备战2023年高考数学常考题型分类讲义 第03讲 导数中八大切线问题题型总结

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高考二轮数学复习策略
第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。

第3讲 导数中八大切线问题题型总结
【考点分析】
考点一：曲线在点处的切线方程
①把切点的横坐标带入导函数，得
②又因切点为，利用点斜式直接写出切线为
考点二：过一点的切线方程
①设切点为，则斜率
②利用切点和斜率写出切线方程为：，
③又因为切线方程过点，点入切线得然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目是在点处（为切点），还是过点的切线（不一定为切点）
【题型目录】
题型一：导数与切线斜率的关系
题型二：在点处切线（此类题目点即为切点）
题型三：过点的切线（此类题目点不一定为切点，需要设切点为）
题型四：已知切线求参数问题
题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）
题型六：公切线问题
题型七：切线平行、垂直、重合问题
题型八：与切线相关的最值问题
【典例例题】
题型一：导数与切线斜率的关系
【例1】（2022·全国·高三专题练习（文））函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（       ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.
【详解】
如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率，
表示切线斜率，
又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率，
结合图象，可得，即.
故选：C.

【例2】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由导数的几何意义判断
【详解】

由图象可知在上单调递增，，
故，即
故选：B
【题型专练】
1.（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）（多选题）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义可得，记，，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出.
【详解】
由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；
记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，


即.
故选：AB
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（       ）


A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案.
【详解】由图知：，即.
故选：A
题型二：在点处切线（此类题目点即为切点）
【例1】【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】
详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】
本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
【例2】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求导数得出，结合奇函数定义得函数解析式，然后计算即可．
【详解】
是奇函数，
恒成立，所以，
，，
所以，，即，
．
故选：A．
【例3】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线在处的切线方程为（       ）
A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0
C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0
【答案】B
【解析】
【分析】
将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可.
【详解】
解：因为，所以，所以．
又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．
故选：B.
【例4】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求得，根据指数函数的性质，得到，即切线的斜率，进而得到，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
因为，所以，即切线的斜率，
设切线的倾斜角为，则
又因为，所以或，
即切线的倾斜角的范围为.
故选：B.
【例5】（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线在点处的切线方程为，则的值为（       ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
依据题意列出关于的方程组，即可求得的值
【详解】
由切点在曲线上，得①；
由切点在切线上，得②；
对曲线求导得，∴，即③，
联立①②③，解之得
故选：A.
【例6】（2022·江西·丰城九中高二期末（理））已知函数图像关于原点对称，则在处的切线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令先求出的值，再利用函数关于原点对称可求出,再利用导函数的几何意义即可求出在处的切线方程.
【详解】由题意知：.
所以;
令，则.
所以.
又函数图像关于原点对称，即.
所以当时，.
所以当时，.
,;
所以在处的切线方程为：.
故选：A.
【题型专练】
1．【2018年新课标1卷理科】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
详解：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
2.【2021年甲卷理科】曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】
由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
3．【2019年新课标1卷理科】曲线在点处的切线方程为___________．
【答案】.
【解析】
【分析】
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】
详解：
所以，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
【点睛】
准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
4．【2018年新课标2卷理科】曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.
【详解】

【点睛】
求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
5．【2018年新课标3卷理科】曲线在点处的切线的斜率为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
求导，利用导数的几何意义计算即可．
【详解】
解：
则
所以
故答案为-3.
【点睛】
本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题
题型三：过点的切线（此类题目点不一定为切点，需要设切点为）
【例1】【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】     y=1ex     y=−1ex
【解析】
【分析】
分x>0和x0时设切点为x0,lnx0，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0x−x0，
又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0−x0，解得x0=e，所以切线方程为y−1=1ex−e，即y=1ex；
当x