2+b2(1−x24)
= (1−b24)x12−2x1+b2+1，
由|AM|≥1，得(1−b24)x 12−2x1+b2=(x1−2)[(1−b24)x1−b22]≥0.
∵x1≤2，00.∴(1−b24)x1−b22≤0，x1≤2b24−b2.
只需2≤2b24−b2.又∵0∴b的取值范围是[ 2,2).
(2)k1，k3，k2或k2，k3，k1成等差数列.证明如下：
若b=1，则C:x24+y2=1.设点E(1,t)，t≠0.
①若直线l斜率为0，则点P(4,0)，不妨令点M(2,0)，N(−2,0)，则k1=−t，k2=t3，k3=−t3，此时k1，k2，k3的任意排列ki1，ki2，ki3，均不成等比数列，k1，k3，k2或k2，k3，k1成等差数列.
②若直线l斜率不为0，设直线l:x=my+1(m≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，易知点P(4,3m)
由x=my+1,x24+y2=1,得(m2+4)y2+2my−3=0，
∴y1+y2=−2mm2+4，y1y2=−3m2+4.
因为k1=y1−tx1−1，k2=y2−tx2−1，k3=3m−t3=3−mt3m，
所以k1+k2=y1−tx1−1+y2−tx2−1=y1−tmy1+y2−tmy2
=y2(y1−t)+y1(y2−t)my1y2=2y1y2−t(y1+y2)my1y2
=−6m2+4+2mtm2+4−3mm2+4=6−2mt3m=2k3，
∴k1，k3，k2或k2，k3，k1成等差数列.
综上，k1，k3，k2或k2，k3，k1成等差数列.
【解析】本题考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查等差数列的性质，为难题.