备战2023年高考数学常考题型分类讲义 第23讲 圆锥曲线中定点定值定直线问题

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高考二轮数学复习策略第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。 第23讲  圆锥曲线中定点定值定直线问题【考点分析】考点一：直线过定点问题①设直线为，根据题目给出的条件找出与之间的关系即可②求出两点的坐标（一般含参数），再求出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，再化为的形式，即可求出定点。考点二：定值问题探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.③求斜率，面积等定值问题，把斜率之和，之积，面积化为坐标之间的关系，再用韦达定理带入化简一般即可得到定值考点三：定直线问题①一般设出点的坐标，写出两条直线的方程，两直线的交点及两个直线中的相同，然后再用韦达定理带入化简即可得的关系即为定直线【题型目录】题型一：直线圆过定点问题题型二：斜率面积等定值问题题型三：定直线问题【典型例题】题型一：直线过定点问题【例1】已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.（i）证明：；（ii）证明：直线AB过定点. 【例2】已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合．(1)求椭圆的方程；(2)若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点．  【例3】已知椭圆的上顶点为，右顶点为，其中的面积为1（为原点），椭圆离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且，求证：直线过定点．   【例4】已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，且AF⊥MF．(1)求C的方程；(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．   【例5】已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.   【题型专练】1．已知椭圆的短轴长为，左顶点A到右焦点的距离为．(1)求椭圆的方程(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：经过定点．  2.已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)点，在椭圆上，且.证明：直线过定点，并求出该定点坐标.  3.已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在E上.(1)求E的方程；(2)过点作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M，N分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定点.  4.焦距为2c的椭圆（a＞b＞0），如果满足“2b=a+c”，则称此椭圆为“等差椭圆”．(1)如果椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求的值；(2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由．  题型二：斜率面积等定值问题【例1】动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数．(1)求动点的轨迹的方程；(2)经过定点的直线交曲线于，两点，设，直线，的斜率分别为，，求证：恒为定值．  【例2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且位于第一象限，的面积为，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若M，N是椭圆C上异于点Q的两动点，记QM，QN的倾斜角分别为，，当时，试问直线MN的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．  【例3】已知点在椭圆上，的长轴长为，直线与交于两点，直线的斜率之积为.(1)求证：为定值；(2)若直线与轴交于点，求的值. 【例4】已知椭圆的离心率,且椭圆C的右顶点与抛物线的焦点重合．(1)求椭圆C的方程．(2)若椭圆C的左、右顶点分别为,直线与椭圆C交于E,D两点,且点E的纵坐标大于0,直线与y轴分别交于两点,问:的值是否为定值？若是,请求出该定值;若不是,请说明理由．【例5】已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为，为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上不同于的一点，直线与直线分别交于点 .证明：以线段为直径作圆被轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.  【例6】已知为圆上一动点，过点作轴的垂线段为垂足，若点满足.(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.  【例7】已知椭圆：的右焦点为在椭圆上，的最大值与最小值分别是6和2.(1)求椭圆的标准方程.(2)若椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，直线分别与直线交于两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【题型专练】1．已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上，且在轴上方，轴，斜率为的直线交于两点，(1)若直线过点，求的面积.(2)直线和的斜率分别为和，当直线平行移动时，是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.2．已知椭圆：过点，且该椭圆长轴长是短轴长的二倍.(1)求椭圆的方程；(2)设点关于原点对称的点为，过点且斜率存在的直线交椭圆于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，求证为定值.       3．如下图，过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于，．（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离；（2）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数．       4．如图，椭圆的左右焦点分别为，，点是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P，，的圆与y轴正半轴交于点，经过点且与x轴垂直的直线l与直线交于点Q．(1)求证：．(2)试问：x轴上是否存在不同于点B的定点M，满足当直线，的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M，求出点M的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．   5．已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上，且在轴上方，轴，斜率为的直线交于两点，(1)若直线过点，求的面积.(2)直线和的斜率分别为和，当直线平行移动时，是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.  6．已知椭圆的左焦点为，左、右顶点及上顶点分别记为、、，且.(1)求椭圆的方程；(2)设过的直线交椭圆于P、Q两点，若直线、与直线l：分别交于M、N两点，l与x轴的交点为K，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由. 7．已知平面上一动点到的距离与到直线的距离之比为．(1)求动点的轨迹方程；(2)曲线上的两点，，平面上点，连结，并延长，分别交曲线于点A，B，若，，问，是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．  8．已知椭圆，过点直线，的斜率为，，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点，且，，，任意两点的连线都不与坐标轴平行，直线交直线，于，.(1)求证：；(2)的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由. 9．已知椭圆的左、右焦点分别为且离心率为，椭圆的长轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以线段为直径作圆，若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点试判断是否为定值，并说明理由. 10．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为、，直线与圆相切，切点为，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)过圆上任意一点作圆的切线，交椭圆于、两点，试判断：是否为定值？若是，求出该值，并证明；若不是，请说明理由.  11．已知椭圆，左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，若为椭圆上一点，的最大值为，点在直线上，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，其中不与左右顶点重合.(1)求椭圆的标准方程；(2)从点向直线作垂线，垂足为，证明：存在点，使得为定值.   题型三：定直线问题【例1】已知如图，长为，宽为的矩形，以为焦点的椭圆恰好过两点，(1)求椭圆的标准方程；(2)根据（1）所得椭圆的标准方程，若是椭圆的左右顶点，过点的动直线交椭圆与两点，试探究直线与的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由. 【例2】已知椭圆（）的离心率为，且为上一点.(1)求的标准方程；(2)点，分别为的左､右顶点，，为上异于，的两点，直线不与坐标轴平行且不过坐标原点，点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：点位于定直线上.  【例3】已知为椭圆的左焦点，直线与C交于A，B两点，且的周长为，面积为2.(1)求C的标准方程；(2)若关于原点的对称点为Q，不经过点P且斜率为的直线l与C交于点D，E，直线PD与QE交于点M，证明：点M在定直线上.  【题型专练】1．已知椭圆：的离心率为，是上一点.(1)求的方程.(2)设，分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线，与交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.证明：①为定值；②点在定直线上.  2.已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.(1)求点的轨迹的方程.(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.    3.已知椭圆C：的离心率为，左顶点为，左焦点为，上顶点为，下顶点为，M为C上一动点，面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)过的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点，），直线，相交于点Q，证明：点Q在一条平行于x轴的直线上.