宁夏中卫市2023届高三（二模）数学理科试题

宁夏中卫市2023届高三（二模）数学理科试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点为，则（    ）

A．8 B．4 C． D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．等比数列的前项和为，且， ， 成等差数列，若，则

A．7 B．8 C．15 D．16

4．苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣．《蝶恋花春景》是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道．墙外行人，墙里佳人笑．笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼．”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行．在佳人荡秋千的过程中，下列说法中错误的是（    ）

A．秋千绳与墙面始终平行 B．秋千绳与道路始终垂直

C．秋千板与墙面始终垂直 D．秋千板与道路始终垂直

5．新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段．某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论不正确的是（    ）

A．甲同学的体温的极差为0.5℃

B．甲同学的体温的众数为36.3℃

C．乙同学的体温的中位数与平均数不相等

D．乙同学的体温比甲同学的体温稳定

6．青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（    ）

A． B． C． D．

7．如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为

A． B． C． D．

8．已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

9．已知函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，且，为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

10．将正整数排列如下：

则图中数2022出现在（　　）

A．第64行第5列 B．第64行6列

C．第65行5列 D．第65行6列

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，点M在圆上，且C的一条渐近线上存在点N，使得四边形为平行四边形，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

12．设是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有（    ）

（1）当时，

（2）

（3）若，则实数的最小值为

（4）若有三个零点，则实数

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

13．命题，命题，则是的____________条件.

（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）

14．设点为抛物线上到直线距离最短的点，且在点处的切线与轴和轴的交点分别是和，则过两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为_________．

15．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示）

附参考数据：；；．

16．当a＞0时，若不等式恒成立，则的最小值是__________．

三、解答题

17．如图，在四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面为直角梯形，，，，，为的中点．

(1)求证：；

(2)求平面与平面所成的锐角二面角的余弦值．

18．在①；②；

③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_______．

(1)求角C；

(2)若的内切圆半径为，求．

19．区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术．区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表：

(1)根据表中数据判断，与（其中e＝2.71828…为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）

(2)根据（1）的结果，求关于的回归方程；（结果精确到小数点后第三位）

附：线性回归方程中，，

参考数据：，，，

(3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？

20．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上），的周长为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若点在椭圆上，且为坐标原点），求的取值范围.

21．已知函数．

(1)若恒成立，求a的取值范围；

(2)若函数存在两个极值点，且恒成立，求的取值范围．

22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，直线与曲线分别交于两点.

（1）若点的极坐标为，求的值；

（2）求曲线的内接矩形周长的最大值.

23．.已知，，是正实数，且.

（1）证明：；

（2）求的最大值.

参考答案：

1．C

【分析】根据复数的几何意义得复数，求出，再求即可.

【详解】复数在复平面内对应的点为，则复数，所以，

则.

故选：C.

2．A

【分析】根据对数求解集合B，再求交集即可得结果.

【详解】由题意可得：，

故.

故选：A.

3．C

【详解】试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n项和公式．

考点：1．等比数列通项公式及前n项和公式；2．等差中项．

4．B

【分析】根据图中秋千绳，墙面，道路的位置关系以及相关的线面，线线垂直的判定定理、性质定理等即可判断．

【详解】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，

但与道路所成的角在变化，则秋千绳与道路的位置关系在发生变化，

而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．

故选：B.

5．C

【分析】根据折线图，进行数据分析，直接计算极差判断A，由众数概念判断B，由中位数和平均数确定C，由折线图直接判断D.

【详解】对于A：甲同学的体温的极差为℃，故A选项正确；

对于B：甲同学的体温从低到高依次为36.1℃，36.1℃，36.3℃，36.3℃，36.3℃，36.5℃，36.6℃，故众数为36.3℃，故B选项正确；

对于C：乙同学的体温从低到高依次为36.2℃，36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，故中位数为36.4℃，而平均数也是36.4℃，故C选项错误；

对于D：从折线图上可以看出，乙同学的体温比甲同学的体温稳定，故D选项正确.

故选：C

6．B

【分析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于的人数，结合茎叶图判断可得；

【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于的人数，由茎叶图可知视力小于等于的有5人，

故选：B

7．A

【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率.

【详解】，

又，

，

豆子落在图中阴影部分的概率为.

故选A.

【点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键.

8．A

【分析】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化，解之即可.

【详解】因为点在直线上，

所以，

故，

当且仅当且，即时等号成立，

因为关于的不等式恒成立，

所以，解得，

所以.

故选：A

9．B

【分析】根据对称轴之间距离得到，求出周期，然后得到；代入和求解出；再把和都整理成的形式，确定平移的方向和单位.

【详解】相邻对称轴之间距离为        

即    

则    向右平移个单位长度得到

本题正确选项：

【点睛】本题考查已知三角函数图像求解析式、三角函数平移变换的问题，易错点在于最终平移时，忽略了左右平移只针对的变化量，导致求解错误.

10．B

【分析】计算每行首个数字的通项公式，再判2022出现在第几列，得到答案.

【详解】每行的首个数字为︰ 1，2，4，7，11 …

 利用累加法 :

      计算知：，

数2022 出现在第64行6 列

故选：B

11．A

【分析】设双曲线的一条渐渐近线方程，设出M点坐标，求出中点坐标B，建立方程进行转化求解即可.

【详解】由题意，设双曲线一条渐近线方程为，因为，

所以点M在圆上，设，则，四边形为平行四边形，令，

则中点坐标为，代入渐近线方程，即，

∵，

∴

设，则，则

∵，∴，则，解得，

故选：A

12．B

【分析】由 是奇函数，是偶函数，得，再依据 作出函数的图像，再逐项判断即可

【详解】因为 是奇函数，是偶函数，

所以 ，解得，

由

当时，，则，所以，

同理：当时，，

以此类推，我们可以得到如下的图象：

对于（1）∶根据上述规律，当时，，故（1）错误；

对于（2）：根据图象， 刚好是相邻两个自然数中间的数，

则 刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得 ，故（2）正确；

对于（3）∶根据图象，当时， 由图像可得（3）正确；

对于（4）∶有三个零点，

等价于函数与函数有三个不同的交点，设， 则函数的图象为恒过点A的直线，如图所示.

当函数与，相切的时候，有三个交点，

相切时斜率k小于直线AB的斜率，直线AB的斜率为

故有三个零点， ，故（4）错误．

说法正确的个数为2.

故选：B．

【点睛】思路点睛：根据函数奇偶性的定义，解出，再依据的函数特征，作出函数的图像，由图像研究相关性质.

13．充分不必要

【分析】先解，然后根据条件判断即可.

【详解】因为或，

而，

所以是的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

14．4

【分析】在P处的切线与直线平行，利用导数求出P点坐标和切线方程，得两点坐标，以为直径的圆为所求最小圆，利用垂径定理求弦长.

【详解】设切点为，根据题意可知在P处的切线与直线平行，

则 ， 所以 ，得，所以，因此，

可得切线方程为，从而，

则过两点的最小圆，以为直径，方程为，

抛物线的准线方程为，利用垂径定理可得圆截抛物线的准线所得的弦长为 ．

故答案为：4

15．

【分析】计算出和，然后利用条件概率公式可得出的值.

【详解】由题意可知，，事件为，，，

所以，，

，

由条件概率公式得，故答案为.

【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.

16．

【分析】先将不等式转化为，进而转化为的图像恒在图像的下方，求出两个函数的零点，比较两个函数的零点得到，

且当恰为在处的切线时取得最小值，即可求解.

【详解】由题意知：，由可得，即不等式恒成立，令，

易得为斜率大于0的一条直线，；，当时，单增，

当时，单减，又，要使不等式恒成立，必有的零点与的零点重合

或者在的零点左侧，如图所示：

故有，解得，当且仅当恰为在处的切线时取等，此时的图像恒在图像的下方，

即满足恒成立，即恒成立.又，故在处的切线方程为，

即时，取得最小值.

故答案为：.

17．(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）由勾股定理证明，再由得出平面，进而证明；

（2）以点为坐标原点，建立坐标系，利用向量法得出平面与平面所成的锐角二面角的余弦值．

【详解】（1）连接，由，为中点，得，

又∵四边形为直角梯形，，，

所以，则四边形是平行四边形，

∴，

在中，，，，

则，则，

又平面，平面，，

∴平面，

又平面，∴．

（2）由（1）可得，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，

方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系．

，，，，，

易知平面的法向量为，

设平面的法向量为，，，

则，即，取，，

∴，

故平面与平面所成的锐角二面角的余弦值为．

18．(1)

(2)

【分析】（1）选择①根据两角和的正切公式化简可得角，选择②由正弦定理统一为边，再由余弦定理求解，选择③根据正弦定理统一为角，由辅助角公式求解；

（2）由余弦定理及三角形面积公式联立求解即可.

【详解】（1）选择①：由已知得，

所以，

在中，，所以．

选择②：由已知及正弦定理得，

所以，所以，

因为，所以．

选择③：由正弦定理可得，

又，所以，则，

则，故．

又因为，所以，

解得．

（2）由余弦定理得，①

由等面积公式得．

即．

整理得，②

联立①②，解得，

所以．

19．(1)适宜

(2)

(3)甲公司获得“优胜公司”的概率最大

【分析】（1）根据增加速度逐渐变快即可得解；

（2）对两边取自然对数，得，转化为线性相关，再利用最小二乘法求出线性回归方程，再转化为关于的回归方程即可；

（3）对于首场比赛的选择分A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C：丙与乙先赛，三种情况讨论，分别求出对应概率，即可得出结论.

【详解】（1）根据表中数据可知增加的速度逐渐变快，

所以回归方程适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；

（2）对两边取自然对数，得，

令，得,

由于，，，

则，

，

∴关于的回归直线方程为，

则关于的回归方程为；

（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：

A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C：丙与乙先赛，

由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，

则甲公司获胜的概率分别是

，

，

，

由于，

∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大．

20．(1)

(2).

【分析】（1）由的周长得a，再由离心率得c，解得b，得椭圆的方程；

（2）依据直线斜率是否存在分类讨论，设直线方程，与椭圆联立，用A，B坐标表示求出取值范围.

【详解】（1）由的周长为，得，即，

又离心率，所以，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知的坐标为，

①当直线的斜率不存在时，，，则；

②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为且，

联立，得，

设，，则，，

，

设点，则，即，代入椭圆方程得，

解得，，所以，

所以，

又，所以的取值范围是.

综上所述，的取值范围是.

21．(1)．

(2)．

【分析】（1）先构造新函数，再按a分类讨论的单调性，列出关于a的不等式，进而求得a的取值范围；

（2）利用题给条件构造新函数，则在上恒成立，利用导函数判断的单调性，列出关于的不等式，进而求得的取值范围．

【详解】（1）由题可知，要使恒成立，即恒成立．

令，则．

当时，，所以在上单调递增，

又，与矛盾，不满足题意；

当时，若，则；若，则．

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以．

综上，．

（2）由题可知，所以是方程的两个根，

所以，所以，所以．

又，所以．

不妨设，则上式转化为．

令，则在上恒成立．

由时，，易知．

令，则．

令，则函数的图象开口向下，且对称轴为．

①当，即时，，

则在上恒成立，则在上恒成立，

则在上单调递减，则，符合题意．

②当，即时，，

此时存在唯一的，使得，

则在上单调递增，在上单调递减，

从而，不合题意．

综上所述，的取值范围是．

22．（1）4；（2）16.

【分析】（1）根据题意，将曲线C的极坐标方程变形为标准方程，将直线的参数方程与曲线C的方程联立，可得，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；

（2）写出曲线C的参数方程，分析可得以P为顶点的内接矩形周长l，由正弦函数的性质分析可得答案．

【详解】（1）由，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得到+3=12,

所以曲线C的直角坐标方程为+3=12，的极坐标为，化为直角坐标为（-2，0）

由直线l的参数方程为：（t为参数），

知直线l是过点P（-2，0），且倾斜角为的直线，

把直线的参数方程代入曲线C得，．

所以|PM|•|PN|＝|t1t2|＝4．

（2）由曲线C的方程为 ，

不妨设曲线C上的动点，

则以P为顶点的内接矩形周长l，

又由sin（θ）≤1，则l≤16；

因此该内接矩形周长的最大值为16．

【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程与普通方程的互化，考查了直线的参数方程的意义及椭圆参数方程的应用，涉及三角函数的最值问题，属于中档题．

23．（1）证明见解析；（2）最大值为.

【分析】（1）对化简后利用基本不等式求解即可；

（2）由于，，从而可得

【详解】解：（1），

即，所以.

（2）因为，，

所以，

所以，当且仅当，时取等号，

所以的最大值为.