备战2023年高考数学常考题型分类讲义 第14讲 等差数列的通项求和及性质7大题型

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高考二轮数学复习策略第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。 第14讲 等差数列的通项求和及性质7大题型  【考点分析】考点一：等差数列的基本概念及公式①等差数列的定义：（或者）．②等差数列的通项公式：，通项公式的推广：③等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有（）．④等差数列的前项和公式：考点二：等差数列的性质①通项下标和性质：在等差数列中，当时，则．特别地，当时，则．②等差数列通项的性质：，所以当时，等差数列的通项为关于的一次函数，即．③等差数列前n项和的常用性质：，所以当时，等差数列的前n项和为关于的二次函数且没有常数项，即因为当时，开口向上，有最小值；当时，开口向下，有最大值；【题型目录】题型一：等差数列通项求和公式运用题型二：等差中项及性质问题题型三：等差数列前项和的性质题型四：等差数列前n项和的最值题型五：等差数列通项公共项及奇偶项和问题题型六：等差数列新文化试题题型七：对于含绝对值的数列求和问题【典型例题】题型一：等差数列通项求和公式运用【例1】（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））在数列中，，，若，则（    ）A．671 B．672 C．673 D．674 【例2】（2022·全国·高三专题练习）数列{an}满足，且，，是数列的前n项和，则（    ）A． B． C． D． 【例3】（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（       ）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【例4】（2022·北京石景山·高二期末）等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则（       ）A．有最小值，有最小值 B．有最大值，有最大值C．有最小值，有最大值 D．有最大值，有最小值【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知数列均为等差数列，若，则（    ）A． B． C． D． 【例6】（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（    ）A．18 B．16 C．14 D．12 【例7】（2021·福建省华安县第一中学高三期中）设等差数列的前n项和为，若，，，则m等于（       ）A．8 B．7 C．6 D．5 【题型专练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知等差数列中，为数列的前项和，则（       ）A．115 B．110 C． D．2．（2022全国高二专题练习）在等差数列中，，且（1）求数列的首项､公差；（2）设，若，求正整数m的值. 3．（2022·山西吕梁·高二期末）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多______块石板．4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆的半径为，，过点的条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，且公差，则的取值可能是（   ）A． B． C． D．5．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列为递增数列，若，，则数列的公差d的值为______．  题型二：等差中项及性质问题【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ）A．8 B．6 C． D．3 【例2】（2022·辽宁·高三开学考试）设等差数列的前项和为，若则（    ）A．150 B．120 C．75 D．60【例3】（2022·全国·高三专题练习（理））数列{an}满足，且，是函数的两个零点，则的值为（    ）A．4 B．－4 C．4040 D．－4040【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，，，，求项数的值．【例5】（2022·河南焦作·一模（文））设和都是等差数列，前项和分别为和，若，，则（       ）A． B． C． D．【例6】（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列满足，且，则（    ）A． B． C． D．【题型专练】1．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为77，则项数的值为___________. 2.（2022·全国·高三专题练习）下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（    ）A． B．C．数列的通项公式为 D． 3．（2022·全国·高二单元测试）在等差数列中，已知，，，则______． 4.（2022·浙江宁波·高一期末）设等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（       ）A． B．C． D．  5．（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（理））等差数列的前项和为，若，满足，其中为边上任意一点，则（       ）A．2020 B．1020 C．1010 D．2 6．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知等差数列中，、是的两根，则（    ）A． B． C． D． 题型三：等差数列前项和的性质【例1】（2022·广东·金山中学高三阶段练习）等差数列的前n项和为，若，，则（    ）．A．27 B．45 C．18 D．36 【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（    ）A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040 【例3】（2022·全国·高二多选题）下列结论中正确的有（    ）A．若为等差数列，它的前项和为，则数列也是等差数列B．若为等差数列，它的前项和为，则数列，，，也是等差数列C．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则D．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则 【例4】（2023·全国·高三专题练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（    ）A． B． C． D．【例5】（2021·江苏·高二单元测试）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【题型专练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则等于（    ）A．110 B．150C．210 D．280 2.（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（    ）A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018 3.（2022·山西·忻州一中高三阶段练习）设等差数列的前项和分别是，且，则__________. 4.（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（   ）A． B． C． D． 5.（2021·全国·高二单元测试）已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且若对任意的恒成立，则实数的最大值为（    ）A． B． C．-2 D．2 6.（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数可能是（    ）A． B． C． D．  题型四：等差数列前n项和的最值【例1】（2022·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（文））记为等差数列的前项和，且，，则取最大值时的值为（    ）A．12 B．12或11 C．11或10 D．10 【例2】（2022·四川乐山·高一期末）已知数列为等差数列，公差为d，为其前n项和，若满足，给出下列说法：①；②；③；④当且仅当时，取得最大值．其中正确说法的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（2023·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为______． 【例4】（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））设为等差数列的前n项和，若，则满足的最大的正整数n的值为__________． 【例5】（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（    ）A． B． C． D． 【题型专练】1.（2022·河北·石家庄二中高二期末多选题）等差数列中，，则下列命题中为真命题的是（    ）A．公差 B．C．是各项中最大的项 D．是中最大的值2．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（    ）A．若有最大值，则数列的公差小于0B．若，则使的最大的n为18C．若，，则中最大D．若，，则数列中的最小项是第9项 3．（2022·四川眉山·高一期末（理））设等差数列的前n项和为，，，取最小值时，n的值为（    ）A．11或12 B．12 C．13 D．12或13 4．（2022·山西·怀仁市第一中学校模拟预测（文））数列是递增的整数数列，若，，则的最大值为（    ）A．25 B．22 C．24 D．23  题型五：等差数列通项公共项及奇偶项和问题【例1】（2022·重庆市实验中学高二期末）已知数列中，，，，则（       ）A． B． C． D． 【例2】（2022全国高二单元测试）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为（    ）A． B． C． D．【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，.(1)记，求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，求.  【例4】（2022·四川·成都七中高一期末）已知数列的通项公式为，Sn为数列的前n项和，则的值为（       ）A．672 B．1011 C．2022 D．6066 【题型专练】1.（2022·全国·高二课时练习）在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则等于（    ）A．289 B．295 C．301 D．307 2.（2022·海南中学高三）已知数列满足，则（       ）A．50 B．75 C．100 D．150  3.（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（    ）A． B． C． D． 4.（2022·重庆·三模）已知数列的前项和为，，则（       ）A． B．0 C． D．  题型六：等差数列新文化试题【例1】（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习）斐波那契数列（Fibonacci Sequence）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多，斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列满足：，现从数列的前2022项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（       ）A． B． C． D． 【例2】（2022·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（       ）A．4.5寸 B．3.5寸 C．2.5寸 D．1.5寸 【例3】（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（    ）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习（理））斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足： . ，记，则下列结论不正确的是（       ）A． B．C． D．2．（2022·全国·高二课时练习）2021年是中国共产党建党100周年，《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长、、、、（单位：）成等差数列，对应的宽为、、、、（单位：），且长与宽之比都相等，已知，，，则（    ）A．124 B．126 C．128 D．130  题型七：对于含绝对值的数列求和问题【例1】（2022·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前20项和． 【例2】（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知数列为等差数列，且，.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)求数列的前项和. 【题型专练】1.（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）数列中，，，且满足(1)求数列的通项公式；(2)设，求． 2.（2022·全国·高三专题练习（文））记为等差数列的前n项和，．(1)求数列的通项公式；(2)求的值．