初中数学鲁教版 (五四制)九年级上册第三章 二次函数6 二次函数的应用一等奖ppt课件

3.6  二次函数的应用(1)

教材分析

    本节课要经历探索长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．

    在实际背景中解决最优化问题，不是很容易的一件事．首先，实际问题的叙述往往比较长，使人感到问题很难，其次，分析其中各个量之间的关系也不是—件轻松的事情，要想解决好这类问题，一是不要有畏难情绪，我们都可以学会解决应用问题；二是要读懂问题．明确要解决的问题是什么；三要分析问题中各个员之间的关系，把问题表示为数学的形式．在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步一步地得到问题的解．

    在教学中应引导学生按照上面的步骤进行．首先要给学生自信心，然后要告诉学生如何去分析已知和未知条件，分析问题中各个量之间的关系，把实际问题抽象为数学问题，即二次函数问题，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

教学目标

    (一)教学知识点

    能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

    (二)能力训练要求

    1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．

    2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．

    (三)情感与价值观要求

    1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．

    2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．

    3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值．增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．

教学重点

    1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．

    2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．

教学难点

    能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题．

教学方法

    教师指导学生自学法．

教具准备

    投影片四张

    第一张：(记作§3.6.1A)

    第二张：(记作§3.6.1B)

    第三张：(记作§3.6.1C)

    第四张：(记作§3.6.1D)

教学过程

    Ⅰ．创设问题情境，引入新课

    [师]本节课我们来学习用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解．

    本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题．

    Ⅱ．新课讲解

    一、例题讲解

    投影片；(§3.6.1A)

如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD．其中AB和AD分别在两直角边上．

(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示?

(2)设长方形的面积为y m2．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?

    [师]分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得所以AD=BC=(40-x).

    (2)要求面积的最大值．即求函数y=AB·AD=x·(40-x)的最大值，就转化为数学问题了．

    下面请大家讨论写出步骤．

    [生](1)∵BC//AD，

    ∴△EBC∽△EAF． ∴.

    又AB＝x，BE=40-x，

    ∴.  ∴BC=(40-x).

∴AD＝BC=(40-x)＝30-x．

    (2)y＝AB·AD=x(30-x)= -x2+30x

=-(x2-40x+400-400)

=-(x2-40x+400)+300

    =-(x-20)2+300

    当x=20时，  y最大=300.

    即当x取20 m时，y的值最大，最大值是300m2．

    [师]很好．刚才我们先进行了分析．要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗?

    [生]不很难．

    [师]下面我们换一个条件．看看大家能否解决．设AD边的长为x m，则问题会怎样呢?与同伴交流．

    [生]要求面积需求AB的边长，而AB＝DC，所以需要求DC的长度，而DC是△FDC中的一边，所以可以利用三角形相似来求．

    解：∵DC//AB，

∴△FDC∽△FAE．

.

∵AD=x，FD＝30-x．

∴.

∴DC=(30-x).

    ∴AB=DC=(30-x).

    y=AB·AD=x·(30-x)

    =-x2+40x

=-(x2-30x+225-225)

=-(x-15)2+300.

当x=15时，y最大=300．

    即当AD的长为15 m时，长方形的面积最大，最大面积是300 m2

    二、做一做

    投影片：(§3.6.1B)

某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)?此时，窗户的面积是多少?

    [师]通过刚才的练习，这个问题自己来解决好吗?

    [生]可以．

    分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy+x2最大，而由于4y+4x+3x+πx＝7x+4y+πx=15，所以y=．面积S=πx2+2xy=πx2+2x·=πx2+=-3.5x2+7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．

解：∵7x+4y-πx＝15，

∴y=.

设窗户的面积是S(m2)，则

S=πx2+2xy

=πx2+2x·

=πx2+

=-3.5x2+7.5x

=-3.5(x2-x)

=-3.5(x-).

∴当x＝≈1.07时，

S最大=≈4.02.

    即当x≈1.07 m时，S最大≈4.02 m2，此时．窗户通过的光线最多．

    [师]大家做得非常棒．

    三、议一议

    [师)我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢?与同伴进行交流．

    [生]首先是理解题目，然后是分析已知量与未知量，转化为数学问题．

    [师]看来大家确实学会了用数学知识解决实际问题，基本思想如下：

    投影片：(§3.6.1C)

解决此类问题的基本思路是：

(1)理解问题；

(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；

(3)用数学的方式表示它们之间的关系；

(4)做函数求解；

(5)检验结果的合理性，拓展等．

    在总结思路之前，大家已经做得相当出色了，相信以后会更上一层楼的．

    Ⅲ．课堂练习

    投影片：(§3.6.1D)

1．一养鸡专业户计划用116 m长的竹篱笆靠墙(如下图)围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大?最大为多少?

    解：设AB长为x m，则BC长为(116-2x)m，长方形面积为Sm2，根据题意得

    S＝x(116-2x)＝-2x2+116x＝-2(x2-58x+292-292)=-2(x-29)2+1682.

    当x＝29时，S有最大值1682，这时116-2x＝58．

    即设计成长为58 m，宽为29 m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682 m2．
    Ⅳ．课时小结

    本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值．

    Ⅴ．课后作业

    习题3.12

    Ⅵ．活动与探究

    已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正切值等于．设梯形的面积为S，梯形中较短的底边长为x，试写出梯形面积关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

分析：因为射线与矩形一边所成的角的正切值等于，但没有说明射线与矩形的哪一边所成角的正切值，故本题应考虑两种情况，如下图：

板书设计

§3.6  二次函数的应用(1)

一、1．例题讲解(投影片§3.6.1A)

  2．做一做(投影片§3.6.1B)

    3．议一议(投影片§3.6.1C)

二、课堂练习(投影片§3.6.1D)

三、课时小结

四、课后作业