2023年河南省许昌市禹州市第一次中考模拟数学试题（含答案）

这是一份2023年河南省许昌市禹州市第一次中考模拟数学试题（含答案），共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省许昌市禹州市中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）下列各数中，最大的数是（　　）
A．﹣1 B．2 C．0 D．
2．（3分）南朝宋•范晔在《后汉书•联食传》中写道：“将军前在南阳，建此大策，常以为落落难合，有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“者”字所在面相对的面上的汉字是（　　）

A．有 B．事 C．竟 D．成
3．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O．若∠EOC＝35°，则∠BOD的度数为（　　）

A．155° B．125° C．115° D．65°
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a2•a3＝2a6 B．（2a2）3＝6a6
C．2ab+b2＝2ab2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E为AC中点，若AD＝4，BC＝6，则DE的值为（　　）

A．3 B．5 C．2.5 D．3.5
6．（3分）一元二次方程x2+（k+1）x+k﹣5＝0 的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
7．（3分）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，并分别标有数字1，3，4，5．若自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域的数字（指针指向区域分界线时，重新转动），则两次所得数字之和为偶数的概率为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）下列问题中，变量y与x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　）

A．圆的面积y与圆的半径x
B．汽车匀速行驶时，行驶的距离y与行驶的时间x
C．小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度y与篮球离开手的时间x
D．三角形面积一定时，它的底边长y与底边上的高x
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC的边OB在x轴上，∠AOB＝60°，B（4，0），点D，E 分别是边OB，OA上的点．将△OED沿DE折叠，使点O的对应点F落在边AC上，若AE＝AF则点F的坐标为（　　）

A． B．，4） C．（3，4） D．（2，3）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x可取 　 　.（填一个即可）
12．（3分）不等式组的解集为 　 　．
13．（3分）我市某电视台招募主持人，甲侯选人的综合专业索质、普通话、才艺展示成绩如表所示．
测试项目
综合专业索质
普通话
才艺展示
测试成绩
90
86
92
根据实际需求，该电视台规定综合专业素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5：3：2 的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为 　 　分．
14．（3分）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C为AO延长线上一点，连接BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交OA于点D．若∠BCO＝45°，OA＝2，则图中阴影部分的周长为 　 　．

15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点O为矩形对角线AC，BD的交点，将OA绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），点O的对应点为O′，连接BO′，当点O′落在矩形ABCD的对称轴上时，BO′的长为 　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）下面是某同学化简分式 的运算过程．
解：原式＝第①步；
＝第②步；
＝第③步；
＝第④步；
＝﹣x．第⑤步
上面的运算过程从第 　 　步开始出现错误，请你写出正确完整的解答过程．
17．（9分）为庆祝党的二十大胜利召开，某学校开展了一系列学习党史的活动，并开展了党史相关的知识测试．为了解七、八年级学生的测试成绩，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
【收集数据】：
从七、八两个年级各随机抽取了20名学生的测试成绩（百分制）如下：
七年级：73，82，75，89，93，96，76，84，85，85，90，90，98，77，65，90，87，90，95，98；
八年级；67，88，92，93，99，83，80，75，72，91，92，92，95，94，85，85，92，69，88，96；
[整理、描述数据]：
对上述数据进行分段整理如下：
成绩x
人数
年级
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
七年级
1
4
6
9
八年级
2
2
6
10
【分析数据】：
两个年级测试成绩的平均数、中位数、众数如下：

平均数
中位数
众数
七年级
85.9
a
90
八年级
86.4
89.5
b
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　．
（2）小明是该校八年级的学生，他本次测试成绩为87分，小明说：“因为我的成绩高于我们年级的平均数．所以我的成绩高于我们年级一半学生的成绩．“请你判断小明的话是否正确，并说明理由．
（3）若测试成绩不少于90分记为优秀，请你估计七年级学生本次测试成绩的优秀率，并给七年级的老师提出一条建议．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，点A在第二象限，点B在x轴负半轴上，点C（﹣2，2）是AO的中点且反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点C．
​（1）求反比例函数的解析式．
（2）若点D是反比例函数y＝（x＜0）的图象与AB的交点，求点D的坐标．
（3）在（2）的条件下，直接写出△ADO的面积．

19．（9分）开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，始建于公元1049年．某数学兴趣小组想通过所学的解直角三角形的知识测量该铁塔的高度，他们把“测量开封铁塔的高度”作为一项课题活动，并制订了测量方案，进行了实地测量，测量结果如表．
课题
测量开封铁塔的高度
测量工具
测角仪，皮尺等
测量示意图

说明：在点C处用测角仪测得塔的顶端A的仰角为α，背对塔再向前走一段距离到点D处用测角仪测得塔的顶端A的仰角为β（点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，点B，C，D在同一条直线上．CE与DF为测角仪，测角仪的高度为1.5m）
测量数据
α
β
点C，D间的距离
45°
28°
48m
​（1）请你根据以上数据，帮助该小组求出开封铁塔的高度AB．（结果保留到0.1m．参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
（2）根据景点介绍开封铁塔的高度为55.88m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的建议．
20．（9分）为弘扬爱国精神，传承民族文化，某校组织了“诗词里的中国”主题比赛，计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）．
方案一：A种奖品每个打九折，B种奖品每个打六折．
方案二：A，B两种奖品均打八折．
设购买A种奖品x个，选择方案一的购买费用为y1元，选择方案二的购买费用为y2元．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式．
（2）请你计算该校选择哪种方案支付的费用较少．
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（不与点A，B重合），连接AC，BC．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出∠ACB的平分线，交⊙O于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，在（1）的条件下，过点D作⊙O的切线，分别交CA、CB的延长线于点E、F，连接DA、DB．
①求证：AB∥EF；
②若AC＝6，BC＝8，请求出EF的长．（提示：过点C作EF的垂线）
​
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知L1：y＝﹣x2+bx+c 经过点（1，﹣2），点（0，﹣7）．
（1）求L1的解析式．
（2）将L1向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到L2，求L2的解析式．
（3）若点M（x1，m），N（x2，m）在L1上，且x1＜x2，将MN上方抛物线沿MN翻折，翻折后得到一个新图象．当这个新图象与过点（0，﹣2）且平行于x轴的直线恰好只有2个公共点时，请直接写出m的取值范围．
23．（10分）特例感知：
如图1，在等边三角形ABC中，D是BC延长线上一点，且CD＜BC，以CD为边在上方作等边三角形CDE，连接BE，过点B作BF∥ED，过点D作DF∥BE，交于点F，连接AF．
（1）试判断AF和BE的数量关系，并说明理由．
猜想论证：
（2）将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定角度，其余操作不变，则AF和BE的数量关系是否仍然成立，请仅就图2的情形说明理由．
拓展延伸：
（3）将如图1所示的△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），其余操作不变．若 ＝，当△ABF是直角三角形时，请直接写出α的值．
​
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．【分析】根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，再进行比较，即可得出答案．
【解答】解：∵﹣1＜0＜＜2，
∴最大的数是2；
故选：B．
2．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，即可解答．
【解答】解：在原正方体中，与“者”字所在面相对的面上的汉字是“成”，
故选：D．
3．【分析】根据垂线的定义可得∠AOE＝90°，根据∠AOC＝∠AOE+∠EOC，根据对顶角的定义∠BOD＝∠AOC，即可得出答案．
【解答】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠AOC＝∠AOE+∠EOC＝90°+35°＝125°，
∴∠BOD＝∠AOC＝125°．
故选：B．
4．【分析】根据单项式乘单项式，积的乘方的性质，合并同类项的法则和平方差公式，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、2a2•a3＝2a5，故本选项不符合题意；
B、（2a2）3＝8a6，故本选项不符合题意；
C、2ab+b2不能合并，故本选项不符合题意；
D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故本选项符合题意．
故选：D．
5．【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝6，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，
∴∠ADC＝90°．
在直角△ACD中，
∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC＝＝＝5．
∵点E为AC的中点，
∴DE＝AC＝2.5．
故选：C．
6．【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
【解答】解：∵Δ＝（k+1）2﹣4（k﹣5）＝k2﹣2k+21＝（k﹣1）2+20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．【分析】根据“耠子和耧共有63个，共有100条腿”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵耠子和耧共有63个，
∴x+y＝63；
∵耠子和耧共有100条腿，
∴x+2y＝100．
∴根据题意可列出方程组．
故选：A．
8．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和两次所得数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果，两次所得数字之和分别为：2，4，5，6，4，6，7，8，5，7，8，9，6，8，9，10，
其中两次所得数字之和为偶数的结果为10种，
∴两次所得数字之和为偶数的概率为＝．
故选：B．
9．【分析】根据每个选项的描述，分别写出两个变量之间的函数关系即可判断．
【解答】A．圆的面积y与圆的半径x的函数关系式为y＝πx2，
∵π＞0，
∴该函数图象的开口应朝上，
∴变量y与x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
B．设汽车的速度为v（v为常数），
则汽车行驶的距离y与行驶的时间x之间的函数关系式为y＝vx（v为常数），
∴变量y与x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
C．小明打篮球投篮时，y关于x的函数图象是开口朝下的抛物线的一段，且经过y轴的正半轴，对称轴在y轴右侧，
∴变量y与x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意；
D．设三角形的面积为S（S为常数），
则xy＝S，
∴（S为常数），
∴变量y与x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意．
故选：C．
10．【分析】过A作AH⊥OB于H，作AG⊥EF于G，根据四边形AOBC是菱形，B（4，0），可得OH＝OA＝2，AH＝OH＝2，A（2，2），又AE＝AF，故EF＝AE，由将△OED沿DE折叠，使点O的对应点F落在边AC上，有OE＝EF＝AE，从而AE+AE＝4，AE＝2﹣2，即知AF＝2﹣2，可得F（2，2）．
【解答】解：过A作AH⊥OB于H，作AG⊥EF于G，如图：

∵四边形AOBC是菱形，B（4，0），
∴OA＝OB＝4，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OAH＝30°，∠OAC＝120°，
∴OH＝OA＝2，AH＝OH＝2，
∴A（2，2），
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝30°，EG＝EF，
∴cos30°＝，即＝，
∴EG＝AE，
∴EF＝AE，
∴EF＝AE，
∵将△OED沿DE折叠，使点O的对应点F落在边AC上，
∴OE＝EF＝AE，
∵OE+AE＝OA＝4，
∴AE+AE＝4，
解得AE＝2﹣2，
∴AF＝2﹣2，
∵A（2，2），AF∥x轴，
∴F（2，2），
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．【分析】直接利用二次根式的定义得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴5﹣x≥0，
解得：x≤5，
则x可取5（答案不唯一）．
故答案为：5（答案不唯一）．
12．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由1+x≥1得：x≥0，
由10﹣3x≥1得：x≤3，
则不等式组的解集为0≤x≤3，
故答案为：0≤x≤3．
13．【分析】根据加权平均数公式计算甲的最终成绩即可得出答案．
【解答】解：90×+86×+92×
＝45+25.8+18.4
＝89.2（分）．
答：甲候选人的最终成绩为89.2分．
故答案为：89.2．
14．【分析】由等腰直角三角形的性质求出BC的长，即可求出AD的长，由弧长公式求出弧BD，弧AB的长，即可求出阴影的周长．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOB＝90°，
∵∠BCO＝45°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴BC＝OB，
∵OB＝OA＝2，
∴BC＝2，
∴弧BD的长＝＝π，弧AB的长＝＝π，
∵AD＝AC﹣CD＝2AO﹣CD，DC＝CB＝2，
∴AD＝4﹣2，
∴阴影的周长＝弧BD的长+弧AB的长+AD＝π+π+4﹣2＝π+4﹣2．
故答案为：π+4﹣2．

15．【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∵AB＝2，BC＝2，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝4，
∴BO＝2＝AO，
如图，当O'落在AB的垂直平分线上时，
∴BO'＝AO'，
∵将OA绕点A顺时针旋转α，
∴OA＝OA'＝OB'＝2，
当点O''落在AD的垂直平分线上时，连接O''D，设AD的垂直平分线于BC交于点H，
同理可得AO''＝DO''＝2，
∴AO＝OD＝AO''＝DO''＝2，
∴四边形AODO''是菱形，
∴AO''∥OD，
又∵BO＝AO''＝2，
∴四边形AO''OB是平行四边形，
∴AB＝OO''＝2，
∵BC＝BO＝CO＝2，
∴△BOC是等边三角形，
∵BH＝CH＝1，
∴∠BOH＝30°，
∴OH＝BH＝，
∴O''H＝3，
∴O''B＝＝＝2，
综上所述：BO'的长为2或2，
故答案为：2或2．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值可以解答本题；
（2）根据解答过程可知第②错误，第一个分式的分子存在变号错误；然后计算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
【解答】解：（1）
＝1+2﹣2×
＝1+2﹣
＝3﹣；
（2）根据题目中的解答过程可知：从第②步开始出现错误，
正确的过程为：原式＝
＝•
＝
＝﹣．
故答案为：②．
17．【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）把七年级20名学生的测试成绩从小到大排列为65，73，75，76，77，82，84，85，85，87，89，90，90，90，90，93，95，96，98，98；
所以排在中间的两个数是87，89，故中位数a＝＝88；
八年级20名学生的测试成绩中92出现的次数最多，故众数b＝92；
故答案为：88；92；
（2）小明的话错误，理由如下：
因为小明本次测试成绩为87分，低于中位数89.5，所以小明的成绩低于我们年级一半学生的成绩；
（3）七年级学生本次测试成绩的优秀率为：；
建议七年级的学生加强学习党史（答案不唯一）．
18．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意求得A（﹣4，4），把x＝﹣4代入反比例函数的解析式即可求得点D的坐标；
（3）根据反比例函数系数k的几何意义求得S△BOD＝×|﹣4|＝2，然后利用S△ADO＝S△ABO﹣S△BDO求得即可．
【解答】解：（1）反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点C（﹣2，2），
∴k＝﹣2×2＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）∵点C为斜边OB的中点，C（﹣2，2），
∴B点坐标为（﹣4，4），
把x＝﹣4代入y＝﹣得，y＝1，
∴点D的坐标为（﹣4，1）；
（3）连接DO，
∵B点坐标为（﹣4，4），
∴AB＝BO＝4，
∴S△AOB＝×4×4＝8，
∵AB⊥BO，
∴S△BOD＝×|﹣4|＝2，
∴S△ADO＝S△ABO﹣S△BDO＝8﹣2＝6．

19．【分析】（1）延长FE交AB于点G，根据题意可得：EC＝FD＝GB＝1.5m，EF＝CD＝48m，∠AGE＝90°，然后设AG＝xm，在Rt△AGE中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，从而求出FG的长，再在Rt△AGF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算可求出AG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论，进行计算可求出本次测量结果的误差，然后再根据多次测量求平均值，可以减小误差，即可解答．
【解答】解：（1）延长FE交AB于点G，

由题意得：EC＝FD＝GB＝1.5m，EF＝CD＝48m，∠AGE＝90°，
设AG＝xm，
在Rt△AGE中，∠AEG＝45°，
∴EG＝＝x（m），
∴FG＝EG+EF＝（x+48）m，
在Rt△AGF中，∠AFG＝28°，
∴tan28°＝＝≈0.53，
解得：x≈54.13，
经检验：x＝54.13是原方程的根，
∴AG＝54.13m
∴AB＝AG+GB≈55.6（m），
∴开封铁塔的高度AB约为55.6m；
（2）由题意得：55.88﹣55.6＝0.28（m），
∴本次测量结果的误差为0.28m；
提出一条减小误差的建议为：多次测量求平均值（答案不唯一）．
20．【分析】（1）根据总费用＝A，B两种奖品费用之和列出y1、y2关于x的函数解析式；
（2）根据（1）中解析式分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）由题意得：y1＝20×0.9x+15×0.6×（300﹣x）＝9x+2700；
y2＝20×0.8x+15×0.8×（300﹣x）＝4x+3600，
∴y1与x之间的函数关系式为y1＝9x+2700，y2与x之间的函数关系式为y2＝4x+3600；
（2）当y1＞y2时，9x+2700＞4x+3600，
解得x＞180，
∴购买A种奖品超过180个时，方案二支付费用少；
当y1＝y2时，9x+2700＝4x+3600，
解得x＝180，
∴购买A种奖品180个时，方案一和方案二支付费用一样多；
当y1＜y2时，9x+2700＜4x+3600，
解得x＜180，
∴购买A种奖品少于180个时，方案一支付费用少．
21．【分析】（1）根据角平分线的画法求解即可；
（2）①连接OD，由圆周角定理证出OD⊥AB，由切线的性质得出OD⊥EF，则可得出结论；
②过点C作CM⊥EF于M，CM交AB于N，证出四边形ONMD是矩形，得出OD＝MN，求出CN的长，证明△ACB∽△ECF，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）解：如图1，

（2）①证明：连接OD，

∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴，
∴OD⊥AB，
又∵EF是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴EF∥AB；
②解：过点C作CM⊥EF于M，CM交AB于N，
∵OD⊥EF，CM⊥EF，
∴OD∥MN，
又∵AB∥EF，
∴四边形ONMD是矩形，
∴OD＝MN，
∵AB是⊙O的直径，AC＝6，BC＝8，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝10，
∵S△ABC＝AB•CN，
∴CN＝，
∴CM＝CN+MN＝+5＝，
∵AB∥EF，
∴△ACB∽△ECF，
∴，
∴，
∴EF＝．
22．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用平移的规律即可求得；
（3）根据二次函数的顶点求出翻折后新图象的顶点坐标，结合图象求解．
【解答】解：（1）∵抛物线L1：y＝﹣x2+bx+c 经过点（1，﹣2），点（0，﹣7），
∴，解得，
∴L1的解析式为y＝﹣x2+6x﹣7；
（2）∵y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，
∴将L1向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到L2的解析式为y＝﹣（x﹣3+6）2+2+2，即y＝﹣（x+3）2+4；
（3）∵点M（x1，m），N（x2，m），
∴MN∥x轴，MN所在直线为y＝m，
∴抛物线y＝﹣（x﹣3）2+2，沿直线y＝m翻折后顶点坐标为（3，2m﹣2），
∵x1＜x2，
∴m＜2，
当2m﹣2＞﹣2时符合题意，
解得m＞0，
∴0＜m＜2．

当m＝﹣2时，符合题意，

综上所述，0＜m＜2或m＝﹣2．
23．【分析】（1）根据等边三角形的性质和SAS证明△ABF≌△BCE，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）延长BC交ED于点M，根据等边三角形的性质和SAS证明△ABF≌△BCE，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（3）分三种情况，利用（2）中的结论解答即可．
【解答】解：（1）AF＝BE，理由如下：
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AB＝BC，CE＝ED，∠ABC＝∠ECD＝∠EDC＝60°，
∵BF∥ED，DF∥BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BF＝ED，∠FBD＝∠EDC＝60°，
∴BF＝CE，
∵∠ABF＝∠ABC+∠FBD＝120°，∠BCE＝180°﹣∠ECD＝120°，
∴∠ABF＝∠BCE，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE；
（2）仍然成立，理由如下：
延长BC交ED于点M，

∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AB＝CB，CE＝ED，∠ACB＝∠ECD＝∠CED＝60°，
∵BF∥DE，
∴∠FBM＝∠BME，
∵∠ABF＝∠ABC+∠FBM＝60°+∠FBM，∠BCE＝∠CEM+∠CME＝60°+∠BME，
∴∠ABF＝∠BCE，
同（1）可知，BF＝CE，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE；
（3）30°或75°，
①当∠ABF＝90°时，

由（2）可知，∠ABF＝∠BCE，
∴∠BCE＝90°，
∵∠ECD＝60°，
∴α＝180°﹣∠BCE﹣∠ECD＝180°﹣90°﹣60°＝30°；
②当∠AFB＝90°，

由（2）可知，△ABF≌△BCE，
∴∠AFB＝∠BEC＝90°，
∵，CD＝CE，
∴，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴α＝180°﹣∠ECB﹣∠ECD＝180°﹣45°﹣60°＝75°；
③当∠FAB＝90°时，情况不存在，
综上所述，α的值为30°或75°．