高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数精品ppt课件

一元二次函数

【教学分析】

一元二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的应用，并且它与前面学过的二次方程有密切联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础．二次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的性质与图象，进而使学生对二次函数有一个比较完整的认识．

【教学目标】

1．通过一个例子研究二次函数的图象和性质，得到一般性结论，培养学生归纳、抽象能力．

2．掌握二次函数的概念、表达式、图象与性质，会用配方法解决有关问题，能熟练地求二次函数的最值．

【核心素养】

1．数学抽象：一元二次函数变量的变化趋势．

2．逻辑推理：利用初中所学的二次函数，配成顶点式，让学生对一元二次函数的平移变化，能更好的掌握．

3．数学运算：一元二次函数的平移变化；如何求一元二次函数的最值．

4．直观想象：根据函数图象的变化，让学生更好理解函数之间的关系．

5．数学建模：数学中，通过对同类函数图象之间的变化的研究，让学生能更好的将一元二次函数运用实践中，更好的解决实际中，类似于抛物线的物体，我们都可以通过某些计算，来解决实际问题．

【教学重点】

1．二次函数的平移变化．

2．二次函数和的变化趋势．

【教学难点】

如何将一般二次函数配成顶点式．

【课前准备】

PPT

【教学过程】

1．知识引入

在初中，我们学习了一元二次函数认识这个函数的过程是从（开始的，是由简到繁的过程（如图1-18）．

思考交流

请分析讨论函数的图象可以由函数图象经过怎样的变换得到．

2．知识概括：

（1）二次函数图象的变换规律：

抛物线的图象，可以由得图象移动而得到。

当时，向左平移个单位长度，

当时，向右平个单位长度

的图象

当时，向上平移个单位长度

当时，向下平移个单位长度

的图象，写成一般形式：的图象

（2）一元二次函数有如下性质：

①函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是对称轴是直线；

②当时，抛物线开口向上；在区间上，函数值随自变量的增大而减小；在区间上，函数值随自变量的增大而增大；函数在处有最小值，记作．

当时，抛物线开口向下；在区间上，函数值随自变量的增大而增大；在区间上，函数值随自变量的增大而减小；函数在处有最大值，记作：．

例1已知一元二次函数

（1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到；

（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值．

解（1）配方，得

所以函数的图象可以由函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到．

由（1）可知：该函数的图象开口向上，对称轴为直线；在区间上，函数值随自变量的增大而减小，在区间上，函数值随自变量的增大而增大；函数值在处取得最小值3，即．

【知识扩充】

例2 画出二次函数，的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。

解：如图所示

抛物线的开口向下，对称轴是进过点且与轴垂直的直线，记为，顶点是；抛物线的开口向下，对称轴是，顶点是（1，0）。

例3 画出函数的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。抛物线经过怎样的变换可以得到抛物线？

解：抛物线的开口方向向下、对称轴是，顶点是。

把抛物线向下平移1个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线。

注意细节：二次函数的图象的画法

因为二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：

（1）先找出顶点坐标，画出对称轴；

（2）找出抛物线上关于对称轴的四个点（如与坐标轴的交点等）；

（3）把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．

习题练习：

用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最值：

（1）

（2）

已知一元二次函数

（1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到；

（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值．

【教学反思】

本节内容讲述了两个方面的知识点，一是特殊的二次函数的图象随值变化的规律性，二是二次函数的性质与图象．设计恰当，重点突出，即重点讲解二次函数的性质与图象．遵循由特殊到一般、由具体到抽象的原则，使结论便于被学生理解．