2023年中考数学高频压轴题训练——一次函数与三角形综合附答案

这是一份2023年中考数学高频压轴题训练——一次函数与三角形综合附答案，共66页。试卷主要包含了问题解决，【活动回顾】等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学高频压轴题训练——一次函数与三角形综合附答案
1．如图，抛物线y=a+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(，0)和点B，与y轴交于点C(0，8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求△BCP的面积最大值；
(3)点M是抛物线的对称轴l上一动点．
①是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②请在平面内找到一点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形，并直接写出N点的坐标．






2．如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（-6，8），矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与0A、x轴分别交于点D、F．

(1)求证：△BOF是等腰三角形；
(2)求直线BD的解析式；
(3)若点P是平面内任意一点，点M是线段BD上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N在点M的运动过程中是否存在以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由






3．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．

(1)求点A、的坐标；
(2)在轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若直线交y轴负半轴于点，点在直线上，且，求点、D的坐标．


4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．

(1)求直线BC的解析式；
(2)点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
(3)直线AC上有一个点P，过P作x轴的垂线交直线BC于点Q，当PQ=OB时，求点P坐标．
(4)在x轴上找一点M，使△MAC是等腰三角形，求点M的坐标（直接写结果）．






5．如图，直线y＝﹣x+4交x轴，y轴分别为A、B，点P为x轴上的一个动点，过点P作PG⊥直线AB于点G．

(1)求出点A、B的坐标，以及线段AB长．
(2)当点G与点B重合时，求△PAG的面积．
(3)连OG，当△POG为等腰三角形时，求点P的坐标．






6．（1）问题解决：
①如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，点A、B的坐标分别为A　 　、B　 　．
②求①中点C的坐标．
小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点C向x轴作垂线交x轴于点D．请你借助小明的思路，求出点C的坐标；
（2）类比探究
数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题，如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标（0，﹣3），点B坐标（4，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图像上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．




7．【活动回顾】：
七年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．
     
【解决问题】：
(1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______．
(2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______．
【拓展延伸】：
(3)如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点．
①求点，的坐标；
②结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______．
③若轴上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．


8．如图，正比例函数y＝x与一次函数y＝ax＋7的图像相交于点P（4，n），过点A（t，0）作x轴的垂线l，且0＜t＜4，交一次函数的图像于点B，交正比例函数的图像于点C，连接OB．

(1)求a值；
(2)设△OBP的面积为s，求s与t之间的函数关系式；
(3)当t=2时，在正比例函数y＝x与一次函数y＝ax＋7的图像上分别有一动点M、N，是否存在点M、N，使△CMN是等腰直角三角形，且∠CNM=90º，若存在，请直接写出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．








9．如图1，在平面直角坐标系中，△ABO为直角三角形，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝3，点C为OB上一动点．

(1)点A的坐标为 ；
(2)连接AC，并延长交y轴于点D，若△OAD的面积恰好被x轴分成1∶2两部分，求点C的坐标；
(3)如图2，若∠OAC＝30°，将△OAB绕点O顺时针旋转，得到△OA'B'，如图2所示，OA'所在直线交直线AC于点P，当△OAP为直角三角形时，直接写出点的坐标．









10．
(1)问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，点A、B、C的坐标分别为______、______、______ ．
(2)综合运用：①如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图像上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
②如图 2，在⑵的条件中，若 M 为 x 轴上一动点，连接 AM，把 AM 绕 M 点逆时针旋转90°至线段 NM，ON+AN 的最小值是______．


11．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝x交于点A（2，a），与y轴交于点B（0，6），与x轴交于点C．

(1)求直线l1的函数表达式；
(2)在平面直角坐标系中有一点P（5，m），使得S△AOP＝S△AOC，求出点P的坐标；
(3)点M为直线l1上的动点，且点M不在坐标轴上，过点M作y轴的平行线，交l2于点N，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点M的坐标．





12．如图1，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)，且a、b（其中）是方程的两个根．

(1)求直线的解析式；
(2)若点为直线在第一象限上一点，当以为直角边ABM是等腰直角三角形时，求m的值；
(3)如图3，过点的直线交y轴负半轴于点，点的横坐标为，过点的直线交于点，给出两个结论：①的值是不变；②的值是不变，只有一个结论是正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．







13．如图，已知点，点，点，直线l为，且直线直线AC，垂足为点D，抛物线为经过点A、B、D三点．

(1)求a、b、c的值．
(2)点E在抛物线上，过点E作轴，交直线AC于点F，若点E由点A运动到点D的过程中，求线段EF的最大值．
(3)点P、Q分别在线段AB、AD上，连接PQ、BQ，若点P由点A运动到点B的过程中，是否存在和中一个是等腰三角形另一个是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．







14．如图，△ABC的两顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：y＝﹣x+3上．

(1)当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，求点A的坐标；
(2)当△ABC的面积为4时，求点A的坐标；
(3)在直线l上是否存在点A，使∠BAC＝90°？若存在，求出点A的坐标；若不存在请说明理由．





15．将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．

(1)如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积；
(2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；
(3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，且点P正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．






16．如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线y=kx+3与x轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B．

(1)求k的值及△AOB的面积；
(2)点C在x轴上，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标；
(3)点M（3，0）在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB的面积相等时，求点P的坐标．





17．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C．

(1)求出点A、点B的坐标；
(2)求的面积；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．








18．在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形，如图1、AB是公共边、BC＝BD，∠A＝∠A、则△ABC与△ABD是共边偏差三角形．

(1)如图2，在线段AD上找一点E，连CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由；
(2)在图2中，已知∠1＝∠2，∠B+∠D＝180°，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形；
(3)如图3，函数的图象与x轴交于点A，与函数的图象交于点B，请在坐标轴上找一点P，使得△ABO与△ABP是共边偏差三角形，直接写出点P的坐标．

参考答案：
1．(1)y=+3x+8
(2)32
(3)①存在，(3，0)或(3，5)或(3，5+5)或(3，5+5)
②(8，5)或(8，5)或(8，5)或(2，0)

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作PGy轴交BC于G，设P(t，+3t+8)，则G(t，t+8)，可得+32，即可求解；
（3）①设M(3，m)，分别求出BE=5，BM=，EM=|m5|，分三种情况讨论：当BE=BM时；当BE=EM时；当BM=EM时；分别列出方程求解即可；②设N(x，y)，分三种情况讨论：当BE为菱形的对角线时，此时N(8，5)；当BM为菱形的对角线时，此时N(8，5)或(8，5)；当BN为菱形的对角线时，此时N(2，0)．
【解析】（1）解：将A(2，0)，C(0，8)代入y=a+3x+c，
∴，
解得：，
∴y=+3x+8；
（2）解：令y=0，则+3x+8=0，
解得x=2或x=8，
∴B(8，0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴y=x+8，
过点P作PGy轴交BC于G，

设P(t，+3t+8)，则G(t，t+8)，
∴PG=+3t+8+t8=+4t，
∴，
∴当t=4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32；
（3）解：①存在点M，使得△BEM为等腰三角形，理由如下：
∵y=+3x+8=，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴，
∴E(3，5)，
设M(3，m)，
∴BE=5，BM=，EM=|m5|，
当BE=BM时，5=，
解得m=5(舍)或m=5，
∴M(3，5)；
当BE=EM时，5=|m5|，
解得m=5+5或m=+5，
∴M(3，5+5)或(3，+5)；
当BM=EM时，=|m5|，
解得m=0，
∴M(3，0)；
综上所述：M点坐标为(3，0)或(3，5)或(3，5+5)或(3，+5)；
②设N(x，y)，M(3，m)，
当BE为菱形的对角线时，BM=EM，
∴，
解得：，
∴N(8，5)；
当BM为菱形的对角线时，BE=EM，
∴，
解得：或，
∴N(8，5)或(8，5)；
当BN为菱形的对角线时，BE=BM，
∴，
解得：或，
∴N(2，0)；
综上所述：N点坐标为(8，5)或(8，5)或(8，5)或(2，0)．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
2．(1)见解析
(2)y=x+5
(3)存在，M点的坐标为（，）、或（，）

【分析】（1）由四边形ABCO是矩形，得∠ABF=∠BFO，根据矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，得∠ABF=∠OBF，即得∠BFO=∠OBF，从而△BOF是等腰三角形；
（2）先求出OB的长，根据矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，可得OE=OB-BE=4，设OD=m,则AD=ED=8-m, 在Rt△ODE中利用勾股定理列方程可求得m的值，进而得到D（0，5），再用待定系数法即可得直线BD解析式；
（3）先求出E点坐标，再菱形分类讨论题型之求第三点．解题方法：利用菱形邻边相等列方程求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCO是矩形，
∴AB//OC，
∴∠ABF=∠BFO，
∵矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，
∴∠ABF=∠OBF，
∴∠BFO=∠OBF，
∴OB=OF，
∴△BOF是等腰三角形；
（2）∵点B的坐标是（-6，8）
∴AB=OC=6，BC=OA=8，
∴OB==10，
∵矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，
∴BE=AB=6，AD=ED，∠BED=∠BAD=90°，
∴OE=OB-BE=10-6=4，
设OD=m，则AD=ED=8-m，
在Rt△ODE中，DE2+OE2=OD2，
∴（8-m）2+42=m2，
解得m=5，
∴OD=5， D（0，5），
设直线BD解析式为y=kx+5，
将B（-6，8）代入得：-6k+5=8，
解得k=，
∴直线BD解析式为y=x+5；
（3）过作轴于，如图：

由（2）知，
，，
，
，即，
，，
，，
设M（a，a+5），则N（a，0），
∵M在线段BD上
∴
①当ON为菱形对角线时，
∵EN=EO，
∴，
解得a=0（舍去）或a=，
∴M（）；
②当EN为菱形对角线时，
∵ON=OE，
∴，
解得a=（正值舍去）
∴M；
③当OE为菱形对角线时，
∵EN=ON，
∴，
解得a=0（舍去）或a=，
∴M（）；
综上所述，M点的坐标为（）、、或（）
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形的判定，菱形的性质及应用等知识，解题的关键是分类思想和方程思想的应用．
3．(1)，
(2)的坐标为或或或
(3)

【分析】（1）分别令x、y为0，即可得到答案．
（2）设P点坐标为（0，t）分别当AB=AP，AB=BP、AP=BP时，使用平面直角坐标系内点间的距离求t的值，即可得到答案．
（3）使用等角的正切值相等，即可求出答案．
（1）
令，则，
，
令，则，
；
（2）
存在点，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形．
解：设，
，，，
当时

，
解得，
舍或；
当时

，
解得，
；
当时

，
解得或，
或；
综上所述，点坐标为或或或；
（3）

解：
，
，
，
，
，，   
，
，
，
，
过点作交于，
，
，
，
，
，

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，涉及了一次函数的图像与坐标轴的交点、平面直角坐标系内两点间的距离、锐角三角函数等知识，掌握相关知识，精准识图，分类讨论是本题的解题关键．
4．(1)；
(2)点的坐标为或；
(3)或；
(4)或，或，或，．

【分析】（1）根据题意，求得点的坐标，结合的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出，设，分两种情况：①时，②时，分别求得的值，进而求得点的坐标；
（3）设，则，由题意列出关于的方程，则可得出答案；
（4）分三种情况，由等腰三角形的性质可得出答案．
【解析】（1）解：由得：，，
点．
设直线的解析式为
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：，，．
，
，
设，，
①当时，即，
，
，
；
当时，即，
，
，
．
综上，点的坐标为或；
（3）解：设，则，
，
，
，
或，
或．
（4）解：若是等腰三角形可分三种情况：
①若，
，
，
点．
②若，
，，
，
，
点为，或，．
③若，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
解得：，
点为，，
综上所述：点的坐标为或，或，或，．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法进行求解．
5．(1)A(3,0)，B(0,4)，AB=5
(2)
(3)，或者

【分析】（1）当x=0时和当y=0时，分别可求出A、B的坐标，再用勾股定理即可求出AB；
（2）设P点坐标为(t,0)，在Rt△POB中，，在Rt△PAB中，，即有，即可求出t值，则问题即可得解；
（3）设P点坐标为，G点坐标为，分情况讨论：当OP=OG时，根据OP=OG，有∠OGP=∠OPG，进而可得∠OGA=∠OAG，即有OA=OP=3，此时P点坐标可得；当OG=PG时，过G点作MG⊥AO于M点，根据OG=PG，可得M点为OP中点，即有OM=PM=，可得，，AP=OP-OA=t-3，即，，在Rt△APG中，有，即有，解方程即可求解；当PG=OP时，先证明BG=OB=4，即可得，由，，可得，即有，解方程即可求解．
【解析】（1）当x=0时，，
即B点坐标为：(0,4)，则有OB=4，
当y=0时，有，解得x=3，
即A点坐标为：(3,0)，则有OA=3，
在Rt△ABO中，有，，
即A(3，0)，B(0，4)，AB=5；
（2）设P点坐标为(t,0)，G点与B点重合，且PG⊥AB，如图，

∵PG⊥AB，
∴由图可知P点在x轴的负半轴，即t＜0，∠PBA=90°，
∴OP=-t，
∵OA=3，OB=4，AB=5，
∴AP=OA+OP=3-t，
在Rt△POB中，，
在Rt△PAB中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
即△PAG的面积为；
（3）设P点坐标为，根据点G在直线AB上，设G点坐标为，
当OP=OG时，如图，

∵OP=OG，
∴∠OGP=∠OPG，
∵PG⊥AB，
∴∠PGA=90°，
∴∠OGP+∠OGA=90°，∠OPG+∠PAG=90°，
∴∠OGA=∠OAG，
∴OA=OG，
∴OA=OP=3，
∴此时P点坐标为(-3,0)；
当OG=PG时，过G点作MG⊥AO于M点，如图，

∵OG=PG，GM⊥OP，
∴M点为OP中点，
∴OM=PM=，
∵，，
∴，，AP=OP-OA=t-3，
即
∴，
∴，
∴，
∵，A(3,0)，
∴，
∵PG⊥AB，
∴在Rt△APG中，有，
∴，
解得或者，
当t=6时，G点与A重合，故舍去，
此时P点坐标为；
当PG=OP时，如图，

∵OP=PG，
∴∠PGO=∠POG，
∵∠PGO+∠OGB=90°，∠POG+∠BOG=90°，
∴∠OGB=∠GOB，
∴BG=OB=4，
∵，B(0,4)，
∴，
∴，
解得（正值舍去），
即，
∵，，
∴，
∵OP=PG，
∴，
∴解得t=-12，
即，
综上所述：P点坐标为，或者
【点评】本题考查了一次函数图像与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用勾股定理是解答本题的关键．
6．（1）①，；②；（2）或．
【分析】（1）①利用坐标轴上点的特点建立方程求解，即可得出结论；②先构造出△ADC≌△BOA，求出AD，CD，即可得出结论；
（2）同②的方法构造出△AFD≌△DGP（AAS），分两种情况，建立方程求解即可得出结论．
【解析】解：（1）①∵一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴令，得，即；
令，得，即．
故答案为：，．
②由（1）知，，，
∴OA＝3，OB＝1，
过点C作CD⊥x轴于D，如图1，

∴∠ADC＝∠BOA＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAD+∠BAO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，
在△ADC和△BOA中，
，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴CD＝OA＝3，AD＝OB＝1，
∴OD＝OA+AD＝4，
∴；
（2）如图2，过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，

∴DF+DG＝OB＝4，
∵点D在直线y＝﹣2x+2上，
∴设点D（m，﹣2m+2），
∴F（0，﹣2m+2），
∵BP⊥x轴，B（4，0），
∴G（4，﹣2m+2），
同②的方法得，△AFD≌△DGP（AAS），
∴AF＝DG，DF＝PG，
如图2，DF＝m，
∵DF+DG＝DF+AF＝4，
∴m+|2m﹣5|＝4，
∴m＝3或m＝1，
∴或．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，方程的思想，构造全等三角形是解本题的关键．
7．(1)
(2)；；
(3)①，；②；③存在，点坐标为或，或，或

【分析】（1）结合图象即可求解；
（2）通过观察图象求解即可；
（3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标即可；②通过观察图象求解即可；③分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可．
【解析】（1）解：，
随值的增大而减小，
当时，，
当时，，
不等式的解集是，
故答案为：；
（2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为，
的解为两直线交点的横坐标，
方程的解为，
由图象可得，当时，，
不等式的解是，
故答案为：，，；
（3）解：①联立方程组，
解得，
，
当时，，
，
；
②由的图象可知，当时，，
当时，，
方程组的解集为，
故答案为：；
③存在点，使得为等腰三角形，理由如下：
令，则，
，
，
，，，
①当时，，
解得（舍或，
；
②当时，，
或，
，或，；
③当时，，
解得，
；
综上所述：点坐标为或，或，或．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合．
8．(1)
(2)
(3)存在点M、N，坐标为M（，），N（，）或M（，5），N（，）．

【分析】（1）将P（4，n）分别带入y＝x与y＝ax＋7即得；
（2）过P作PD⊥l于D，根据，得到一次函数解析式为，根据得到B（t，-t+7），C（t，），根据，P（4，3），推出BC=-t+7-=，OA+PD=4， 推出S△OBP=S△OBC+S△PBC====，得到与之间的函数关系式．
（3）当点N在直线上方时，过点N作x轴的平行线，分别过C、M作平行线的垂线，垂足为Q、P，根据，得到∠PNM+∠CNQ=90°，根据∠QCN+∠CNQ=90°，得到∠QCN=∠PNM，根据CN=MN，∠CQN=∠NPM，推出△QCN≌△PNM，得到PN=QC，QN=PM，设M（m，），N（n，-n+7），根据t=2，得到C（2，），推出PN=，=，QN=n-2，PM=，得到，解得： ，推出M（，），N（，）．当点N在直线下方时，过点N作x轴的平行线，分别过C、M作平行线的垂线，垂足为H、G，同理得到CH=NG，HN=MG，设M（m，），N（n，-n+7），推出CH=，NG=，HN=，MG==，得到解得： ，推出M（，5），N（，）．
【解析】（1）∵点P（4，n）在图象上，
∴，
∴P（4，3），
∵点P（4，3）在图象上，∴，
解得：．
（2）如图，过P作PD⊥l于D，

∵，
∴一次函数解析式为，
∵过点作轴的垂线，交的图像于点，交的图像于点，
∴B（t，-t+7），C（t，），
∵，P（4，3），
∴BC=-t+7-=，OA+PD=4，
∴S△OBP=S△OBC+S△PBC====，
∴与之间的函数关系式为：．
（3）如图，当点N在直线上方时，过点N作x轴的平行线，分别过C、M作平行线的垂线，垂足为Q、P，
∵△CMN是等腰直角三角形，，∴CN=MN，
∴∠PNM+∠CNQ=90°，
∵∠QCN+∠CNQ=90°，∴∠QCN=∠PNM，
在△QCN和△PNM中，，
∴△QCN≌△PNM，
∴PN=QC，QN=PM，
设M（m，），N（n，-n+7），
∵t=2，∴C（2，），
∴PN=，=，QN=n-2，PM=，
∴，解得： ，
∴，=，
∴M（，），N（，）．

如图，当点N在直线下方时，过点N作x轴的平行线，分别过C、M作平行线的垂线，垂足为H、G，
同理可得：CH=NG，HN=MG，
设M（m，），N（n，-n+7），
∴CH=，NG=，HN=，
MG==，
∴解得： ，
∴5，，
∴M（，5），N（，）．

综上所述：存在点M、N，坐标为M（，），N（，）或M（，5），N（，）．
【点评】本题主要考查了正比例函数、一次函数与几何综合，解决问题的关键是熟练掌握待定系数发求函数解析式，正比例函数、一次函数的性质，三角形面积公式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
9．(1)
(2)点C的坐标为或
(3)点的坐标或或 或

【分析】（1）由含30度角的直角三角形的性质以及平面直角坐标系即可求解；
（2）分两种情况讨论，S△OCD=2S△AOC时，2S△OCD=S△AOC时，由三角形的面积关系可求点D坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式，即可求解；
（3）分两种情况，当∠APO=90°时，当∠AOP=90°时，根据含30度角的直角三角形的性质可求解．
【解析】（1）解：∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=3，
∴AO=2AB，
∵AO2=AB2+OB2，
∴BA=，
∴A．
（2）根据题意分两种情况讨论：①S△OCD=2S△AOC时，
∴×OC×OD=2××OC×AB，
∴OD=2AB=2，
∴点D（0，-2），
设直线AD的解析式为y=kx-2，
∴=3k-2，
∴k=，
∴直线AD的解析式为y=x-2，
∴当y=0时，x=2，
∴点C（2，0）；
②2S△OCD=S△AOC时，
∴2××OC×OD=×OC×AB，
∴OD=AB=，
∴点D（0，-），
设直线AD的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AD的解析式为y=x-，
∴当y=0时，x=1，
∴点C（1，0）；
综上所述：点C的坐标为（2，0）或（1，0）．
（3）如图，当∠APO=90°时，连接BB'，过点B'作B'H⊥OB于H，

∵将△OAB绕点O顺时针旋转，
∴BO=B'O=3，∠AOB=∠A'OB'=30°，
∵∠OAC=30°，∠APO=90°，
∴∠AOP=60°，
∴∠B'OB=60°，
∵B'H⊥OB，
∴∠OB'H=30°，
∴

当∠AOP=90°时，如图，

∵将△OAB绕点O顺时针旋转，
∴∠BOB'=∠AOA'=90°，OB=OB'=3，
∴点B'在y轴上，
∴点B'（0，-3），
如图，由中心对称的性质可得：点的坐标 或 ，


综上所述：点的坐标或或 或
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，一次函数的性质等知识，中心对称的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
10．(1)A（﹣4，0），B（0，1）， C（﹣5，4）
(2)①D（0，2）或（）；②

【分析】（1）利用坐标轴上点的特点可得出A、B的坐标，过点C作CD⊥x轴于D，构造出△ADC≌△BOA，求出AD，CD，即可得出结论；
（2）①过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，设点D（m，﹣2m+2），求出
AF，证明△AFD≌△DGP，根据DF+DG＝DF+AF＝8列式计算即可；
②设M（t，0）过点N作NH⊥x轴交x轴于H，易证△AOM≌△MHN，可得ON+AN＝＝S，故S可以看作点（t，t）到（﹣6，0）和（﹣6，6）两点距离之和，（t，t）在y＝x上，如图，F（﹣6，0），E（﹣6，6），作F关于y＝x的对称点为P，可知当E、D、P三点共线时，S取得最小值为EP，求出EP即可．
【解析】（1）解：对于一次函数y＝x+1，
令x＝0，y＝1，
∴B（0，1），
令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∴OA＝4，OB＝1，即A（﹣4，0），B（0，1），
过点C作CD⊥x轴于D，

∴∠ADC＝∠BOA＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAD+∠BAO＝90°，
∴∠ACD＝∠BAO，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，
在△ADC和△BOA中， ，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴CD＝OA＝4，AD＝OB＝1，
∴OD＝OA+AD＝5，
∴C（﹣5，4）；
故答案为：（﹣4，0），（0，1），（﹣5，4）；
（2）解：①如图，过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，

∵点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），
∴DF+DG＝OB＝8，
∵点D在直线y＝﹣2x+2上，
∴设点D（m，﹣2m+2），
∴F（0，﹣2m+2），OF＝|2m﹣2|，AF＝|2m﹣2﹣6|＝|2m﹣8|，
∵BP⊥x轴，B（8，0），
∴G（8，﹣2m+2），
同（1）的方法得，△AFD≌△DGP（AAS），
∴AF＝DG，DF＝PG，
∵DF+DG＝DF+AF＝8，
∴m+|2m﹣8|＝8，
∴m＝或m＝0，
∴D（0，2）或（，）；
（3）设M（t，0），过点N作NH⊥x轴交x轴于H，

根据旋转的性质易证△AOM≌△MHN，
∴OM＝HN，OA＝HM，
∴N（t+6，t），
∴ON+AN＝＝S，
故S可以看作点（t，t）到（﹣6，0）和（﹣6，6）两点距离之和，（t，t）在y＝x上，
如图，

∵D（t，t）是y＝x上的动点，F（﹣6，0），E（﹣6，6），
∴S＝DE+DF，
∵F关于y＝x的对称点为P（0，﹣6），DF＝DP，
∴当E、D、P三点共线时，S取得最小值为EP＝，
即ON+AN的最小值是．
故答案为： ．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，方程的思想，勾股定理等，构造全等三角形是解本题的关键．
11．(1)
(2)（5，2）或（5，8）
(3)或或

【分析】（1）根据A（2，a）在y=x图象上，求出点A的坐标，根据待定系数法求直线l1的函数表达式即可；
（2）作平行线，根据平行线之间的距离处处相等即可得到S△AOP=S△AOC，求出直线的解析式，把P（5，m）代入即可求出答案；
（3）根据直角的不确定性，分情况分别计算即可．
【解析】（1）解：∵点A（2，a）在直线l2：y＝x上，
∴a＝2，即A（2，2），
∵直线l1：y＝kx+b过点A（2，2）、点B（0，6），
∴   解得：，
∴直线直线l1的函数表达式为：y＝﹣2x+6；
（2）解：∵S△AOP＝S△AOC，
∴当以AO为底边时，两三角形等高，
∴过点P且与直线AO平行的直线l3为：y＝x+d，
①直线l3过点C（3，0），得l3为：y＝x﹣3，
当x＝5时，m＝5﹣3＝2，
∴点P（5，2），
②点C（3，0）关于点A（2，2）的对称点为（1，4），
直线l3过点（1，4），得l3为：y＝x+3，
当x＝5时，m＝5+3＝8，
∴点P（5，8），
综上所述，点P坐标为（5，2）或（5，8）；
（3）解：设M（a，-2a+6），则N（a，a），
∴MN=|-2a+6-a|=|-3a+6|，
如图，当∠MQN=90°时，过点Q作QD⊥MN于D，

∵△MNQ为等腰直角三角形，
∴MD=ND=QD，
∴MN=2QD，
∴|-3a+6|=2|a|，
解得：a=或a=6，
∴M（，）或M（6，-6）；
如图，当∠QMN=90°或∠QNM=90°时，

∵MN=MQ或MN=NQ，
∴|-3a+6|=|a|，
解得a=或a=3，
∴M（，3）或M（3，0），
∵点M不在坐标轴上，
∴M（，3）；
综上所述，M（，）或M（6，-6）或M（，3）．
【点评】本题考查了一次函数的综合题，考查分类讨论的思想，根据直角的不确定性，分情况分别计算是解题的关键．
12．(1)
(2)或
(3)①的值是不变的，正确，且

【分析】（1）解一元二次方程，求得方程的解，从而得到a、b的值，即可得到A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程组，求出即可；
（2）分二种情况：①当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，证△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐标即可；②当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，同法求出M的坐标．
（3）设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，求出H、G的坐标，证△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．
（1）
解：，
解得：x1=2，x2=4，
∵a、b（其中）是方程的两个根．
∴a=2，b=4，
∴A(2,0)，B(0,4)，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
代入得：，
解得：，
∴函数解析式为：y=-2x+4，
答：直线AB的解析式是y=-2x+4．
（2）
解：分二种情况：
如图1，当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，

∵BM⊥BA，MN⊥y轴，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，
∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，
∴∠ABO=∠NMB，
在△BMN和△ABO中，
，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
MN=OB=4，BN=OA=2，  
∴ON=2+4=6，
∴M的坐标为（4，6 ），
代入y=mx得：m=，
如图2

当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐标为（6，2），m=，
答：m的值是或．
（3）
解：如图3，结论2是正确的且定值为2，
设NM与x轴的交点为H，过M作MG⊥x轴于G，过H作HD⊥x轴，HD交MP于D点，连接ND，交y轴于点C，

由y＝x−与x轴交于H点，
∴H（1，0），
由y＝x−与y=kx-2k交于M点，
∴M（3，k），
而A（2，0），
∴A为HG的中点，
∴△AMG≌△ADH（ASA），  
又∵N点的横坐标为-1，且在y＝x−上，
∴可得N 的纵坐标为-k，同理D的纵坐标为-k，
∴ND平行于x轴，且N、D的横坐标分别为-1、1，
∴N与D关于y轴对称，
∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，
∴PN=PD=AD=AM，
∴=2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，注意分类思想的应用．
13．(1)
(2)
(3)P或P（2，0）或P

【分析】（1）先根据待定系数法求出直线AC的解析式，再求出D点坐标，最后再用待定系数法求出a、b、c；
（2）设E，则F，则EF=，根据二次函数的性质求出最大值即可；
（3）分①AP=PQ，∠PQB=90°，②PB=PQ，∠APQ=90°，③PQ=BP，∠PQA=90°，设PQ=a，分别表示出AP和BP，再根据AB=AP+BP=6，求出a的值，进而求出P点坐标．
【解析】（1）解：设直线AC为y=kx+b，则
，
解得
∴直线AC的解析式为：
∴ ，
解得  
∴D ．
∵抛物线为经过点A、B、D三点，
∴ ，
解得 ．
（2）解：设E，则F，
∴EF= ，
∵a= ，
∴EF有最大值，
当x=时，
EF的最大值为．
（3）解：①当AP=PQ，∠PQB=90°时，作QH⊥AB于H，如图，

设QH=a，则AH=2a，
设AP=PQ=x，则PH=2a-x，
∵，
∴，
∴，
∴PH=．
∵QH⊥AB，PQ⊥BQ，
∴∠QBP=∠PQH，
∴tan∠QBP=tan∠PQH，
∴，即
∴BH=．
∵AH+BH=AB=6，
∴，
∴，
∵OP=AP-OA=
∴P ；
②当PB=PQ，∠APQ=90°时，如图，

设QP=a，则AP=2a，PB=a，
∴AB=AP+PB=3a=6，
∴a=2，
∴P（2，0）；
③当PQ=BP，∠PQA=90°时，如图，

设PQ=a，则PB=a，
∵tan∠QAP=，
∴AQ=2a，，
∴AB=，
∴，
∴OP=AP-OA=，
∴P
综上所述，P或P（2，0）或P．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形、直角三角形的性质，解题的关键是准确理解二次函数的性质，能根据题意正确画出图形，找到线段之间的关系，列出方程求解．
14．(1)A（2，2）；
(2)（2，2）或（10，﹣2）；
(3)在直线l上存在点A，使∠BAC＝90°，此时点A的坐标是（2，2）或（3.6，1.2）

【分析】（1）以BC为底的等腰三角形，点A是BC的中垂线与直线l的交点，据此求解即可；
（2）根据△ABC的面积求得点A的纵坐标，把点A的纵坐标代入直线方程即可求得其横坐标；
（3）设点A的坐标为，根据两点间距离公式表示出，，，再利用勾股定理建立方程，求解即可．
【解析】（1）如图，当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，点A在BC的中垂线上．

∵B（0，0），C（4，0），
∴BC的中垂线为x＝2．
又点A在直线l：y＝﹣x+3上，
∴y＝﹣×2+3＝2，
即A（2，2）；
（2）设A（a，b）．则依题意得
BC•|b|＝4，即×4|b|＝4，
解得|b|＝2
∴b＝±2．
①当b＝2时，2＝﹣a+3，
解得 a＝2
则A（2，2）；
②当b＝﹣2时，﹣2＝﹣a+3，
解得 a＝10
则A（10，﹣2）．
综上所述，点A的坐标是（2，2）或（10，﹣2）；
（3）设点A的坐标为，
B（0，0），C（4，0），
，，，
∠BAC＝90°，
，即，
解得或，
所以，在直线l上存在点A，使∠BAC＝90°，此时点A的坐标是（2，2）或（3.6，1.2）．
【点评】本题综合考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式以及勾股定理等知识点．解（2）题的过程中，一定要对点A的纵坐标进行分类讨论，以防漏解．
15．(1)84
(2)
(3)

【分析】（1）先求出点B坐标，继而可得OB，由翻折性质可得：，根据勾股定理可得OC的长，根据三角形面积公式即可求解；
（2）设，，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA的长，从而得到点A坐标，将点A（，0）代入可得k的值；
（3）连接CE交AB于点P，由轴对称的性质可得当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，将直线AB和直线CE的解析式联立可得点P，继而即可求得反比例函数解析式．
【解析】（1）∵将代入，得：，
∴点B（0，-7），
∴，
又∵点D（0，18），即，
∴，
由翻折的性质可得：，
在Rt△BOC中，由勾股定理可得：，
∴直线BC的坐标三角形的面积；
（2）设，，
∵在Rt△AOB中，由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴点A（，0），
∵将点A（，0）代入，得：，
∴，
（3）如图，连接CE交AB于点P，

∵点C与点D关于直线AB对称，
∴，
∴，
∴当点P、C、E在一条直线上时，有最小值，
又∵DE的长度不变，
∴当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，
设直线CE的解析式，
将点C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得：，
解得：，
∴直线CE的解析式，
联立，
解得：，
∴点P（-9，5），
设反比例函数解析式为，
∴，
∴反比例函数解析式为．
【点评】本题考查一次函数的综合运用，涉及到翻折的性质、勾股定理、待定系数法求解析式、方程组与交点坐标、轴对称路径最短等知识点，解题的关键是求得各直线解析式，明确当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小．
16．(1)；3
(2)或或
(3)或

【分析】（1）运用待定系数法求得k值，从而得到直线解析式，再根据三角形面积公式求解△AOB的面积．
（2）分AC=AB，BC=AB进行讨论，分别求出每种情况下的C点坐标．
（3）点P在x轴下方和点P在x轴上方，两种情况分别求解．
【解析】（1）解：将点A（2，0）代入直线y=kx+3，
得，0=2k+3，
解得，
∴．
∵直线y=kx+3与y轴交于点B，
∴令x=0，得y=3．
∴B（0，3），OB=3．
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴；
（2）解：①如图1，当AC=AB，且C点在A点右侧时，

∵A（2，0），B（0，3），
∴，
∴；
②如图2，当AC=AB，且C点在A点左侧时，

∵，
又∵，
∴；
③如图3，当BC=AB时，

∵，，
∴，
∴，
综上，C点坐标为或或；
（3）解：∵M（0，3），  
∴OM=3，
∴AM=3-2=1，
由（1）知，S△AOB=3，
∴S△PBM=S△AOB=3，
①如图1，当点P在x轴下方时，

∵，
∴|yP|=3，
∵点P在x轴下方，
∴yP=-3，
当y=-3时，代入得，，
解得x=4，
∴P（4，-3）；
②如图2，当点P在x轴上方时，

∵，
∴|yP|=9，
∵点P在x轴上方，
∴yP=9，
当y=9时，代入得，，
解得x=-4．
∴P（-4，9）．
综上，符合条件的P点坐标为（4，-3）或（-4，9）．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，包括待定系数法求一次函数解析式，求解相关三角形面积及求解符合条件的点坐标，充分运用数形结合思想是解题的关键．
17．(1)点A的坐标为，点B的坐标为
(2)3
(3)

【分析】（1）根据坐标轴点的特征求解即可．
（2）联立式y=x，得点C（2，2），根据三角形的面积公式即可求解．
（3）分PC=OC、CP=OP、OC=OP三种情况，分别利用等腰三角形的性质求解即可．
（1）
把代入中得，
把代入中得x=6，
点A的坐标为，点B的坐标为．
（2）
联立方程组得：，
解得：，
点C的坐标为．
的面积为：
（3）
存在．
∵点C（2，2），
∴，
设P（x，0），
①当PC=OC=2时，如图，

∵点C（2，2），
∴PC2=22+（x-2）2，
∴，
∴x=0或4，
∵x=0时，与点O重合，故舍去，
∴点P（4，0）；
②当CP=OP时，如图，

∵CP=OP，∠AOC=45°，
∴∠OCP=45°，
∴∠OPC=90°，
∴点C（2，2），
∴OP=2，
∴点P（2，0）；
③当OC=OP=2时，如图，

点P（2，0）或（-2，0），
综上所述：点P坐标为P点的坐标可能是：．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．
18．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析，P的坐标为：（2，0）或（0，2）

【分析】（1）根据共边偏差三角形的定义可知，取CE＝CD即可；
（2）根据AC是公共边，∠1＝∠2，再证BC＝CD，即可得出结论；
（3）首先根据两直线交点为B，可求出B（1，），当点P在x轴上时，则OB＝BP，根据等腰三角形的性质可知P（2，0），只要在图中找点P'，使得△ABP与△ABP'全等即可．
(1)
解：如图所示即为所求，在AD上取点E，使得CE＝CD即可；

(2)
证明：由（1）作法可知CE＝CD，则∠CED＝∠D，
∵∠CED+∠CEA＝180°，且∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝∠CEA，
又∵∠1＝∠2，AC＝AC，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴BC＝CE，
∴BC＝CD，
在△ACB与△ACD中，
，
∴△ACB与△ACD是共边偏差三角形；
(3)
解：当x+＝x时，
解得x＝1，
∴y＝，
∴B（1，），
∵△ABO与△ABP是共边偏差三角形，
当点P在x轴上时，
∴OB＝BP，

过点B作BH⊥x轴于H，
则PH＝OH＝1，
∴P（2，0），
∵函数y＝x+的图象与x轴交于点A，
∴A（﹣2，0），
∴tan∠BAH＝，
∴∠BAH＝30°，
∵B（1，），
∴tan∠BOH＝，
∴∠BOH＝60°，
∴△OBP为等边三角形，
∴∠ABP＝∠ABO+∠OBP＝90°，
∴点P关于点B对称点P'（0，2），

综上，点P的坐标为：（2，0）或（0，2）．
【点评】本题是新定义题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，理解共边偏差三角形的定义，将问题转化为找全等三角形是解题的关键．